Convexité d'une fonction
Jade et Felipe
Convexité d'une fonction
Dérivée seconde
Convexité
Point d'inflexion
Exercice type
Dérivée Seconde
Prérequis
Dérivée seconde d'une fonction
Prérequis
Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I tel que f’ est dérivable sur I. On appelle dérivée seconde de f sur I, la fonction dérivée de f’ notée f’’ (dite « f seconde ») Exemple:f(x)=2x³-3x²+4x+1f’(x)=6x²-6x+4f’’(x)=12x-3
Convexité
Que pouvez-vous dire de ces fonctions ?
Que pouvez-vous dire de ces fonctions ?
CONVEXE
CONCAVE
Convexité définition 1 (cordes*)
Une fonction f est dite CONVEXE si sa courbe représentative est entièrement située EN-DESSOUS de chacune de ses cordes.
Une fonction f est dite CONCAVE si sa courbe représentative est entièrement située AU-DESSUS de chacune de ses cordes.
*corde = segment que l’on trace en reliant deux points d’une courbe
Convexité définition 2 (Tangentes*)
Une fonction f est dite CONVEXE si sa courbe représentative est entièrement située AU-DESSUS de chacune de ses tangentes.
Une fonction f est dite CONCAVE si sa courbe représentative est entièrement située EN-DESSOUS de chacune de ses tangentes.
*tangente=droite qui touche la courbe en un seul point
Avez-vous bien compris ?
Quelles fonctions de références connaissez-vous ? Déterminez leur convexité
Quelques Exemples:
Quelles fonctions de références connaissez-vous ? Déterminez leur convexité
f(𝑥)= 𝑥³ est concave sur ]-∞ ; 0] et convexe [0 ; +∞[
f(𝑥)= 𝑥² est convexe sur ℝ
f(𝑥)= est concave sur ]-∞ ; 0[ et convexe ]0 ; +∞[
f(𝑥)= √𝑥 est concave sur [0;+∞[
Concave convexe
f est CONVEXE, si f’ est croissante sur IDonc : f’’(x)⩾ 0, pour tout x de IOn remarque que les tangentes: - sont de plus en plus croissantes- leurs coefficients directeurs sont de plus en plus grands
f est CONCAVE, si f’ est décroissante sur IDonc : f’’(x)≤ 0, pour tout x de IOn remarque que les tangentes: - sont de plus en plus décroissantes- leurs coefficients directeurs sont de plus en plus petits
représentation graphique des tangentes
Point d'inflexion
Point d'inflexion Définition
Une courbe admet un point d'inflexion si et seulement si elle change de convexité. Point où la courbe traverse sa tangente. Au point d’inflexion on passe d’une convexité à l’autre, on a un changement de courbure.
représentation graphique des tangentes et du point d'inflexion
Exercice type
Exercice type:
Corrigé de l'Exercice type:
Corrigé de l'Exercice type:
Corrigé de l'Exercice type:
un kahoot ?
exposé convexité
Jade Boutaleb
Created on October 10, 2022
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Convexité d'une fonction
Jade et Felipe
Convexité d'une fonction
Dérivée seconde
Convexité
Point d'inflexion
Exercice type
Dérivée Seconde
Prérequis
Dérivée seconde d'une fonction
Prérequis
Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I tel que f’ est dérivable sur I. On appelle dérivée seconde de f sur I, la fonction dérivée de f’ notée f’’ (dite « f seconde ») Exemple:f(x)=2x³-3x²+4x+1f’(x)=6x²-6x+4f’’(x)=12x-3
Convexité
Que pouvez-vous dire de ces fonctions ?
Que pouvez-vous dire de ces fonctions ?
CONVEXE
CONCAVE
Convexité définition 1 (cordes*)
Une fonction f est dite CONVEXE si sa courbe représentative est entièrement située EN-DESSOUS de chacune de ses cordes.
Une fonction f est dite CONCAVE si sa courbe représentative est entièrement située AU-DESSUS de chacune de ses cordes.
*corde = segment que l’on trace en reliant deux points d’une courbe
Convexité définition 2 (Tangentes*)
Une fonction f est dite CONVEXE si sa courbe représentative est entièrement située AU-DESSUS de chacune de ses tangentes.
Une fonction f est dite CONCAVE si sa courbe représentative est entièrement située EN-DESSOUS de chacune de ses tangentes.
*tangente=droite qui touche la courbe en un seul point
Avez-vous bien compris ?
Quelles fonctions de références connaissez-vous ? Déterminez leur convexité
Quelques Exemples:
Quelles fonctions de références connaissez-vous ? Déterminez leur convexité
f(𝑥)= 𝑥³ est concave sur ]-∞ ; 0] et convexe [0 ; +∞[
f(𝑥)= 𝑥² est convexe sur ℝ
f(𝑥)= est concave sur ]-∞ ; 0[ et convexe ]0 ; +∞[
f(𝑥)= √𝑥 est concave sur [0;+∞[
Concave convexe
f est CONVEXE, si f’ est croissante sur IDonc : f’’(x)⩾ 0, pour tout x de IOn remarque que les tangentes: - sont de plus en plus croissantes- leurs coefficients directeurs sont de plus en plus grands
f est CONCAVE, si f’ est décroissante sur IDonc : f’’(x)≤ 0, pour tout x de IOn remarque que les tangentes: - sont de plus en plus décroissantes- leurs coefficients directeurs sont de plus en plus petits
représentation graphique des tangentes
Point d'inflexion
Point d'inflexion Définition
Une courbe admet un point d'inflexion si et seulement si elle change de convexité. Point où la courbe traverse sa tangente. Au point d’inflexion on passe d’une convexité à l’autre, on a un changement de courbure.
représentation graphique des tangentes et du point d'inflexion
Exercice type
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Corrigé de l'Exercice type:
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un kahoot ?