trayectorias ortogonales

Presentación

TRAYECTORIAS ORTOGONALES

¿QUE ES? UNA TRAYECTORIA ORTOGONAL

En matemáticas , una trayectoria ortogonal es una curva que interseca las curvas de una viga en el plano ortogonalmente. Por ejemplo, las trayectorias ortogonales de un conjunto de círculos concéntricos son las líneas que pasan por el centro común. Los métodos habituales para determinar trayectorias ortogonales vienen dados por la resolución de ecuaciones diferenciales; en casos simples, se determina una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, que se resuelve separando las variables para obtener la expresión exacta.

APLICACIONES DE LAS TRAYECTORIAS

Suponga que nos dan una familia de curvas como en la Figura Podemos pensar en otra familia de curvas.Tal que cadamiembro de esta familia corte a cada miembro de la primera familia en ángulos rectos.Por ejemplo, la curva AB se encuentra con varios Miembros de la familia punteada enángulos rectos en los puntos L, M, N, O, P. Decimos que las ‘familias son mutuamenteortogonales, o que una familia Forma un conjunto trayectorias ortogonales de la otra familia.

Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es una trayectoria ortogonal para una familia de curvas F(x,y,C) = 0 dada, si cualquier curva de la familia T corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas $ F(x, y, C) = 0 bajo un ángulo recto. Dado el haz de curvas F(x,y,C) = 0, para determinar las trayectorias ortogonales se realizará el siguiente procedimiento: Paso 1: Obtener la E.D.O asociada al haz de curvas F(x, y, C) = 0, es decir &space;y,&space;y^{\prime}&space;)&space;=&space;0″ alt=»F(x, y, y^{\prime} ) = 0″ align=»absmiddle» /> Paso 2: Debe sustituirse , en la E.D.O obtenida en el paso anterior, por y así se obtiene la E.D.O asociada a la trayectoria ortogonal Paso 3: Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 2, para obtener la trayectoria ortogonal T(x, y, k) = 0.

Las trayectorias ortogonales son de interés en la geometría de curvas planas y en algunas cuestiones de matemática aplicada. Por ejemplo si una corriente eléctrica fluye por una lámina plana de material conductor, las curvas equipotenciales son las trayectorias ortogonales de las lineas de flujo.

Como otro ejemplo podemos mencionar que los meridianos y los paralelos son trayectorias ortogonales entre si, como lo son también las curvas de pendiente más pronunciadas las lineas de contorno en un mapa. Otros ejemplos importantes ocurren en la dinámica de fluidos, conducción de calor y otros campos de la fisica.

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