Teoría de la probabilidad
índice
Teoría de probabilidad
Tipos de eventos
Reglas de probabilidad
Definición
Condicional e independencia
Bayes
Conteo
Variables aleatorias
4.1 Definición y enfoque de probabilidad
Probabilidad
Probabilidad: es una medida de la posibilidad de que un evento ocurra. Se utiliza como medida del grado de incertidumbre. Los valores de probabilidad se asignan en una escala de 0 a 1. Una probabilidad cercana a cero indica que es poco probable y cercana a 1 indica que es casi seguro que un evento se produzca.
PROBABILIDAD CLÁSICA
Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. La probabilidad de un evento que se está llevando a cabo se calcula:
Probabilidad frecuentista (empírica)
Probabilidad de que un evento ocurre representa una fracción de los eventos similares que sucedieron en el pasado.
- Esta probabilidad se basa en la teoría de los grandes números.
- Ley de los grandes números: en una gran cantidad de intentos, la probabilidad empírica de un evento se aproximara a su probabilidad real.
Probabilidad SUBJETIVA
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva.
Posibilidad (probabilidad) de un evento en particular que asigna un individuo a partir de cualquier información que encuentre disponible.
Definiciones
Conjunto de todos los resultados del experimento (eventos sencillos). Se denota por S, y los elementos se enmarcan entre llaves { }. Cuando se especifican todos los resultados posibles del experimentos, el espacio muestral de este queda definido.
espacio muestral
Definiciones
experimento
En probabilidad un experimento se define como un proceso que genera resultados bien definidos. En cada repetición ocurre uno y sólo uno de los resultados posibles del experimento.
4.2 tipos de eventos
Definiciones
eVENto
Evento: es un conjunto de uno o más resultados de un experimento.
Definiciones
Es el resultado que se observar en una sola repetición del experimento.
evento simple
Definiciones
Cuando ocurre un evento, el otro no puede ocurrir.
evento MUTUAMENTE EXCLUYENTE
4.3 reglas de probabilidad
𝑃(𝐴𝑈𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)
0≤𝑃(𝐸𝑖)≤1
Si son excluyentes
Probabilidad entre cero y uno inclusivo
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
𝑃(𝐸1)+𝑃(𝐸2)+…+𝑃(𝐸𝑛)=1
La suma de todos los eventos es igual a 1
eventos compuestos
UNIÓN
La unión de dos eventos se denota por AUB, y es el conjunto de resultados que pertenecen a A o B, o a ambos. Esto es AUB, significa A o B
eventos EXCLUYENTES
Si 𝐴 𝑦 𝐵 son eventos mutuamente excluyentes , 𝑃(𝐴∩𝐵)=0 , entonces 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)
intersección de eventos
Dados dos evento 𝐴 𝑦 𝐵, la intersección de 𝐴 𝑦 𝐵 es el evento que contiene los puntos de la muestra que pertenecen tanto a 𝐴 como a 𝐵. Se denota por 𝑃(𝐴∩𝐵)
Complemento
El complemento de un evento A, indicado por AC o por A´, es el conjunto de resultados que no pertenecen a A. AC significa que no ocurra A.
AC=1-A P(AC )=1-P(A)
lEY ADICIÓN
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)
Ejemplo: Un estudio reveló que 30% de los empleados que dejaron la empresa en un plazo de dos años lo hizo por insatisfacción con el sueldo, 20% se fue por insatisfacción con el trabajo y 12% indicó insatisfacción con el sueldo y con el trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado que deje la empresa en un plazo de dos años lo haga debido a su insatisfacción con el sueldo, a su insatisfacción con el trabajo asignado o a ambos?
eJEMPLO
Un gerente de ventas establece que el 0.8 de los contactos de clientes nuevos no generan ninguna venta. Si A es el evento de que se realice una venta de los contactos de clientes. Calcular la probabilidad de A.
eJEMPLO
En una planta de ensamble con 50 empleados, se espera que cada trabajador termine a tiempo el trabajo asignado y el producto ensamblado apruebe la inspección final. Al final del periodo de evaluación el gerente encontró que 5 trabajadores terminaron con atraso, 6 ensamblaron un producto defectuoso y 2 terminaron con atraso y ensamblaron un producto defectuoso. L = evento de terminar con atraso D = evento de ensamblar defectuoso El gerente decide asignar la calificación más baja al empleado que haya terminado con atraso o defectuso. ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente asigne una calificación de bajo desempeño a un empleado?
Ejemplo
Las proporciones de fenotipos sanguíneos A, B, AB y O, son 0.41, 0.10, 0.04, y 0.45, respectivamente. Si al azar se escoge una persona de la población, ¿cuál es la probabilidad de que él o ella tengan tipo de sangre A o tipo AB?
Ejemplo
La asignación de probabilidades es P(E1)=0.05 P(E2)=0.20, P(E3)=0.20, P(E4)=0.25, P(E5)=0.15, P(E6)=0.10 y P(E7)=0.05. Calcula P(A), P(B), P(C) Calcula P(AUB)
Calcula P(AnB)
¿A y C son mutuamente excluyentes?
Calcula P(BC)
Suponga que tiene un espacio muestral S={E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7}
A={E1, E4, E6}
B={E2, E4, E7}
C={E2, E3, E5, E7}
ejemplo
Un estudiante toma dos cursos; historia y matemáticas. La probabilidad de aprobar historia es 0.60 y de aprobar matemáticas es 0.70, la probabilidad de aprobar las dos es 0.50. ¿Cuál es la probabilidad de que pase por lo menos una de ellas?
C={apruebe ambas}0.50
0.60
A={apruebe historia}
0.50
B={apruebe matemáticas}
4.4 probabilidad condicional
P(A|B)
Es la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro evento ya ha ocurrido. La probabilidad condicional del evento A dado que el evento B ha ocurrido se denota por P(A|B).
Si B ocurrió, la única manera de que se observe A es que ocurra AnB. Por lo tanto la razón 𝑃(𝐴│𝐵)=(𝑃(𝐴∩𝐵))/(𝑃(𝐵))
La probabilidad condicional del evento A, dado que el evento B ha ocurrido, es :
La probabilidad condicional del evento B, dado que el evento A ha ocurrido, es :
𝑃(𝐴│𝐵)=𝑃(𝐴∩𝐵)/(𝑃(𝐵) Si 𝑃(𝐵)≠0
𝑃(𝐵│𝐴)=(𝑃(𝐴∩𝐵)/(𝑃(𝐴) Si 𝑃(𝐴)≠0
eJEMPLO
La policía local esta formada por 1200 oficiales, 960 son hombres y 240 son mujeres. Durante los últimos dos años fueron ascendidos 324 oficiales policías; 288 fueron hombres y 36 mujeres.
A) Calcula la probabilidad de seleccionar una mujerB) Calcula la probabilidad de seleccionar un hombreC) Calcula la probabilidad de ascenso
eJEMPLO
D) Calcula la probabilidad de que sea ascendido dado que es hombre
E) Calcula la probabilidad de que sea ascendido dado que es mujer
P(A|H)=𝑃(𝐴∩𝐻)/𝑃(𝐻)=(288⁄1200)/(960⁄1200)=0.24/0.80=0.30P(A|M)=(𝑃(𝐴∩𝑀)/𝑃(𝑀)=(36⁄1200)/(240⁄1200)=0.03/0.20=0.15
La probabilidad de un ascenso, dado que el policía es hombre, es el doble de la probabilidad de ascenso de una mujer.
tABLA DE CONTINGENCIA
Es una tabulación cruzada que resume al mismo tiempo dos variables de interés y su relación.
tABLA DE CONTINGENCIA
evento
TÍTULO 2
Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit
TÍTULO 3
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TÍTULO 4
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TÍTULO 5
Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit
tABLA DE CONTINGENCIA
H= oficial sea hombres M= oficial sea mujer A= oficial sea promovido AC=oficial no sea promovido
Definiciones
Probabilidad conjunta: es la probabilidad de la intersección de dos eventos
Probabilidad marginal es la probabilidad de cada evento, por separado. Sólo un evento puede llevarse a cabo. Se encuentran al sumar las probabilidades conjuntas en fila o columna.
Ejemplo: Probabilidad de ser ascendido es: P(A)=P(AnM)+P(AnH)=0.24+0.03=0.27
Definiciones
Eventos independientes
Definiciones
Eventos independientes En el ejemplo de los policías la probabilidad de ascenso ha cambiado o se ha visto influida por el hecho de que el policía sea hombre o mujer. Es decir: 𝑃(𝐴│𝐻)≠𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐴│𝑀)≠𝑃(𝐴)
0.30 ≠0.27 y 0.15 ≠0.27
Por lo tanto decimos que A y M NO son eventos independientes son dependientes.
Definiciones
Si la probabilidad del evento A no cambia por la existencia del evento B, es decir
𝑷(𝑨│𝑩)=𝑷(𝑨)
Entonces los eventos son independientes. De lo contrario son dependientes.
Definiciones
La ley aditiva se utiliza para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos. La ley de la multiplicación se utiliza para calcular la intersección, esta última basada en la definición de probabilidad condicional.
Ley de la multiplicación
𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐵)𝑃(𝐴│𝐵)
o
𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵│𝐴)
ejemplo
El 84% de las familias de una zona en particular se suscribe a la edición diaria de un periódico. Si D es el evento de que una familia se suscribe a la edición diaria P(D)=0.84. Se sabe que la probabilidad de que una familia que ya cuenta con una suscripción también adquiere la edición dominical, es 75% P(S|D)=0.75. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia se suscriba tanto a las ediciones dominicales como a las ediciones diarias del periódico?
P(SnD)=P(D)P(S|D)=0.84𝑥0.75=0.63
Definiciones
Cuando dos eventos son independientes
𝑃(𝑆|𝐷)=𝑃(𝑆)
Por lo tanto
𝑃(𝑆∩𝐷)=𝑃(𝐷)𝑃(𝑆)
Ley de la multiplicación para eventos independientes
𝑷(𝑨∩𝑩)=𝑷(𝑨)𝑷(𝑩)
Ejemplo
Un gerente de estaciones de servicios sabe que el 80% de los clientes usan tarjeta de crédito cuando compran gasolina. ¿Cuál es la probabilidad de que los siguientes dos clientes que compren gasolina usen tarjeta de crédito?
A es el evento de que el primer cliente use tarjeta de crédito
B es el evento de que el segundo cliente use tarjeta de crédito
Nos interesa 𝑃(𝐴∩𝐵). Puesto que no hay más información se asume que los eventos son independientes.
𝑷(𝑨∩𝑩)=P(A)P(B)=0.8x0.8=0.64
Ejemplo
Un jugador de la NBA es el mejor lanzador de tiros libres del equipo al anotar el 89% de sus tiros. Suponga que en un partido le cometen una falta y se le otorgan dos tiros.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que anote ambos tiros?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que anote por lo menos un tiro?
c) ¿Cuál es la probabilidad de fallar ambos tiros?
4.5 teorema de bayes
teorema de bayes
Es válido cuando los eventos de los que se quieren calcular las probabilidades posteriores son mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral total.
ejemplo
Una empresa manufacturera recibe empaques de refacciones provenientes de dos proveedores diferentes. El 65% de las partes provienen del proveedor 1 y el 35% del proveedor 2.
A1 es el evento de que las partes provengan de proveedor 1
A2 es el evento de que las partes provengan de proveedor 2
P(A1)=0.65
P(A2)=0.35
ejemplo
La calidad de las partes varía según la fuente de suministro.
G es el evento de que una refacción esté en buen estado
B es el evento de que una refacción esté en mal estado
Los datos históricos sugieren que:
P(G|A1)=0.98 P(B|A1)=0.02
P(G|A2)=0.95 P(B|A2)=0.05
Suponga que las refacciones se usan en un proceso de manufactura de la empresa y que la maquinaria se descompone porque una refacción esta en mal estado. Dada la información de que la refacción esta defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor 1 y cuál de que provenga del proveedor 2?
Diagrama de árbol
diagrama de árbol
ejemplo
5% de la población de un país tiene una enfermedad X.
A1 evento de tener la enfermedad, P(A1)=0.05
A2 evento de no tener la enfermedad, P(A2)=1-P(A1)=0.95
Una técnica de diagnóstico detecta la enfermedad pero no es muy precisa.
B es el evento “la prueba revela la enfermedad”
La evidencia histórica indica que si una persona padece realmente la enfermedad, la probabilidad de que la prueba indique su presencia es 0.90 P(B|A1)=0.90
Suponga que la probabilidad de que la prueba indique la presencia de la enfermedad en una persona que en realidad no la padece es 0.15
P(B|A2)=0.15
ejemplo
Suponga que se selecciona una persona al azar, y se realiza la prueba e indica que la enfermedad esta presente. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona realmente padezca la enfermedad?
Si se toma a una persona al azar la probabilidad de tener la enfermedad es 0.05. Si se somete a una prueba y resulta positiva, la probabilidad de que la persona padezca realmente la enfermedad se incrementa de 0.05 a 0.24
tABLA
ejemplo
P(B|A1)=la probabilidad de que la prueba indique su presencia dado que padece la enfermedad
P(A1|B)=la probabilidad de que la persona padezca la enfermedad dado que la prueba es positiva
ejemplo
Suponga que en una ciudad en particular, el aeropuerto A maneja 50% de todo el tráfico aéreo y los aeropuertos B y C manejan el 30% y 20%, respectivamente. Los porcentajes de detección de armas en los tres aeropuertos son: 0.9, 0.8 y 0.85 respectivamente. Si se encuentra un pasajero en uno de los aeropuertos llevando un arma, ¿cuál es la probabilidad de que el pasajero esté en el aeropuerto A? ¿y el aeropuerto C?
ejercicio
De la siguiente tabla
¿los eventos U y A son independientes? Explique.
ejercicio
Suponga que en la población general, hay 51% de hombres y 49% de mujeres, y que las proporciones de hombres daltónicos se muestran en la siguiente tabla de probabilidades: Si se elige al azar a un hombre, ¿cuál es la probabilidad de sea daltónico?¿Cuál es la probabilidad de ser daltónico, dado que la persona es mujer?
¿Cuál es la probabilidad de ser hombre y ser daltónico?
¿Cuál es la probabilidad marginal de no ser daltónico?
ejercicio
Los registros de delincuencia urbana muestran que 20% de todos los delitos son violentos y que 80% no los son, abarcando robo, falsificación, etc. Noventa por ciento de los delitos violentos son denunciados contra 70% de los no violentos.a) ¿Cuál es el porcentaje general de denuncias por delitos urbanos? b)¿Si un delito está ocurriendo y es denunciado ¿cuál es la probabilidad de que sea violento?¿cuál es la probabilidad de que no sea violento?
ejercicio
Un equipo de béisbol de las ligas menores, juega 70% de sus partidos en la noche y el 30% de día. El equipo gana 50% de los juego nocturnos y 90% de los diurnos. De acuerdo con el periódico de hoy, ganaron el día de ayer, ¿cuál es la probabilidad de el partido se haya jugado de noche?
4.6 mÉTODOS DE CONTEO
REGLAS DE CONTEO
La identificación y conteo de los resultados del experimento son necesarios en la asignación de probabilidades. Hay tres reglas de conteo:
1. Regla mn
2. Combinaciones
3. Permutaciones
REGLAS DE CONTEO
1. Regla mn Si un experimento se describe en una secuencia de k pasos con n1 resultados posibles en el paso 1, n2 resultados posibles en el paso 2 y así sucesivamente, el número total de resultados del experimento está dado por:
(n1)(n2)(n3)….(nK)
Ej.: Un experimento consta de tres pasos; con tres resultados posibles para el primer paso, dos resultados para el segundo paso y cuatro resultados para el tercer paso.
¿Cuántos resultados experimentales existen para todo el experimento?
REGLAS DE CONTEO
Diagrama de árbol Una representación gráfica que puede ayudar a visualizar un experimento de pasos múltiples es el diagrama de árbol. Lanzamiento 1 Lanzamiento 2 Resultados del experimento
REGLAS DE CONTEO
Ejercicio:
Considera el experimento de analizar tres piezas para determinar si son o no defectuosas
a) Elabora el diagrama de árbol para el experimento
b) Prepara una lista de los resultados del experimento c) ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado experimental?
d) ¿Cuántas alternativas posibles hay?
REGLAS DE CONTEO
Ejercicio:
El chofer de un camión puede tomar tres rutas de la ciudad A a la ciudad B, cuatro de la ciudad B a la C y tres de la ciudad C a la D. Si, cuando viaja de A a D, el chofer debe ir de A a B a C a D, ¿cuántas rutas posibles de A a D hay?
REGLAS DE CONTEO
2. Combinaciones Permite contar el número de posibles resultados cuando el experimento consiste en una selección de n objetos de un conjunto de N objetos (n menor que N)
No importa el orden de los resultados Número de combinaciones de N objetos tomadas n a la vez:
REGLAS DE CONTEO
2. Combinaciones Ejemplo: Considere un procedimiento de control de calidad en el cual el inspector selecciona al azar de dos partes de un grupo de cinco partes, para buscar defectos. ¿Cuántas combinaciones de dos partes puede seleccionar?
REGLAS DE CONTEO
3. Permutaciones Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan n objetos de un conjunto de N objetos, y el orden de selección es importante. Los mismos n objetos seleccionados en orden diferente se consideran resultados experimentales diferentes.
REGLAS DE CONTEO
3. Permutaciones Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan n objetos de un conjunto de N objetos, y el orden de selección es importante. Los mismos n objetos seleccionados en orden diferente se consideran resultados experimentales diferentes.
REGLAS DE CONTEO
3. Permutaciones Ejemplo: Si se etiquetan las partes con A,B,C,D,E, las permutaciones son:
AB, BA, AC, CA, AD, DA, AE, EA, BC, CB, BD, DB, BE, EB, CD, DC, CE, EC, DE, ED
REGLAS DE CONTEO
1. ¿Cuántas maneras diferentes hay en el orden de bateo para un equipo de 9 jugadores?
2. Una clase de teoría de probabilidad consiste en 6 hombres y 4 mujeres. Se realiza una prueba y los estudiantes son ordenados de acuerdo con su desempeño. Asumiendo que dos estudiantes no obtuvieran la misma puntuación:
a) ¿Cuántas formas diferentes de ordenamiento de los estudiantes es posible?
REGLAS DE CONTEO
b) Si los hombres son ordenados entre ellos, y las mujeres entre ellas, ¿cuánta maneras diferentes de ordenar son posibles?
3. Se desean ordenar 10 libros en un librero personal, 4 de los libros son de matemáticas, 3 de química, 2 de historia y 1 de lenguaje. Se desea que los libros de un tema queden juntos. ¿Cuántas formas diferentes hay?
REGLAS DE CONTEO
4. Tres billetes de lotería se sacan de entre un total de 50. Si los billetes se han de distribuir a cada uno de tres empleados en el orden en que son sacados, el orden será importante. ¿Cuántos eventos simples están asociados en el experimento?
REGLAS DE CONTEO
5. Una tarjeta de circuito impreso se puede comprar de entre cinco proveedores. ¿En cuántas formas se pueden escoger tres proveedores de entre los cinco?
6. Cinco fabricantes producen cierto aparato electrodoméstico, cuya calidad varía de un fabricante a otro. Si fuéramos a seleccionar tres fabricantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la selección contenga exactamente dos de los tres mejores?
REGLAS DE CONTEO
7. Un comité de 3 es formado de un grupo de 20 personas. ¿Cuántas formas diferentes de elegir el comité es posible?
8. De un grupo de 5 mujeres y 7 hombres, ¿cuántas formas diferentes de formar un comité de 2 mujeres y 3 hombres es posibles?
¡GRACIAS!
Teoría de la probabilidad
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Teoría de la probabilidad
índice
Teoría de probabilidad
Tipos de eventos
Reglas de probabilidad
Definición
Condicional e independencia
Bayes
Conteo
Variables aleatorias
4.1 Definición y enfoque de probabilidad
Probabilidad
Probabilidad: es una medida de la posibilidad de que un evento ocurra. Se utiliza como medida del grado de incertidumbre. Los valores de probabilidad se asignan en una escala de 0 a 1. Una probabilidad cercana a cero indica que es poco probable y cercana a 1 indica que es casi seguro que un evento se produzca.
PROBABILIDAD CLÁSICA
Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. La probabilidad de un evento que se está llevando a cabo se calcula:
Probabilidad frecuentista (empírica)
Probabilidad de que un evento ocurre representa una fracción de los eventos similares que sucedieron en el pasado.
Probabilidad SUBJETIVA
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. Posibilidad (probabilidad) de un evento en particular que asigna un individuo a partir de cualquier información que encuentre disponible.
Definiciones
Conjunto de todos los resultados del experimento (eventos sencillos). Se denota por S, y los elementos se enmarcan entre llaves { }. Cuando se especifican todos los resultados posibles del experimentos, el espacio muestral de este queda definido.
espacio muestral
Definiciones
experimento
En probabilidad un experimento se define como un proceso que genera resultados bien definidos. En cada repetición ocurre uno y sólo uno de los resultados posibles del experimento.
4.2 tipos de eventos
Definiciones
eVENto
Evento: es un conjunto de uno o más resultados de un experimento.
Definiciones
Es el resultado que se observar en una sola repetición del experimento.
evento simple
Definiciones
Cuando ocurre un evento, el otro no puede ocurrir.
evento MUTUAMENTE EXCLUYENTE
4.3 reglas de probabilidad
𝑃(𝐴𝑈𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)
0≤𝑃(𝐸𝑖)≤1
Si son excluyentes
Probabilidad entre cero y uno inclusivo
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
𝑃(𝐸1)+𝑃(𝐸2)+…+𝑃(𝐸𝑛)=1
La suma de todos los eventos es igual a 1
eventos compuestos
UNIÓN
La unión de dos eventos se denota por AUB, y es el conjunto de resultados que pertenecen a A o B, o a ambos. Esto es AUB, significa A o B
eventos EXCLUYENTES
Si 𝐴 𝑦 𝐵 son eventos mutuamente excluyentes , 𝑃(𝐴∩𝐵)=0 , entonces 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)
intersección de eventos
Dados dos evento 𝐴 𝑦 𝐵, la intersección de 𝐴 𝑦 𝐵 es el evento que contiene los puntos de la muestra que pertenecen tanto a 𝐴 como a 𝐵. Se denota por 𝑃(𝐴∩𝐵)
Complemento
El complemento de un evento A, indicado por AC o por A´, es el conjunto de resultados que no pertenecen a A. AC significa que no ocurra A.
AC=1-A P(AC )=1-P(A)
lEY ADICIÓN
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)
Ejemplo: Un estudio reveló que 30% de los empleados que dejaron la empresa en un plazo de dos años lo hizo por insatisfacción con el sueldo, 20% se fue por insatisfacción con el trabajo y 12% indicó insatisfacción con el sueldo y con el trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado que deje la empresa en un plazo de dos años lo haga debido a su insatisfacción con el sueldo, a su insatisfacción con el trabajo asignado o a ambos?
eJEMPLO
Un gerente de ventas establece que el 0.8 de los contactos de clientes nuevos no generan ninguna venta. Si A es el evento de que se realice una venta de los contactos de clientes. Calcular la probabilidad de A.
eJEMPLO
En una planta de ensamble con 50 empleados, se espera que cada trabajador termine a tiempo el trabajo asignado y el producto ensamblado apruebe la inspección final. Al final del periodo de evaluación el gerente encontró que 5 trabajadores terminaron con atraso, 6 ensamblaron un producto defectuoso y 2 terminaron con atraso y ensamblaron un producto defectuoso. L = evento de terminar con atraso D = evento de ensamblar defectuoso El gerente decide asignar la calificación más baja al empleado que haya terminado con atraso o defectuso. ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente asigne una calificación de bajo desempeño a un empleado?
Ejemplo
Las proporciones de fenotipos sanguíneos A, B, AB y O, son 0.41, 0.10, 0.04, y 0.45, respectivamente. Si al azar se escoge una persona de la población, ¿cuál es la probabilidad de que él o ella tengan tipo de sangre A o tipo AB?
Ejemplo
La asignación de probabilidades es P(E1)=0.05 P(E2)=0.20, P(E3)=0.20, P(E4)=0.25, P(E5)=0.15, P(E6)=0.10 y P(E7)=0.05. Calcula P(A), P(B), P(C) Calcula P(AUB) Calcula P(AnB) ¿A y C son mutuamente excluyentes? Calcula P(BC)
Suponga que tiene un espacio muestral S={E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7}
A={E1, E4, E6}
B={E2, E4, E7}
C={E2, E3, E5, E7}
ejemplo
Un estudiante toma dos cursos; historia y matemáticas. La probabilidad de aprobar historia es 0.60 y de aprobar matemáticas es 0.70, la probabilidad de aprobar las dos es 0.50. ¿Cuál es la probabilidad de que pase por lo menos una de ellas?
C={apruebe ambas}0.50
0.60
A={apruebe historia}
0.50
B={apruebe matemáticas}
4.4 probabilidad condicional
P(A|B)
Es la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro evento ya ha ocurrido. La probabilidad condicional del evento A dado que el evento B ha ocurrido se denota por P(A|B).
Si B ocurrió, la única manera de que se observe A es que ocurra AnB. Por lo tanto la razón 𝑃(𝐴│𝐵)=(𝑃(𝐴∩𝐵))/(𝑃(𝐵))
La probabilidad condicional del evento A, dado que el evento B ha ocurrido, es :
La probabilidad condicional del evento B, dado que el evento A ha ocurrido, es :
𝑃(𝐴│𝐵)=𝑃(𝐴∩𝐵)/(𝑃(𝐵) Si 𝑃(𝐵)≠0
𝑃(𝐵│𝐴)=(𝑃(𝐴∩𝐵)/(𝑃(𝐴) Si 𝑃(𝐴)≠0
eJEMPLO
La policía local esta formada por 1200 oficiales, 960 son hombres y 240 son mujeres. Durante los últimos dos años fueron ascendidos 324 oficiales policías; 288 fueron hombres y 36 mujeres.
A) Calcula la probabilidad de seleccionar una mujerB) Calcula la probabilidad de seleccionar un hombreC) Calcula la probabilidad de ascenso
eJEMPLO
D) Calcula la probabilidad de que sea ascendido dado que es hombre E) Calcula la probabilidad de que sea ascendido dado que es mujer
P(A|H)=𝑃(𝐴∩𝐻)/𝑃(𝐻)=(288⁄1200)/(960⁄1200)=0.24/0.80=0.30P(A|M)=(𝑃(𝐴∩𝑀)/𝑃(𝑀)=(36⁄1200)/(240⁄1200)=0.03/0.20=0.15
La probabilidad de un ascenso, dado que el policía es hombre, es el doble de la probabilidad de ascenso de una mujer.
tABLA DE CONTINGENCIA
Es una tabulación cruzada que resume al mismo tiempo dos variables de interés y su relación.
tABLA DE CONTINGENCIA
evento
TÍTULO 2
Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit
TÍTULO 3
Ut wisi enim ad minim veniam, quis nostrud
TÍTULO 4
Vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at vero
TÍTULO 5
Duis autem vel eum iriure dolor in hendrerit
tABLA DE CONTINGENCIA
H= oficial sea hombres M= oficial sea mujer A= oficial sea promovido AC=oficial no sea promovido
Definiciones
Probabilidad conjunta: es la probabilidad de la intersección de dos eventos Probabilidad marginal es la probabilidad de cada evento, por separado. Sólo un evento puede llevarse a cabo. Se encuentran al sumar las probabilidades conjuntas en fila o columna. Ejemplo: Probabilidad de ser ascendido es: P(A)=P(AnM)+P(AnH)=0.24+0.03=0.27
Definiciones
Eventos independientes
Definiciones
Eventos independientes En el ejemplo de los policías la probabilidad de ascenso ha cambiado o se ha visto influida por el hecho de que el policía sea hombre o mujer. Es decir: 𝑃(𝐴│𝐻)≠𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐴│𝑀)≠𝑃(𝐴) 0.30 ≠0.27 y 0.15 ≠0.27 Por lo tanto decimos que A y M NO son eventos independientes son dependientes.
Definiciones
Si la probabilidad del evento A no cambia por la existencia del evento B, es decir 𝑷(𝑨│𝑩)=𝑷(𝑨) Entonces los eventos son independientes. De lo contrario son dependientes.
Definiciones
La ley aditiva se utiliza para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos. La ley de la multiplicación se utiliza para calcular la intersección, esta última basada en la definición de probabilidad condicional. Ley de la multiplicación 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐵)𝑃(𝐴│𝐵) o 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵│𝐴)
ejemplo
El 84% de las familias de una zona en particular se suscribe a la edición diaria de un periódico. Si D es el evento de que una familia se suscribe a la edición diaria P(D)=0.84. Se sabe que la probabilidad de que una familia que ya cuenta con una suscripción también adquiere la edición dominical, es 75% P(S|D)=0.75. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia se suscriba tanto a las ediciones dominicales como a las ediciones diarias del periódico? P(SnD)=P(D)P(S|D)=0.84𝑥0.75=0.63
Definiciones
Cuando dos eventos son independientes 𝑃(𝑆|𝐷)=𝑃(𝑆) Por lo tanto 𝑃(𝑆∩𝐷)=𝑃(𝐷)𝑃(𝑆) Ley de la multiplicación para eventos independientes 𝑷(𝑨∩𝑩)=𝑷(𝑨)𝑷(𝑩)
Ejemplo
Un gerente de estaciones de servicios sabe que el 80% de los clientes usan tarjeta de crédito cuando compran gasolina. ¿Cuál es la probabilidad de que los siguientes dos clientes que compren gasolina usen tarjeta de crédito? A es el evento de que el primer cliente use tarjeta de crédito B es el evento de que el segundo cliente use tarjeta de crédito Nos interesa 𝑃(𝐴∩𝐵). Puesto que no hay más información se asume que los eventos son independientes. 𝑷(𝑨∩𝑩)=P(A)P(B)=0.8x0.8=0.64
Ejemplo
Un jugador de la NBA es el mejor lanzador de tiros libres del equipo al anotar el 89% de sus tiros. Suponga que en un partido le cometen una falta y se le otorgan dos tiros. a) ¿Cuál es la probabilidad de que anote ambos tiros? b) ¿Cuál es la probabilidad de que anote por lo menos un tiro? c) ¿Cuál es la probabilidad de fallar ambos tiros?
4.5 teorema de bayes
teorema de bayes
Es válido cuando los eventos de los que se quieren calcular las probabilidades posteriores son mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral total.
ejemplo
Una empresa manufacturera recibe empaques de refacciones provenientes de dos proveedores diferentes. El 65% de las partes provienen del proveedor 1 y el 35% del proveedor 2. A1 es el evento de que las partes provengan de proveedor 1 A2 es el evento de que las partes provengan de proveedor 2 P(A1)=0.65 P(A2)=0.35
ejemplo
La calidad de las partes varía según la fuente de suministro. G es el evento de que una refacción esté en buen estado B es el evento de que una refacción esté en mal estado Los datos históricos sugieren que: P(G|A1)=0.98 P(B|A1)=0.02 P(G|A2)=0.95 P(B|A2)=0.05 Suponga que las refacciones se usan en un proceso de manufactura de la empresa y que la maquinaria se descompone porque una refacción esta en mal estado. Dada la información de que la refacción esta defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor 1 y cuál de que provenga del proveedor 2?
Diagrama de árbol
diagrama de árbol
ejemplo
5% de la población de un país tiene una enfermedad X. A1 evento de tener la enfermedad, P(A1)=0.05 A2 evento de no tener la enfermedad, P(A2)=1-P(A1)=0.95 Una técnica de diagnóstico detecta la enfermedad pero no es muy precisa. B es el evento “la prueba revela la enfermedad” La evidencia histórica indica que si una persona padece realmente la enfermedad, la probabilidad de que la prueba indique su presencia es 0.90 P(B|A1)=0.90 Suponga que la probabilidad de que la prueba indique la presencia de la enfermedad en una persona que en realidad no la padece es 0.15 P(B|A2)=0.15
ejemplo
Suponga que se selecciona una persona al azar, y se realiza la prueba e indica que la enfermedad esta presente. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona realmente padezca la enfermedad? Si se toma a una persona al azar la probabilidad de tener la enfermedad es 0.05. Si se somete a una prueba y resulta positiva, la probabilidad de que la persona padezca realmente la enfermedad se incrementa de 0.05 a 0.24
tABLA
ejemplo
P(B|A1)=la probabilidad de que la prueba indique su presencia dado que padece la enfermedad P(A1|B)=la probabilidad de que la persona padezca la enfermedad dado que la prueba es positiva
ejemplo
Suponga que en una ciudad en particular, el aeropuerto A maneja 50% de todo el tráfico aéreo y los aeropuertos B y C manejan el 30% y 20%, respectivamente. Los porcentajes de detección de armas en los tres aeropuertos son: 0.9, 0.8 y 0.85 respectivamente. Si se encuentra un pasajero en uno de los aeropuertos llevando un arma, ¿cuál es la probabilidad de que el pasajero esté en el aeropuerto A? ¿y el aeropuerto C?
ejercicio
De la siguiente tabla ¿los eventos U y A son independientes? Explique.
ejercicio
Suponga que en la población general, hay 51% de hombres y 49% de mujeres, y que las proporciones de hombres daltónicos se muestran en la siguiente tabla de probabilidades: Si se elige al azar a un hombre, ¿cuál es la probabilidad de sea daltónico?¿Cuál es la probabilidad de ser daltónico, dado que la persona es mujer? ¿Cuál es la probabilidad de ser hombre y ser daltónico? ¿Cuál es la probabilidad marginal de no ser daltónico?
ejercicio
Los registros de delincuencia urbana muestran que 20% de todos los delitos son violentos y que 80% no los son, abarcando robo, falsificación, etc. Noventa por ciento de los delitos violentos son denunciados contra 70% de los no violentos.a) ¿Cuál es el porcentaje general de denuncias por delitos urbanos? b)¿Si un delito está ocurriendo y es denunciado ¿cuál es la probabilidad de que sea violento?¿cuál es la probabilidad de que no sea violento?
ejercicio
Un equipo de béisbol de las ligas menores, juega 70% de sus partidos en la noche y el 30% de día. El equipo gana 50% de los juego nocturnos y 90% de los diurnos. De acuerdo con el periódico de hoy, ganaron el día de ayer, ¿cuál es la probabilidad de el partido se haya jugado de noche?
4.6 mÉTODOS DE CONTEO
REGLAS DE CONTEO
La identificación y conteo de los resultados del experimento son necesarios en la asignación de probabilidades. Hay tres reglas de conteo: 1. Regla mn 2. Combinaciones 3. Permutaciones
REGLAS DE CONTEO
1. Regla mn Si un experimento se describe en una secuencia de k pasos con n1 resultados posibles en el paso 1, n2 resultados posibles en el paso 2 y así sucesivamente, el número total de resultados del experimento está dado por: (n1)(n2)(n3)….(nK) Ej.: Un experimento consta de tres pasos; con tres resultados posibles para el primer paso, dos resultados para el segundo paso y cuatro resultados para el tercer paso. ¿Cuántos resultados experimentales existen para todo el experimento?
REGLAS DE CONTEO
Diagrama de árbol Una representación gráfica que puede ayudar a visualizar un experimento de pasos múltiples es el diagrama de árbol. Lanzamiento 1 Lanzamiento 2 Resultados del experimento
REGLAS DE CONTEO
Ejercicio: Considera el experimento de analizar tres piezas para determinar si son o no defectuosas a) Elabora el diagrama de árbol para el experimento b) Prepara una lista de los resultados del experimento c) ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado experimental? d) ¿Cuántas alternativas posibles hay?
REGLAS DE CONTEO
Ejercicio: El chofer de un camión puede tomar tres rutas de la ciudad A a la ciudad B, cuatro de la ciudad B a la C y tres de la ciudad C a la D. Si, cuando viaja de A a D, el chofer debe ir de A a B a C a D, ¿cuántas rutas posibles de A a D hay?
REGLAS DE CONTEO
2. Combinaciones Permite contar el número de posibles resultados cuando el experimento consiste en una selección de n objetos de un conjunto de N objetos (n menor que N) No importa el orden de los resultados Número de combinaciones de N objetos tomadas n a la vez:
REGLAS DE CONTEO
2. Combinaciones Ejemplo: Considere un procedimiento de control de calidad en el cual el inspector selecciona al azar de dos partes de un grupo de cinco partes, para buscar defectos. ¿Cuántas combinaciones de dos partes puede seleccionar?
REGLAS DE CONTEO
3. Permutaciones Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan n objetos de un conjunto de N objetos, y el orden de selección es importante. Los mismos n objetos seleccionados en orden diferente se consideran resultados experimentales diferentes.
REGLAS DE CONTEO
3. Permutaciones Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan n objetos de un conjunto de N objetos, y el orden de selección es importante. Los mismos n objetos seleccionados en orden diferente se consideran resultados experimentales diferentes.
REGLAS DE CONTEO
3. Permutaciones Ejemplo: Si se etiquetan las partes con A,B,C,D,E, las permutaciones son: AB, BA, AC, CA, AD, DA, AE, EA, BC, CB, BD, DB, BE, EB, CD, DC, CE, EC, DE, ED
REGLAS DE CONTEO
1. ¿Cuántas maneras diferentes hay en el orden de bateo para un equipo de 9 jugadores? 2. Una clase de teoría de probabilidad consiste en 6 hombres y 4 mujeres. Se realiza una prueba y los estudiantes son ordenados de acuerdo con su desempeño. Asumiendo que dos estudiantes no obtuvieran la misma puntuación: a) ¿Cuántas formas diferentes de ordenamiento de los estudiantes es posible?
REGLAS DE CONTEO
b) Si los hombres son ordenados entre ellos, y las mujeres entre ellas, ¿cuánta maneras diferentes de ordenar son posibles? 3. Se desean ordenar 10 libros en un librero personal, 4 de los libros son de matemáticas, 3 de química, 2 de historia y 1 de lenguaje. Se desea que los libros de un tema queden juntos. ¿Cuántas formas diferentes hay?
REGLAS DE CONTEO
4. Tres billetes de lotería se sacan de entre un total de 50. Si los billetes se han de distribuir a cada uno de tres empleados en el orden en que son sacados, el orden será importante. ¿Cuántos eventos simples están asociados en el experimento?
REGLAS DE CONTEO
5. Una tarjeta de circuito impreso se puede comprar de entre cinco proveedores. ¿En cuántas formas se pueden escoger tres proveedores de entre los cinco? 6. Cinco fabricantes producen cierto aparato electrodoméstico, cuya calidad varía de un fabricante a otro. Si fuéramos a seleccionar tres fabricantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la selección contenga exactamente dos de los tres mejores?
REGLAS DE CONTEO
7. Un comité de 3 es formado de un grupo de 20 personas. ¿Cuántas formas diferentes de elegir el comité es posible? 8. De un grupo de 5 mujeres y 7 hombres, ¿cuántas formas diferentes de formar un comité de 2 mujeres y 3 hombres es posibles?
¡GRACIAS!