La elipse

Instituto Catolico Tecnico Vocacional "Jesus Obrero"

Integrantes: Fredy Alexander Flores Diaz #13 Eduardo Isai Gavidia Castro #15 Nelson Esaú González Choto #16 Aarón Enilson Larín González #20

Maestra: Katy Cristina Cines Gomez Materia: Matematicas Tema: Elipse Grado: 2° año de contaduria seccion "B"

Introducción de un Elipse Las elipses son definidas como el conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano, los cuales tienen dos distancias desde dos puntos fijos que suman para obtener siempre una constante. Esos dos puntos son conocidos como los focos de la elipse y sirven para definirla. Adicionalmente, podemos definir a las elipses como secciones cónicas que son obtenidas por la intersección de un plano con un cono cuando el plano es inclinado a un ángulo con respecto a la base del cono. Las elipses tienen dos ejes de simetría, el eje mayor y el eje menor. El eje mayor es el diámetro más largo de la elipse (usualmente denotado por a). El eje mayor se extiende desde un extremo de la elipse hasta el otro en la parte más ancha y pasa por el centro. Por otra parte, el eje menor es el diámetro más corto (denotado por b). El eje menor cruza a través del centro en la parte más angosta de la elipse.

Objetivos

Objetivo general Presentar de una forma comprensible lo que es una elipse presentando sus usos y características propias de esta figura geométrica. Objetivo específico Comprender sus funciones desde un punto matemático recreando sus fórmulas y la ayuda que ha conllevado el entendimiento de estas fórmulas.

Historia

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde se descubrió que se trataba de un eclipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra focus y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol. Muchos aportaron para el descubrimiento de la elipse, fue estudiada como curva geométrica, por Menaechmus quien fue discípulo de Platón y Eudoxo, mostró que las cónicas se obtienen al cortar un cono por planos, no paralelos en la base que también fue investigada por Euclides. Pero pasó a la historia gracias a Apolonio de Pérgamo, este personaje presento una serie de volúmenes de las obras cónicas, donde en el tercer volumen habla sobre la elipse: “La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F1 constante”. Más tarde Kepler propuso algo diferente, y en 1602 creyó que la órbita de Marte era ovalada, aunque después descubriría que era una elipse con el Sol en un foco, el propuso una serie de leyes en la que describe el movimiento de los planetas en torno al Sol con respecto a la elipse y sus características.

Características de una elipse

Las características principales de una elipse son:

• La elipse tiene dos puntos focales, llamados los focos.
• La excentricidad de la elipse se encuentra entre 0 y 1.

• La suma total de cada distancia desde un punto de la elipse a los dos focos es constante
• Las elipses tienen un eje mayor y un eje menor.
• La intersección del eje mayor y el eje menor es el centro de la elipse.
• Un círculo es un caso especial de una elipse, el cual tiene ambos focos en el centro.

Explicacion detallada

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, denotada por 2a, mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Designemos por Fy 'F los focos de una elipse. La recta que pasa por los focos recibe el nombre de eje focal. El eje focal corta a la elipse en dos puntos, Ay 'A, y el segmento 'AA, se llama eje mayor. La longitud del eje mayor es 2a. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro. La distancia entre los focos 2c, se llama distancia focal. La recta 'l que pasa por C y es perpendicular al eje focal recibe el nombre de eje normal. El eje normal 'corta a la elipse en dos puntos, By 'B, y el segmento B se llama eje menor. La longitud del eje menor es 2b, siendo 2 2 2a b c. Los puntos A,'A, y 'B son llamados vértices. Un segmento tal como ‘E, que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de los focos, tal como'GG, se llama cuerda focal. Una cuerda focal, tal como 'LL, perpendicular a1 eje focal y se llama lado recto.

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Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. La longitud del lado recto es 22ba .Una cuerda que pasa por C, tal como 'DD, se llama un diámetro. La excentricidad de la elipse, denotada por e, se define como la razón cea. Como ca, la excentricidad de una elipse es menor que la unidad. Las rectas d y 'd se llaman directrices. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FPy 'FPy que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores de P. Si el eje focal de la elipse es paralelo al eje x, debemos hacer una traslación de los ejes coordenados, es decir debemos referir la ecuación de la elipse a un sistema de ejes (x1,y1), de modo que en este nuevo sistema las coordenadas del centro C(x0,y0), sean (0,0) en el nuevo sistema.

Tipos de cónicas

Circunferencia: Es la intersección de un cono con un plano paralelo a la base. Elipse: Es la intersección de un cono con un plano oblicuo a la base y que no la corta en ningún momento. Parábola: Es la intersección de un cono con un plano paralelo a su generatriz y que corta a base. Hipérbola: Es la intersección de un cono recto y un plano cuyo ángulo es menor al de la generatriz del cono.

¿Cómo puedes obtener las cónicas?

Se puede observar en el siguiente esquema, si cortamos un doble cono por diversos planos dependiendo su inclinación, las intersecciones que se producen dan lugar a curvas definidas que son las cónicas. En este caso se presentan 4 posibilidades que se pueden producir cuando el plano no pasa por el vértice.

Elementos de la elipse

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'. 2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. 3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'. 4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'. 6. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal. 7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. 8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor. 9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. 10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. 11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Formulas

Anexos

Ejercicios resueltos por cada integrante

Fredy Flores

Anexos

Nelson Choto

Formulas

Anexos

Eduardo Gavidia

Anexos

Aaron Gonzalez

Aplicaciones en la vida cotidiana

La forma de la elipse y sus propiedades hacen que sea útil en varias áreas. Por ejemplo, las elipses son usadas en arquitectura para diseñar edificios y habitaciones, en carpintería para diseñar mesas y piezas de estantería. Las elipses incluso tienen su aplicación en las órbitas de Kepler de planetas y satélites.

1- Órbitas planetarias Las órbitas de los planetas siguen una trayectoria elíptica. La primera ley de Kepler del movimiento planetario dice: La trayectoria de cada planeta es una elipse con el sol en un foco.

Aplicaciones en la vida cotidiana

2- Arquitectura Varias figuras elípticas pueden ser usadas varias figuras elípticas en arquitectura para mejorar el diseño de edificios y producir propiedades únicas. Un ejemplo de esto es el National Statuary Hall en Estados Unidos. Este edificio es elíptico y tiene un fenómeno acústico muy interesante. John Quincy Adams fue el que descubrió este fenómeno. Él colocó a su escritorio en un punto focal del techo elíptico y esto le permitió escuchar conversaciones privadas de otros miembros de la casa de representativos quienes estaban ubicados cerca del otro punto focal.

Aplicaciones en la vida cotidiana

3- Carpintería Las formas elípticas pueden mejorar el diseño de varias piezas de carpintería como mesas, partes de estantería y librerías. Adicionalmente, la propiedad reflectiva de las elipses es útil en el billar elíptico. Como su nombre lo indica, la mesa de billar elíptico tiene una forma de elipse. Al golpear a la bola de modo que pase a través de un foco, se reflejará en la elipse y se irá hacia el hueco que está ubicado en el otro foco.

Aplicaciones en la vida cotidiana

4- Balón de fútbol americano. Las elipses pueden formar diferentes figuras y objetos tridimensionales cuando son rotados. Por ejemplo, si es que rotamos a una elipse con respecto a su eje mayor, obtenemos un balón de fútbol americano.

Aplicaciones en la vida cotidiana

5- En la medicina. En la medicina se usa un aparato llamado litotriptor para desintegrar “cálculos” renales por medio de ondas intra-acústicas de choque. El funcionamiento de este aparato es de la siguiente forma, se coloca un medio elipsoide lleno de agua pegado al cuerpo del paciente en el foco de esta parte del elipsoide se pone un generador de ondas; el foco de la otra parte del elipsoide se debe localizar en estos “cálculos” y así reflejar las ondas en la superficie de la elipsoide de afuera del paciente todas convergen en el “cálculo” y este se desintegró.

Gracias por su atencion

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