HISTORIA DEL ÁLGEBRA LINEAL

Historia del

álgebra lineal

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Índice

1. PAPIRO DE AHMES

10. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

2. LOS EGIPCIOS

3. LOS BABILONIOS

4. LOS CHINOS

11. LA ÉPOCA DE LAS SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES

5. MATEMÁTICOS ISLÁMICOS Y EUROPEOS

12. ARS MAGNA

6. EL PROBLEMA DE LA INCONMENSURABILIDAD

13. LENGUAJE DE VECTORES

14. LENGUAJE DE VECTORES

7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS

8. LOS NÚMEROS COMPLEJOS

15. ÁLGEBRA DE MATRICES

9. EULER Y EL NÚMERO IMAGINARIO. CARDANO Y TARTAGLIA

Papiro de ahmes

El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos. En este valioso documento se consideran las ecuaciones de primer grado, donde la incógnita aparece representada por un "ibis" que signiflca escarbando en el suelo.

Papiro de ahmes

El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos. En este valioso documento se consideran las ecuaciones de primer grado, donde la incógnita aparece representada por un "ibis" que signiflca escarbando en el suelo.

Los egipcios

Sabías qué..?Los egipcios, en el siglo XVI a.C., desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales, ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición", que se trata de ir dando valores a la incógnita hasta acertar con la solución correcta. No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita a la que nosotros llamamos "x".

"Una cantidad (o un montón) y su séptimo sumados juntos resulta 19. ¿Cuál es la cantidad?

Los babilonios

Los babilonios sabián cómo resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones de primer y segundo grado, usando completación de cuadrados o sustitución, así como también ecuaciones cúbicas y bicuadráticas, y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

"Existen dos campos cuyas áreas suman 1800 yardas cuadradas. Uno produce granos en razón de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras que el otro produce granos en razón de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si la producción total es de 1100 sacos, ¿cuál es el tamaño de cada campo?"

De los descubrimientos hechos de muestras de escritura cuneiformes de la antigua Babilonia y de su interpretación, se deduce que en aquellos tiempos (1800 a 1600 a.C.) ya sabían resolver ecuaciones del tipo x2+q=px, usando la suma y el producto de sus raíces (x1+x2=p, x1x2=q) y la semidiferencia de éstas; con estos datos obtenían un sencillo sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, (x1+x2)/2 = p/2 y (x1-x2)/2 = √((p/2)2-q).

Problema concreto hallado en las tablillas de Croquetta, que datan del último período sumerio hacia el año 2100 a.C.,

Los chinos

(siglos III y IV a.C.)

En el tratado Nueve capítulos sobre el Arte Matemático, publicado durante la Dinastia Han, aparece el siguiente problema así como un método para su resolución, conocido como la regla "fan-chen": "Hay tres clases de granos; tres gavillas de primera clase, dos de la segunda clase y una de la tercera hacen 39 medidas; dos de la primera, tres de la segunda y una de la tercera hacen 34 medidas; y una de la primera, dos de segunda y tres de la tercera hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de granos están contenidas en una gavilla de cada clase?"

Esta obra fue compuesta por el hombre de estado y científlco Chuan Tsanom en el año 152 a.C. Sabías qué...? Esta obra fue consultada por Carl Friederich Gauss (1777-1855) en un estudio sobre la órbita del asteroide Pallas. Usando observaciones de Pallas, tomadas entre los años 1803 y 1809, Gauss obtiene un sistema de seis ecuaciones lineales en seis incógnitas y dá un método sistemático para resolver tales ecuaciones, hoy día conocido como eliminación gaussiana.

Matemáticos islámicos y europeos

Leonardo de Pisa (1180-1250)

Al-Khwarizmi (siglo VIII)

En su obra Liber Quadratorum publicada en 1225, estudió el sistema no lineal:

Del título de su obra más importante, “Hisab al-jabr wa-al-muqabala” (el cálculo de integración y ecuación), deriva la palabra "álgebra". En esta obra se estudian seis tipos de ecuaciones cuadráticas.

El problema de la inconmensurabilidad

Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época.Según E. T. Bell, la segunda gran contribución de Pitágoras (mejor habría que decir "de la escuela pitagórica") a las matemáticas fue, aunque le humillase y entristeciese, el descubrimiento de los números irracionales.

Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada.

Los números complejos

Para los números reales negativos, la generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos,

Los números complejos surgen del intento de encontrar las raíces de las funciones cúbicas.

Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545.

Los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sitemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar.

Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos

Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban este tipo de problemas irresolubles.

Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardó el desarrollo de los sistemas numéricos

Euler y el número imaginario. Cardano y tartaglia

Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al desarrollo de los números complejos.Según B.L. van der Waerden, el precursor de los números complejos fue el doctor en medicina G. Cardano (1501-1576), por ser éste el primero en considerar expresiones de la forma a + sqrt(-b) con a;b pertenecientes a R. Cardano propone una solucón para la ecuación x3+px=q con p, q pertenecientes a R Esta solución involucra la raíz cuadrada de la expresión (1/3 q)2 -(1/3 p)2, la cual puede ser negativa. Estos casos son llamados casus irreducibilis por Cardano.

Sabías qué..?La solución propuesta por Cardano, a la ecuación de grado tres, le fue sugerida por Tartaglia tal como el propio Cardano lo reconociera en su libro Ars Magna publicado en 1545.

Teorema fundamental del álgebra

Cada polinomio no constante con coeflcientes complejos tiene al menos una raíz compleja.Este teorema es equivalente a que cada polinomio no constante con coeflcientes reales puede ser factorizado en un producto de factores lineales y cuadráticos. El problema de hallar las raíces de un polinomio con coeflcientes reales ocupó gran parte de la atención de los matemáticos desde los árabes en la antigüedad, quienes usaron métodos aritmético-geométricos, pasando por los griegos (especialmente los pitagóricos y euclidianos) y sus razonamientos geométricos hasta llegar al siglo XVIII de nuestra era con la solución general de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, la imposibilidad de resolver la ecuación de quinto grado usando radicales y la demostración del teorema fundamental del álgebra.

Carl F. gauss (1777-1855)

Las soluciones de las ecuaciones de tercer y cuarto grado fueron obtenidas por matemáticos italianos del siglo XVI, a saber: Scipione del Ferro (1465- 1526), Tartaglia y Cardano para la ecuación de tercer grado y Ludovico Ferrari (1522-1565), amigo y secretario de Cardano, para la ecuación de cuarto grado.

Asimismo, la solución de las ecuaciones de quinto grado fue lograda por Charles Hermite (1822-1901) y Leopold Kronecker (1823-1891) a mediados del siglo XIX. Por otra parte, la imposibilidad de resolver por radicales las ecuaciones de grado mayor o igual a 5 se conoce como el teorema de Abel, en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829).

S. del Ferro

G. Cardano

L. Ferrari

N. Fontana "Tartaglia"

N. Abel

C. Hermite

L. Kronecker

Sabías qué...?En 1545 Cardano publica el Ars Magna. En esta obra da los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Hoy día sabemos que los resultados publicados y muchas de las ideas contenidas no eran suyos. Su Ars Magna sin embargo tuvo una influencia en todos los matemáticos posteriores. En esta obra, además se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x1), donde x es raíz del polinomio.

Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica. Era el mejor libro de Álgebra escrito hasta la fecha. Todavía utilizaba la Geometría para demostraciones algebraicas y todavía rehuía la utilización de números negativos. Sin embargo, el Ars Magna presenta una explicación completa de la ecuación cúbica, incluyendo el tratamiento de números imaginarios. En este libro, también se publica la resolución de la ecuación general de cuarto grado, debida a su alumno, Ferrari, quien se hizo rico al servicio del cardenal Fernando Gonzalo.

LENGUAJE DE VECTORES

El álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y, más recientemente, con los sistemas de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. En ambos contextos subyacen los importantes conceptos de vector y espacio vectorial.A flnales del siglo XVII fueron redescubiertas y desarrolladas las ideas originales de los babilonios, y principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal. Recordemos que hasta el siglo XVIII el álgebra era, esencialmente, el arte de resolver ecuaciones de grado arbitrario. El matemático y flósofo francés, D’Alembert, descubre que las soluciones de un sistema Ax = B forman una variedad lineal. Asimismo, Euler, Lagrange y el propio D’Alembert se dan cuenta que la solución general del sistema homogéneo Ax = 0 es una combinación lineal de algunas soluciones particulares.

J. D’Alembert

L. Euler

J. Lagrange

LENGUAJE DE VECTORES

En 1843, el matemático irlandés Sir William Hamilton (1805-1865) descubre los Quaternions como el primer y único anillo de división no conmutativo sobre los números reales.En esa época aparecen con Hamilton, Arthur Cayley (1821-1895) y Hermann Grassmann (1809-1877) las nociones de vector y de espacio vectorial, como una axiomatización de la idea de "vector", un hecho que representó la génesis del Cálculo vectorial y de la Matemática moderna. Además, considerado el maestro del álgebra lineal, Grassmann introduce el producto geométrico y lineal, siendo el primero de éstos equivalente a nuestro producto vectorial. Asimismo, introduce las nociones de independencia lineal de un conjunto de vectores, así como el de dimensión de un espacio vectorial. Recuerda que.. En los tiempos de Grassmann la única teoría axiomática disponible era la Geometría euclidiana, y que la noción general de álgebra abstracta aún no había sido definida.

A. Cayley

H. Grassmann

W. Hamilton

El primero en usar el término "matriz" fue el matemático inglés James J. Sylvester (1814-1897) en 1850 , quien deflnió una matriz como un arreglo cuadrilongo de términos.A su regreso a Inglaterra en 1851, Sylvester establece contacto con Cayley. Cayley rápidamente entendería la importancia del concepto de matriz y por el año de 1853 publica una nota en donde aparece por vez primera la inversa de una matriz. Más tarde, en 1858, publica su Memoir on the theory of matrices, la cual contiene la primera deflnición abstracta de matriz y donde se muestra que los arreglos de coeflcientes estudiados anteriormente para las formas cuadráticas y las transformaciones lineales son casos especiales de este concepto general.

Asimismo, Cayley desarrolla el álgebra matricial deflniendo las operaciones básicas de suma, multiplicación y multiplicación por escalares, así como la inversa de una matriz invertible, junto con una construcción de la inversa de una matriz invertible en términos de su determinante y prueba que, en el caso de matrices 2x2, una matriz satisface su propia ecuación característica.Probó además que la multiplicación de matrices es asociativa e introduce las potencias de una matriz, así como las matrices simétricas y antisimétricas. Por tanto, siendo flel a la Historia de la Matemática, Cayley merece ser considerado como el fundador del álgebra de matrices aunque haya indicios de que los matemáticos chinos fueron los pioneros en esta materia.

J. Sylvester

A. Cayley

¡Gracias!