Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones Lineales

Definición de Ecuación y Sistemas de Ecuaciones Lineales

Una ecuación algebraica es un enunciado matemático que involucra dos expresiones algebraicas e incluyen al menos una variable. El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de los elementos que hacen que la ecuación sea verdadera. A cada elemento del conjunto solución se lo llama solución o raíz de la ecuación. Para hallar el conjunto solución se debe resolver la ecuación. En ciertas situaciones es necesario usar diferentes variables, encontrar las ecuaciones que las relacionan surgiendo así, un conjunto de ecuaciones. Este conjunto de ecuaciones se llama sistema de ecuaciones. Si las ecuaciones invocradas son de primer grado, se dice que el sistema es lineal. El sistema puede tener m ecuaciones con n incognitas (surgen así los sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas, tres ecuaciones con tres incognicas, dos ecuaciones con una incógnita, etc)

Sistemas de dos ecuaciones Lineales con dos incógnitas

Un sistema de ecuaciones puede tener la forma:

donde x e y son variables y, a,b,c,d,e y f son constantes reales.

A este conjunto de ecuaciones se lo llama sistema de dos ecuaciones lineales en las variables x e y. Encontrar la solución es hallar valores de x y y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas de manera simultánea. A este par (x,y) de tales valores se lo llama solución del sistema. En este caso, las ecuaciones son lineales en 2 variables, por lo tanto sus gráficas son dos rectas (L1 y L2). Las coordenadas de cualquier punto situado sobre una recta satisfacen la ecuación y hacen que la ecuación sea verdadera. Por lo tanto, las coordenadas de cualquier punto de intersección de L1 y L2 satisfacen ambas ecuaciones a la vez. Esto significa que la intersección entre las rectas proporciona una solución del sistema.

(Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J., 2015)

Soluciones de un sistema de dos ecuaciones Lineales con dos incógnitas

Si L1 y L2 se grafican en el mismo plano, hay tres situaciones que pueden ocurrir: 1. L1 y L2 se intersecan en exactamente un punto, por ejemplo (x1, y1). Así, el sistema tiene como solución x = x1 e y = y1. (Figura 5a) 2. L1 y L2 son paralelas por lo que no tienen puntos en común (Figura 5b). En este caso el sistema no tiene solución. 3. L1 y L2 son coincidentes (Figura 5c). Las coordenadas de cualquier punto situado sobre la recta son una solución del sistema, por lo tanto, existe un número infinito de soluciones.

(Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J., 2015)

Figura 5: Gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Analisis de las soluciones

(c)

(a)

(b)

Fuente: Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J. (2015). p. 149

Soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Para resolver un sistema de ecuaciones, se puede representar gráficamente pero muchas veces es necesario complementar el análisis por medio de algún procedimiento algebraico. Antes de presentar algunos de ellos, definiremos sistemas equivalentes.

Se dice que dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto de solución. Los sistemas obtenidos tienen progresivamente formas más fáciles para determinar la solución, por lo tanto se busca un sistema equivalente que contenga una ecuación en la que por ejemplo, una de las variables no aparezca. Al tratar con sistemas de ecuaciones lineales, el paso de un sistema a otro equivalente siempre se logra mediante uno de los siguientes procedimientos: 1. Intercambio de dos ecuaciones. 2. Multiplicación de una ecuación por una constante distinta de cero. 3. Reemplazo de una ecuación por sí misma más un múltiplo de otra ecuación.

(Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J., 2015)

Algunos procedimientos algebraicos para encontrar el conjunto de solución son: 1. Eliminación por adición. 2. Eliminación por sustitución. 3. Eliminación por igualación.

Eliminación por adición

El método de eliminación por adición consiste en combinar las dos ecuaciones de tal manera que la ecuación resultante tenga solo una variable. A continuación se desarrolla el Ejemplo 1, tomado de Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J. (2015, p. 150)

Eliminación por adición

A continuación se desarrolla el Ejemplo 2, tomado de Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J. (2015, p. 150-151)

Figura 6: Sistema lineal del Ejemplo 2: una solución

Fuente: Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J. (2015). p. 151

Eliminación por sustitución

El método de Eliminación por sustitución, consiste en despejar una de las incógnitas de una ecuación y sustituir su expresión en la otra. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con una incógnita. Luego podemos calcular el valor de la otra, sustituyendo el valor conocido en alguna de las ecuaciones. A continuación se desarrolla el Ejemplo 2 (resuelto anteriorente mediante eliminación por adición), tomado de Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J. (2015, p. 151)

Eliminación por igualación

El método de Eliminación por igualación, consiste en despejar la misma incógnita de las ecuaciones dadas e igualar las expresiones obtenidas. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con una incógnita. Luego podemos calcular el valor de la otra, sustituyendo el valor conocido en alguna de las ecuaciones. A continuación se desarrolla el Ejemplo 2 (resuelto anteriorente mediante eliminación por adición y sustitución)

Otros métodos de resolución

GeoGebra

Excel

*Resolución gráfica usando "Vista Gráfica" *Resolución algebraica usando "Vista CAS"

*Resolución mediante matrices (lo usaremos más adelante)

Bibliografía

Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J. (2015). Matemáticas para administración y economía. Decimotercera edición. PEARSON, México.

¿Qué aprendimos hasta acá?

Métodos Algebraicos

Método Gráfico

Representa-ciones

Máximos y minimos

Sistemas de ecuaciones no lineales

Variables

Regla de Cramer

Dominio e imagen

Crecimiento y decrecimiento

Determinantes

Modelos Funcionales

Modelos Polinomicos

Método de la inversa

Método Gráfico

Métodos Algebraicos

Método de Gauss Jordan

Modelos Cuadráticos

Sistemas 2X2

Modelos Lineales n>2

Modelos Lineales n<=2

Sistemas mXn

Operaciones

Ecuación Cuadrática

Sistemas mXm

Pendiente y ordenada

Ecuaciones Lineales

Vectores y Matrices

Raíces, ordenada, vértice

Variaciones de una función

Características algebraicas - gráficas

Gráfica

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