Lógica Proposicional

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<Lógica

Lógica proposicionalParte I

Matemática y Lógica T.S. Desarrollo de Software - ESCRio3 Prof. Mariana Gubaro

Apuntes seleccionados de la Bibliografía

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Leng.Simbólico

Introducción

Razonamiento

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Tautología

Sintaxis

Tablas Verdad

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Bibliografía

Quiz

<Introducción

Así como la astronomía estudia los cuerpos celestes del universo y la biología la vida, el objeto de estudio de la lógica lo constituyen las formas de razonamiento. El razonamiento es el proceso por el cual se derivan conclusiones a partir de premisas, apoyándose en verdades supuestas. El razonamiento también sirve para justificar ciertas verdades, es decir para determinar si una verdad es consecuencia (formal) de conocimientos previamente aceptados.

RAZONAMIENTOS CORRECTOS E INCORRECTOS

RAZONAMIENTO Y ESTRUCTURA LÓGICA

Un razonamiento es correcto si la manera en que está construido garantiza la conservación de la verdad: si las premisas son verdaderas entonces la conclusión es necesariamente verdadera. Y es incorrecto si su construcción es defectuosa, si no hay garantía acerca del valor de verdad de la conclusión.

La lógica investiga los principios por los cuales algunos razonamientos son correctos y otros no. Cuando un razonamiento es correcto, lo es por su estructura lógica y no por el contenido específico del argumento o el lenguaje utilizado. Por esta razón la lógica se considera una ciencia formal, como la matemática, en vez de una ciencia empírica. A un razonamiento correcto se lo denomina deducción.

CITA

LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional, también conocida como lógica de enunciados, es un sistema formal cuyos elementos representan proposiciones o enunciados. Esta lógica no tiene, por sí misma, mucha utilidad para la representación del conocimiento. Está justificado detenerse en ella porque permite introducir de una manera sencilla algunos conceptos que, de otro modo, serían más difíciles de comprender.

MECANISMOS DE RAZONAMIENTO

Nos interesa examinar los mecanismos de razonamiento con precisión matemática. Esta precisión requiere que el lenguaje que usemos no dé lugar a confusiones, lo cual conseguimos mediante un lenguaje simbólico donde cada símbolo tenga un significado bien definido.

<Lenguaje Simbólico>

Para estudiar los principios del razonamiento, la lógica necesita mediante sistemas formales en primer término, capturar y formalizar las estructuras del lenguaje natural en un lenguaje simbólico, para luego formalizar los mecanismos de razonamiento que se aplican sobre dichas estructuras lingüísticas

<Lenguaje simbólico

pasAR de UNa frase o enunciado al lenguaje simbólico

Dada una frase en lenguaje natural, podemos observar si se trata de una frase simple o de una frase compuesta.

Ejemplos

Una frase simple consta de un sujeto y un predicado

Vamos a suponer que todas las frases simples pueden ser verdaderas o falsas.

Hablaremos de enunciados (o proposiciones) para referirnos a frases que son verdaderas o falsas.

Una frase compuesta se forma a partir de frases simples por medio de algún término de enlace (o conectiva).

Ejemplos

Distinguiremos entre enunciados simples (atómicos) o enunciados compuestos.

<Lenguaje simbólico

(CONTINUACIÓN)

Denotamos los enunciados con letras mayúsculas (A, B, C...) o minúsculas (p, q, r, s...)

Para construir enunciados compuestos introducimos símbolos para las conectivas.

pasAR de UNa frase o enunciado al lenguaje simbólico

lenguaje simbólico

enunciados

lenguaje natural

• Java es un lenguaje de programación y Java es compatible con Android.
• Si Android es un sistema operativo moderno entonces Android soporta Java.

• A: “Java es un lenguaje de programación” • B: “Java es compatible con Android” • C: “Android es un sistema operativo moderno” • D: “Android soporta Java”.

"Traducir un enunciado al lenguaje simbólico, nos permite analizar su estructura lógica"

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<Razonamiento>

Estructura lógica

Analizar las formas de razonamiento implica revisar la estructura lógica de los enunciados de la argumentación.

RAZONAMIENTO CORRECTO

Las premisas son verdaderas y la conclusión también es verdadera

El razonamiento correcto preserva la verdad, no es posible partir de premisas verdaderas y llegar a conclusiones falsas a través de un razonamiento correcto. Veamos algunos ejemplos

Algunas premisas son falsas y la conclusión también es falsa

CITA

RAZONAMIENTO INCORRECTO

partiendo de premisas verdaderas se puede obtener una conclusión falsa

Un razonamiento es directamente incorrecto cuando a partir de premisas verdaderas permite arribar a una conclusión falsa, o bien es incorrecto porque tiene la estructura de un razonamiento incorrecto (aunque la conclusión sea verdadera, pues se llega a la misma "de casualidad")

CITA

El razonamiento correcto garantiza que si las premisas son verdaderas entonces lo será también la conclusión

En resumen, un razonamiento es directamente incorrecto cuando a partir de premisas verdaderas permite arribar a una conclusión falsa, o bien es incorrecto porque tiene la estructura de un razonamiento incorrecto (aunque la conclusión sea verdadera). La corrección de la forma solamente garantiza que si las premisas son verdaderas entonces lo será también la conclusión. Este caso es de gran importancia en el método científico, ya que permite razonar correctamente, pero sobre hipótesis que podrían ser falsas. La verdad de la conclusión no nos asegura nada acerca de la verdad de las premisas.

<Sintaxis>

Gramática y Jerarquía en el Lenguaje Lógico

<Gramática>

fórmulas que no son formas enunciativas

Ejemplos

FORMAS ENUNCIATIVAS

Ejemplos de fórmulas bien formadas (también llamadas formas enunciativas):

<Jerarquía>

Las conjunciones y las disyunciones tienen “menor jerarquía” que los condicionales y bicondicionales. Lo mismo sucede con la negación respecto de la conjunción y disyunción.

Dada una fórmula sin paréntesis, las conjunciones y las disyunciones deben resolverse antes que los condicionales y los bicondicionales, y las negaciones antes que las conjunciones y disyunciones.

<Tablas de Verdad>

Valores de verdad

Como todo enunciado simple es verdadero o falso, una variable de enunciado tomará uno u otro valor de verdad: V (verdadero) o F (falso). La verdad o falsedad de un enunciado compuesto depende de la verdad o falsedad de los enunciados simples que lo constituyen, y de la forma en que están conectados.

< Conectivas - Tablas de Verdad

En primer lugar, vamos a analizar el significado de cada una de las conectivas, mediante tablas de verdad.

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< Conectivas - Tablas de Verdad

(CONTINUACIÓN)

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< Tablas de Verdad para Enunciados Compuestos

La tabla de verdad de una forma enunciativa cualquiera establece, para cada asignación de valores de verdad sobre las variables de enunciado involucradas, el valor que toma, y se obtiene usando las tablas de verdad de las conectivas analizadas previamente. A una forma enunciativa con n variables diferentes, siendo n > 0, le corresponde una función de verdad de n argumentos, y la tabla de verdad tendrá 2n filas, una para cada una de las posibles combinaciones de valores de verdad

<Tautología y Contradicción>

Equivalencias lógicas

Definiciones - Equivalencias

<Tautología y Contradicción>

contradicción

Tautología

Si en cambio la forma enunciativa siempre toma el valor de verdad F, la forma enunciativa se conoce como contradicción.

Una forma enunciativa es una tautología si siempre toma el valor de verdad V, considerando todas y cada una de las posibles asignaciones de valores de verdad a las variables de enunciado que contiene (independientemente del valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen). Es decir, son aquellas fórmulas que en la ultima columna de su tabla de verdad presentan una “V” en cada fila.

CITA

<Bibliografía>

Pons, C. Rosenfeld, R. y Smith, C. (2017). Lógica para informática. EDULP. http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/61426

Alcón, L. (2014). Notas de álgebra y matemática discreta. EDULP. http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/35236

Prof. Mariana Gubaro

profmgubaro@gmail.com