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1PM3 Arquímedes

Carolina Chávez

Created on October 5, 2022

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Arquímedes

Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto / Mat. Andrés Alonso Flores Marín, Coordinador M. en C. Óscar Alberto Garrido Jiménez, Coordinador académico / M. en C. José Luis Álvarez López, Coordinador de facilitadores / M. en C. Alma Violeta García López, Coordinadora de facilitadores Mtro. Francisco Rivera Ramírez, Diseño académico / Mat. Carla Alejandra Rivera Ramírez, Diseño académico / M. en C. Guadalupe Yañez Barrón, Diseño académico / Dra. Itzel Ricaño Cornejo, Diseño académico Lic. Guillermo Vázquez Zepeda, Diseño académico / Mtra. María Concepción García Rábago, Diseño académico / Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Diana Rivera Hernández, Diseño académico Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional / M. en C.C. Citlali Medal Medellín, Diseño instruccional

Seguramente todos tus alumnos saben que el área de una circunferencia de radio r es

Lo hemos visto desde primaria. Debe ser claro entonces que el área de una circunferencia de radio 1 es

Pero cuánto vale este número, ¿3.1416? ¿3.14159? Es probable qe tus alumnos hayan visto ambas "igualdades" a lo largo de su vida académica.

¿Qué pueden observar tú y tus estudiantes de la siguiente figura en donde aparece una circunferencia de radio 1 con un triángulo equilátero inscrito?

Escucha las observaciones de tus alumnos.

¿Y si ahora consideramos un cuadrado inscrito?

Quizá algunos alumnos y alumnas te comenten que, por ejemplo, el área de la circunferencia es mayor que la del cuadrado inscrito, es decir que el área de dicho cuadrado es menor estricta que pues, por ejemplo, hay “cachitos” de la circunferencia que el cuadrado no alcanza a cubrir.

Mostremos ahora un pentágono regular inscrito en esta circunferencia.

Y mostremos, al mismo tiempo, todos estos polígonos inscritos en la circunferencia de radio 1.

¿Qué pueden observar acerca del área de estos polígonos y el área de la circunferencia?

Probablemente, un alumno o una alumna de tu clase conteste que el área del triángulo equilátero inscrito es menor que el área del cuadrado que es menor que el área del pentágono regular y que todas son menores que el área de la circunferencia de radio 1, es decir que

Posiblemente una conjetura que pueden tener tus alumnos sea: Conjetura. – Entre más lados tiene un polígono regular inscrito en la circunferencia de radio 1, más próxima será su área a la de la circunferencia, es decir más próxima será a Demostrar esta conjetura no es tarea fácil para nosotros en este nivel, pero podemos hablar un poco de ello y sobre las ideas que hay detrás de esto.

Por otro lado, es muy probable que alguien proponga alguna conjetura para la cual no estábamos preparados para hablar, en esos casos, si no podemos responder en ese mismo momento sobre la veracidad de la observación de nuestro estudiante, ¿por qué no decirle que vamos a pensar en lo que nos dice y que posteriormente trataremos de retroalimentarlo? Al fin de cuentas todos somos humanos y nadie, pero nadie, sabe todo. No debes de sentirte mal si esto pasa, al contrario, quiere decir que tus estudiantes están pensando y que te prestan atención y eso, eso es muy valioso.

Podemos jugar un poco, por ejemplo, tratando de encontrar el área del hexágono regular inscrito y compararla con la de la circunferencia de radio 1.

¿Cómo lo harían?

Este es un buen momento para que tus alumnos trabajen por equipos.

No desperdiciemos esta oportunidad dándoles la respuesta, puedes conducirlos a recordar algunas propiedades de polígonos regulares, pero no les resolvamos el problema.

Un posible camino para resolver esta pregunta consiste en encontrar el área del triángulo que mostramos a continuación. Observa que si conocemos cuál es el área de ese triángulo, entonces sabremos cuánto vale el área del hexágono regular inscrito en la circunferencia de radio 1, pues bastaría multiplicar dicho número por 6. Si algún estudiante decide irse por este camino hazle ver que estaría utilizando teoremas sobre congruencia de triángulos, propiedades sobre polígonos regulares y algunas propiedades sobre cálculo de área (para calcular el área de una figura puedes dividirla en pedazos que no se traslapen, cuyas áreas puedas calcular más fácilmente y después sumar estos números, luego, tu estudiante, si decide continuar por el camino de la matemática tendrá la oportunidad de estudiar toda una teoría que se dedica al estudio de esto, el cálculo integral.)

Actividad (puede ser llevada a clase).- Con lo dicho en el párrafo anterior deduce la conocida fórmula tan usada en la primaria que dice cómo para calcular el área de un polígono regular:

Pero ¿cómo calcularía el área de dicho triángulo?En el caso del hexágono regular esto es muy fácil, pues el triángulo en cuestión, además de ser isósceles es equilátero (¿por qué?) El área de dicho hexágono es aproximadamente 2.598. Un número que no es, para ser honestos, una muy buena aproximación de

¿Y si intentamos hacer los cálculos para, digamos, el caso del decágono regular inscrito? ¿Por qué no?

De igual forma bastará conociendo el área de cada uno de los 10 triángulos que conforman al decágono regular. Sin embargo, estos triángulos, a diferencia del caso del hexágono regular, no son equiláteros.

Conocemos dos de los lados del triángulo, de hecho, se trata de un triángulo isósceles con dos de sus lados con longitud 1 (¿por qué?). Pero no conocemos la longitud del tercer lado del triángulo; si la supiéramos, entonces podríamos calcular el área de ese triángulo fácilmente (¿cómo?)

Para calcular el área del triángulo, debemos encontrar la longitud del lado faltante, quizá algunos intenten usar el teorema de Pitágoras, pero ¿podrá funcionar esto?

¿Cuánto vale x y cuánto vale y?No lo sabemos y al parecer Pitágoras no nos lo dirá.

Tenemos más información sobre el triángulo isósceles en cuestión. Sabemos cuánto vale el ángulo comprendido entre los lados que miden lo mismo:

¿Por qué?

La trigonometría entra en nuestro auxilio. Puedes pedirles a tus estudiantes que por el momento te crean como un dogma de fe que el siguiente método nos sirve para calcular la longitud del tercer lado del triángulo y puedes comentarles que posteriormente en el curso lo revisaran con detalle.

Esto puede ayudarnos. Es posible alguno de tus alumnos recuerde de PM2 algo sobre razones trigonométricas o que al menos tenga la intuición de que un triángulo del cuál conocemos dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos está bien determinado, lo cual debe sugerirnos que podemos conocer el tercer lado.

Pregunta: ¿Qué teoremas nos hace posible afirmar que dicho triángulo estaría bien determinado?

Si revisamos la historia de la matemática, podremos darnos cuenta de que a la humanidad le costó muchísimo tiempo lograr hacer estas cuentas. Te invitamos a investigar un poco sobre la larga historia de la trigonometría. En estos momentos, nosotros haremos uso de algunas igualdades provenientes de esta rama de la matemática.Sabemos que en un triángulo rectángulo se satisfacen las siguientes identidades.

Esto nos ayudará a determinar la longitud del lado restante.

Volviendo al caso del triángulo isósceles que apareció en nuestro problema. Tenemos el siguiente esquema:

De donde podemos deducir que :

Por lo que el área de dicho triángulo es igual a:

y por lo tanto, el área del decágono regular inscrito en la circunferencia de radio 1 es:

Actividad (puede ser llevada al aula): 1. Encuentra el área para un polígono regular inscrito de 18 lados. 2. Propón una fórmula para hallar el área de un polígono regular inscrito de n lados.

Esta resulta ser una bonita actividad con la que podras trabajar con tus alumnos y alumnas la categoría de procesos de razonamiento.

Una propuesta de fórmula para hallar el área de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio 1 es:

¿Puedes argumentar por qué esta fórmula funciona?

Una vez con una expresión que ayude a calcular el área del polígono regular inscrito, será más fácil reflexionar sobre nuestra conjetura inicial que decía que entre más lados, mayor sería el área y cada vez más próxima a ser

Para finalizar te presentamos una tabla con las áreas de los polígonos regulares de n lados inscritos en la circunferencia de radio 1, para algunos valores de n:

En un futuro cercano, retornaremos a esta actividad.

Te invitamos a continuar con la siguiente actividad

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