Vorbereitung Oberstufe:
Strahlensätze & Trigonometrie
DIe zwei Strahlensätze
Bei einer zentrischen Strckung werden von eine Streckzentrum S aus alle Eckpunkte einer Figur (grün) anvisiert und diese Visierlinien alle mit dem gleichen Streckfaktor k skaliert, d.h. gestreckt bzw. gestaucht (wie hier). Die gelbe Figur, die sich daraus ergibt, ist ähnlich zu der Ausgangsfigur, d.h. die entsprechen- den Winkel sind gleich groß und die entsprechenden Seiten stehen im gleichen Verhältnis zueinander. Betrachtet man als einfachste Figur eine Strecke mit den Punkten A und B, so ergiben sich die beiden Strahelnsatzfiguren: DIe Strecken zwischen alten und neuen Punkten werden gerne als parallele Geraden eingezeichnet. Aufgrund der Ähnlichhkeit gelten die beiden Strahlensätze: (jeweils neue durch alte (neue durch alte Parallele und Strecke auf den Strahlen) neue durch alte Strecke auf den Strahlen) Wenn man nur mit den Strahlen arbeitet, dürfen auch die Teilstrecken betrachtet werden:
links: mit positivem Streckfaktor, rechts mit negativem.
Aufgaben
Bearbeite die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Strahlensätze.
Lösungen:
Weiter geht's mit sin, cos & tanin rechtwinkligen Dreiecken
Vorbereitung Oberstufe:
Strahlensätze & Trigonometrie
sin, cos & tan in rechtwinkligen Dreiecken
Die Strahlensätze zeigen, dass die Seitenverhältnisse nur von den Winkeln der Parallelen und im Punkt S abhängen, aber nicht von der Länge der Strecken. Wenn also die Paralellen senkrecht auf einem Strahl stehen, so wird das Seitenvehältnis eindeutig durch einen der beiden anderen Winkel festgelegt. Je nach dem, welche Seiten ins Verhältnis gesetzt werden, unterscheidet man drei Winkelfunktionen, die genau diesen Zusammenhang zwischen Seitenverhältnis und zugehörigem Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck beschreiben:
Die Bezeichnung der Seiten hängt dabei vom betrachte- ten Winkel ab: die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber, die Ankathete grenzt an ihn an. Im rechts abgebildeten rechtwinkligen Standardreieck liegt der rechte Winkel immer beim Punkt C. Mit Hilfe der Winkelfunktionen lässt sich in rechtwinkligen Dreiecken mit einem Winkel und einer Seite eine weitere Seite berechnen. Und mit Hilfe ihrer Umkehrfunktionen (z.B. sin-1) lässt sich aus zwei Seiten ein Winkel berechnen.
Aufgaben
Bearbeite die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Winkelfunktionen.
Lösungen:
Zurück zu den beiden Strahlensätzen
Weiter geht's mit beliebigen Dreiecken
Vorbereitung SÜ10 LZH:
Strahlensätze & Trigonometrie
sin & cos in beliebigen Dreiecken
Zwar stammen sin, cos und tan aus rechtwinkligen Dreiecken, aber auch in beliebigen Dreiecken kann man sie nutzen, und zwar mit Hilfe des Sinus- bzw. Cosinussatzes: Sinussatz: In beliebigen Dreiecken gilt: Man benötigt also drei Größen, um eine vierte zu berechnen. Bei den gegebenen Größen muss ein Paar aus Winkel und gegenüberliegender Seite dabei sein. Enthält dieses Paar die größere zweier gegebener Seiten, so ist die Lösung eindeutig. Ist es die kleinere, gibt es entweder zwei Lösungen (die zweite ist dann 180° - dem Winkel, den der TR angibt) oder gar keine (der Sinus ist dann größer als 1, und das geht nicht). Hinweis: Manchmal ist dieses Paar versteckt; wenn zwei Winkel gegeben sind, hat man über die Winkelsumme auch automatisch den dritten Winkel! Cosinussatz: In beliebigen Dreiecken gilt: Der Cosinussatz ist immer dann einfach anzuwenden, wenn bei den drei gegebenen Größen KEIN Paar aus Winkel und gegenüberliegender Seite (und keine zwei Winkel) dabei ist. Er kann auch in anderen Fällen benutzt werden, aber der Sinussatz ist dann meist angenehmer anzuwenden. Bonuswissen: Handelt es sich doch um ein rechtwinkliges Dreieck, so fällt das Produkt am Ende des Cosinussatzes weg, da cos(90°) = 0. Dadurch ergibt sich der Satz des Pythagoras!
Aufgaben
Bearbeite die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Sinus- und Cosinussätze.
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Lösungen:
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Zurück zu sin, cos und tan in rechtwinkligen Dreiecken
LZH SÜ10: Strahlensätze und Trigonometrie
michael.brodmeier
Created on August 9, 2022
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Strahlensätze & Trigonometrie
DIe zwei Strahlensätze
Bei einer zentrischen Strckung werden von eine Streckzentrum S aus alle Eckpunkte einer Figur (grün) anvisiert und diese Visierlinien alle mit dem gleichen Streckfaktor k skaliert, d.h. gestreckt bzw. gestaucht (wie hier). Die gelbe Figur, die sich daraus ergibt, ist ähnlich zu der Ausgangsfigur, d.h. die entsprechen- den Winkel sind gleich groß und die entsprechenden Seiten stehen im gleichen Verhältnis zueinander. Betrachtet man als einfachste Figur eine Strecke mit den Punkten A und B, so ergiben sich die beiden Strahelnsatzfiguren: DIe Strecken zwischen alten und neuen Punkten werden gerne als parallele Geraden eingezeichnet. Aufgrund der Ähnlichhkeit gelten die beiden Strahlensätze: (jeweils neue durch alte (neue durch alte Parallele und Strecke auf den Strahlen) neue durch alte Strecke auf den Strahlen) Wenn man nur mit den Strahlen arbeitet, dürfen auch die Teilstrecken betrachtet werden:
links: mit positivem Streckfaktor, rechts mit negativem.
Aufgaben
Bearbeite die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Strahlensätze.
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Strahlensätze & Trigonometrie
sin, cos & tan in rechtwinkligen Dreiecken
Die Strahlensätze zeigen, dass die Seitenverhältnisse nur von den Winkeln der Parallelen und im Punkt S abhängen, aber nicht von der Länge der Strecken. Wenn also die Paralellen senkrecht auf einem Strahl stehen, so wird das Seitenvehältnis eindeutig durch einen der beiden anderen Winkel festgelegt. Je nach dem, welche Seiten ins Verhältnis gesetzt werden, unterscheidet man drei Winkelfunktionen, die genau diesen Zusammenhang zwischen Seitenverhältnis und zugehörigem Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck beschreiben:
Die Bezeichnung der Seiten hängt dabei vom betrachte- ten Winkel ab: die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber, die Ankathete grenzt an ihn an. Im rechts abgebildeten rechtwinkligen Standardreieck liegt der rechte Winkel immer beim Punkt C. Mit Hilfe der Winkelfunktionen lässt sich in rechtwinkligen Dreiecken mit einem Winkel und einer Seite eine weitere Seite berechnen. Und mit Hilfe ihrer Umkehrfunktionen (z.B. sin-1) lässt sich aus zwei Seiten ein Winkel berechnen.
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Bearbeite die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Winkelfunktionen.
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Strahlensätze & Trigonometrie
sin & cos in beliebigen Dreiecken
Zwar stammen sin, cos und tan aus rechtwinkligen Dreiecken, aber auch in beliebigen Dreiecken kann man sie nutzen, und zwar mit Hilfe des Sinus- bzw. Cosinussatzes: Sinussatz: In beliebigen Dreiecken gilt: Man benötigt also drei Größen, um eine vierte zu berechnen. Bei den gegebenen Größen muss ein Paar aus Winkel und gegenüberliegender Seite dabei sein. Enthält dieses Paar die größere zweier gegebener Seiten, so ist die Lösung eindeutig. Ist es die kleinere, gibt es entweder zwei Lösungen (die zweite ist dann 180° - dem Winkel, den der TR angibt) oder gar keine (der Sinus ist dann größer als 1, und das geht nicht). Hinweis: Manchmal ist dieses Paar versteckt; wenn zwei Winkel gegeben sind, hat man über die Winkelsumme auch automatisch den dritten Winkel! Cosinussatz: In beliebigen Dreiecken gilt: Der Cosinussatz ist immer dann einfach anzuwenden, wenn bei den drei gegebenen Größen KEIN Paar aus Winkel und gegenüberliegender Seite (und keine zwei Winkel) dabei ist. Er kann auch in anderen Fällen benutzt werden, aber der Sinussatz ist dann meist angenehmer anzuwenden. Bonuswissen: Handelt es sich doch um ein rechtwinkliges Dreieck, so fällt das Produkt am Ende des Cosinussatzes weg, da cos(90°) = 0. Dadurch ergibt sich der Satz des Pythagoras!
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