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2PM3: La matematización del universo

Carolina Chávez

Created on October 9, 2022

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La matematización del universo

Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto / Mat. Andrés Alonso Flores Marín, Coordinador M. en C. Óscar Alberto Garrido Jiménez, Coordinador académico / M. en C. José Luis Álvarez López, Coordinador de facilitadores / M. en C. Alma Violeta García López, Coordinadora de facilitadores Mtro. Francisco Rivera Ramírez, Diseño académico / Mat. Carla Alejandra Rivera Ramírez, Diseño académico / M. en C. Guadalupe Yañez Barrón, Diseño académico / Dra. Itzel Ricaño Cornejo, Diseño académico Lic. Guillermo Vázquez Zepeda, Diseño académico / Mtra. María Concepción García Rábago, Diseño académico / Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Diana Rivera Hernández, Diseño académico Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional / M. en C.C. Citlali Medal Medellín, Diseño instruccional

Revisa situaciones y fenómenos donde el cambio es parte central en su estudio, con la finalidad de modelarlos aplicando algunos conocimientos básicos de funciones reales de variable real y las operaciones básicas entre ellas. . (C3M1)

C3M1:

Selecciona un modelo, matemático, por la pertinencia de sus variables y relaciones para explicar el fenómeno estudiado en la solución de un problema.

La filosofía está escrita en ese libro enorme que tenemos continuamente abierto delante de nuestros ojos (hablo del universo), pero que no puede entenderse si no aprendemos primero a comprender la lengua y a conocer los caracteres con que se ha escrito. Está escrito en lengua matemática, y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin los cuales es humanamente imposible entender una palabra; sin ellos se deambula en vano por un laberinto oscuro (Saggiatore [Ensayista] 6). Galielo Galilei

Recurso opcional

Un documental para consulta:

La lejanía histórica nos impide ver con total claridad el gran logro que Galileo consiguió con su trabajo intelectual. Galileo marca, sin lugar a dudas y sin temor a caer en exageraciones, un antes y un después en la historia de la humanidad. Galielo matematizó a la naturaleza, fue un rupturista que terminó con una tradición de siglos que consistía en ver e interpretar al universo a través de los ojos de Aristóteles. Fue un intelectual perseguido. Fue un condenado a prisión domiciliaria por su independecncia de pensamiento e incluso en ese estado de eclaustramiento, produjó obras maravillosas.

El libro de la naturaleza en Galielo, escrito por la pluma de Italo Calvino:

Te invitamos a revisar los siguientes enlaces para conocer un poco más sobre la vida de este personaje digno de ser novelado.

El enorme periodo que nos separa de Galileo, nosotros con nuestras herramientas tecnológicas y con el conocimiento actual del universo (que en gran parte debemos al propio Galileo) son factores que suelen oscurecer el entendimiento de la proeza que significó para una persona que vivió entre los siglos XVI y XVII realizar experimentos sin herramientas tan fundamentales como relojes con un cierto grado de precisión.

Previamente en este diplomado te hemos invitado a llevar a tus estudiantes a reflexionar sobre la concepción del movimiento en Zenón, sigamos filosofando un poco sobre estos asuntos.

Pensemos como Galileo, sobre el movimiento de los objetos que se dejan caer desde una cierta altura.

Galileo Galilei

Esta reflexión que proponemos hacer en la escuela y esta historia que proponemos contar en nuestras aulas es una excelente oportunidad para que colabores con tus colegas de conciencia histórca y ciencias naturales, experimentales y tecnología.Seguramente todos y todas ustedes tienen mucho que aportar desde su particular trinchera del conocimiento y con esta colaboración se enriquecerá la formación de sus estudiantes.

¿Qué cae primero, una pluma de pavorreal o una bola de boliche?

No intentemos conseguir estos materiales pero llevemos nuestros estudiantes a experimentar en la escuela.

Nuestros colegas de ciencias naturales, experimentales y tecnología seguramente nos podrán auxiliar. Hacer un experimento no es algo trivial... tenemos que tener cuidado de cómo medimos y de la (im)precisión de nuestras mediciones, así como también sobre qué parámetros son necesarios medir para tener información acerca de un fenómeno.

Actividad (para plantearla a tus alumnos). - Si queremos entender cómo es que los objetos se mueven al dejarlos caer desde una cierta altura, ¿qué variables considerarías en tu estudio? ¿Qué instrumentos utilizarías para medir?

Dejen a sus estudiantes planear el experimento, será interesante ver sus intentos, sus logros y las dificultades a las que se enfrentan. Nosotros podremos intervenir para guiarlos posteriomente.

En el equipo de diseño nos enteramos de la existencia de un Software llamado Tracker que puede usarse junto con GeoGebra. En este recurso haremos uso de ellos y posteriormente te explicaremos cómo manipularlos.

Para esta actividad necesitaremos un teléfono celular o una videocámara, una computadora con acceso a internet y algunas otras cosas para arrojar al suelo (procuren no arrojar al suelo ni celulares ni computadoras, je).También te comentaremos qué puedes hacer si no cuentas con estos instrumentos tecnológicos... Recuerda que Galileo no contaba con ellos.

Lo primero que hay que localizar es un lugar propicio para grabar. Nosotros buscamos una pared libre de objetos con una iluminación decente.

Es importantísimo tener un buen set de grabación con un trípode... o algo que se le parezca, para que el video sea estable (nosotros usamos unas plantitas y una taza-maceta):

Como decíamos, necesitamos algo que arrojar al suelo. En el experimento que te presentamos utilizamos la pelota de las mascotas del coordinador.

¿Listos para grabar? Casi, debemos tener una marca de referencia para poder hacer nuestras mediciones... en este experimento utilizamos un sofisticado palo de madera en conjunción con un marcador de tecnología de punta (un gis) y una regla:

¿Listos? Casi, falta un conejillo de indias, en nuestro caso: el coordinador despeinado. Ahora sí, listos, a grabar. Nosotros seguimos el rumor que dice que el director de cine Federico Fellini solo grababa una toma de sus escenas, lo cual debe ser falso en el caso de Fellini, pero cierto para nosotros:

Dale clic para ir al enlace del video

¿Y luego?

Luego sigue meter todo al software e interpretar... Vamos.

Posteriormente te brindaremos alguna información sobre como usar tanto Tracker como GeoGebra con esta finalidad. Básicamente lo que hace Tracker son dos cosas:1. Coloca ejes coordenados sobre el video (esto lo tenemos gracias la revolución Cartesiana, tema que da para invertir mucha tinta.) 2. Rastrea el movimiento de objetos (en nuestro caso la pelota de los gatos que cae en caída libre).

Para estudiar caída libre nos interesa considerar dos parámetros (¿tus alumnos llegaron a ellos por sí solos?) la distancia vertical (medida en el eje y) y el tiempo (que graficaremos en el eje x).Tracker recopila toda esa información y nos arroja una tabla de datos que podemos exportar a GeoGebra.

GeoGebra grafica esta información como se ve a continuación:

Estamos trabajando pensamiento variacional y es en este momento en el que nuestro compañero o compañera docente de PM puede aportar a la reflexión de los estudiantes.

Graficamos las parejas ordenadas que nos comparte el software Tracker (la primera entrada corresponde al tiempo, la segunda a la posición vertical de la pelota).

Para hablar la lengua en la que está escrito el universo necesitamos matematizar aún más esta información. Queremos una regla de correspondencia que, a cada momento t en el tiempo, le asocie un punto y un número que represente la altura que tiene el objeto en el momento t. Estas reglas de correspondencia, que revisaremos con más detenimiento próximamente, se llaman funciones.

Llamemos f a la función que podría describir el movimiento de la pelota de los gatos que cae libremente al suelo desde la mano del coordinador. ¿Cómo podemos expresar f en términos de sumas, restas, raíces y productos? ¿Será posible?

Recordarás de tu curso de Pensamiento Matemático 2 que la gráfica de la función g(t) = at + b es una línea recta con pendiente a y ordenada al origen b.

¿Puede una función como g modelar el movimiento de la pelota en caída libre de los michis?

La respuesta es un rotundo no: si eliges cualesquiera dos puntos distintos en el plano coordenado que obtuvimos usando Tracker y trazas la única recta que pasa por dichos puntos estarás dejando fuera muchos de los otros puntos, demasiados para que usar la función g(t) = at+b como modelo refleje fielmeente dicho movimiento.

¿Recuerdas que en PM1 le dedicamos algunas clases al tema de regresión lineal? ¿Qué te dice ese tema con respecto a este fenómeno?

GeoGebra nos brinda la posibilidad de aproximar a un conjunto de puntos en el plano cartesiano a gráficas de funciones polinomiales de grado 1 (rectas), de grado 2 o grado mayor, además de que podemos aproximar esa nube de puntos utilizando funciones trigonométricas o exponenciales (las revisaremos más adelante). Entre más se vaya pegando la nube de puntos que recogimos de nuestro experimento a la gráfica de la función propuesta, mejor será la función para modelar el fenómeno de estudio.

Si queremos proponer una función lineal para modelar nuestro experimento de caida libre, GeoGebra nos sugiere la siguiente función:

La función g(t) = -2.88253t + 1.7911 que GeoGebra nos propone, y que en algún sentido es la mejor función lineal cuya gráfica se aproxima a la nube de puntos (regresión lineal) recogidos del experimento no refleja muy bien el comportamiento del objeto arrojado en caída libre (¿por qué?). Consideremos ahora funciones cuadráticas..., es decir, funciones de la forma h(t) = at2 + bt + c

¡Mucho mejor! La función cuadrática h(t) = -4.7829t2 -0.4368t+1.5924 al parecer es un mejor modelo para describir la caída libre de la pelota de los gatitos. (¿Por qué?)

Puedes utilizar también este ejemplo para hacer una revisión del concepto de velocidad, recuerda que la velocidad promedio de un cuerpo es una razaón de cambio que se calcula como el cociente de la distancia recorrida por ese cuerpo entre el tiempo en que tarda en reocorrer dicha distancia. Actividad.- Con los datos de la tabla anterior, ¿puedes determinar en qué momentos la pelota adquiere una mayor velocidad?

Ustedes, estimadas y estimados docentes, seguramente tenían la respuesta de antemano. ¿Quieren complicar un poco las cosas? Muy bien... Miremos la aproximación que GeoGebra hace de nuestra nube de puntos utilizando funciones trigonométricas:

También parece una buena aproximación, pero nosotros y nosotras sabemos que son las funciones cuadráticas las que modelan a los cuerpos en caída libre, ¿a qué se debe que con funciones trigonométricas aparentemente también se modele este movimiento? ¿Se equivocó Galileo? Antes de pasar a la siguiente diapositiva intenta responder esta pregunta.

No, Galileo no se equivocó. Lo que sucede es que un experimento no es suficiente para establecer una ley física, como lo estamos viendo con este mismo ejemplo. Si replicas el experimento y, por ejemplo, consideras dejar caer algún objeto desde una mayor altura seguramente la aproximación usando funciones trigonometrícas que el software haga de la nube de puntos con la que lo alimentes no será tan buena. ¿Consideras que sería prudente hablar de este aspecto con tus estudiantes?

Podemos también comparar en una gráfica el tiempo contra la velocidad que tiene un objeto en caída libre.

En este caso es casi inmediato observar que la función que modela la velocidad de la pelota de los gatos en caída libre es una función lineal, pero ¿cuál?Observa que, respondiendo a la pregunta de una actividad anterior, entre más pasa el tiempo, la pelota cae más rápido.

Pero regresemos a la función h(t) = -4.7829t2 -0.4368t+1.5924 y observémosla desde lo que aprenderemos en este curso.

¿Qué nos dice el número 1.5924?¿Qué nos dice -0.4368?¿Qué nos dice -4.7829?

Si hacemos t=0, observa que h(0) = -4.7829x02 - 0.4368x0 + 1.5924= 1.5924.Pero ¿qué significa esto?. Lo que significa es que en el tiempo t=0 la pelota de los gatos estaba a una altura de 1.5924 m. Observa cómo este número es muy próximo a la altura de referencia que pusimos en nuestro experimento.

En el curso estudiaremos derivadas y observaremos que la primera derivada de una función que modela el movimiento de un cuerpo evaluada en el instante t nos dice cuál es la velocidad instantánea de dicho cuerpo en el instante t.

Veremos que la primera derivada de h(t) = -4.7829t2 -0.4368t+1.5924es la función h´(t) = -9.5658t -0.4368, que evaluada en 0 es igual a -0.4368. Esto nos indica que a nuestro coordinador le tembló un poco la mano al momento de soltar la pelota y que además, al activar el rastreador de objeto del software, no lo hizo precisamente en el momento inicial, por ello arrojó como resultado una velocidad inicial de 0.4368 m/s en dirección al suelo. Y la segunda derivada de h(t) (¿Qué función es?) nos indica que la aceleración es constante e igual a 9.5658 m/s2

Casi la famosa constante g=9.81m/s2

Como ha dicho el famoso físico Walter Lewin:

"Toda medición sin conciencia de la incertidumbre de nuestras mediciones no tiene sentido."

¿Qué pasa si no tenemos la herramienta tecnológica para hacer esta actividad? Para finalizar te recomendamos el siguiente video donde se muestra cómo fue que Galileo llegó a descubrir la forma en que los cuerpos caen en caída libre. Podrías considerar replicar este experimento en tu escuela como parte de un proyecto transversal...

Dale clic para ir al enlace del video

2PM3: La matematización del universo

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Transcript

La matematización del universo

¡Gracias!