Vectores

Álgebra lineal

Vectores

Compiladora: Ma. Verónica García Ronquillo

Índice

Producto vectorial (cruz)

Vectores en el espacio

Clasificación de magnitudes

Producto mixto

Cosenos directores

Vectores

Representación vectorial de una superficie

Vectores unitarios

Métodos gráficos

Agradecimiento

Producto escalar (punto)

Métodos analíticos

Clasificación de magnitudes

Las propiedades físicas en la mecánica deben expresarse por una magnitud y una cierta unidad que las permita medir y comparar entre si, sin embargo debido a que en algunos casos esa información no es suficiente es necesario clasificar las magnitudes físicas en:

Magnitudes escalares

Magnitudes vectoriales

Vector

• ¿Qué es un vector?

• Escritura de un vector

• Tipos de vectores

• Álgebra de vectores

Método del polígono

Métodos gráficos

La resultante de la suma o de la diferencia de vectores se puede hallar a través de diferentes métodos, tales como:

Método del triángulo

Método del paralelogramo

Métodos analíticos

Existe una variedad de métodos en la solución analítica o numérica de vectores, sin embargo se pueden clasificar los mismos en 3, aquellos que tiene una base geométrica, como ser método del paralelogramo, el método del teorema de los cosenos, el método del teorema de los senos, el método del teorema de Lamy, y el método de Pitágoras, y el método de descomponían o método del eje cartesiano, y por último el método vectorial.

Método del teorema del paralelogramo

Método del Teorema de Lamy

Método de descomposición vectorial o eje cartesiano

Método del teorema de los cosenos

Método del teorema de Pitágoras

Método del teorema de los senos

Método de coordenadas

Vectores en el espacio

En la naturaleza todo se encuentra en el espacio razón por la cual es necesario representar vectores en espacio, existen varias maneras de representar vectores en el espacio uno de los métodos más sencillos es a través de sus coordenadas rectangulares:

Todo vector en el espacio a diferencia de un vector en el plano tiene su componente en el eje Z. 𝐴⃗ = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦, 𝐴𝑧)

Para graficar un vector en el espacio se sigue los siguientes pasos:- Primero: Ubicar las componentes X y Y en un plano cartesiano- Segundo: En el punto donde se intersecan ambas componentes se traza una paralela al eje Z- Tercero: Encima del nuevo eje se dibuja la componente del vector en el eje Z si es positivo hacia adelante y si es negativo hacia atrás.

Ejemplo

Cosenos directores

Para ubicar un vector en el espacio es necesario direccionarlo respecto a los tres ejes x,y,z razón por la cual una manera de ubicar un vector en el espacio es a través de los cosenos directores:

Ejemplo

Vectores unitarios

Un vector unitario es aquel vector que tiene la misma dirección y sentido del vector original, pero su modulo es 1, dicho vector se denota por ( ̂ ) y se determina mediante la ecuación:

- Para verificar si es un vector unitario se debe verificar que el modulo del vector unitario: |𝐴̂ | = 1

- Para representar cualquier vector en el espacio es necesario conocer los vectores unitarios fundamentales o principales que son: 𝑖̂: 𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥𝑗̂: 𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦𝑘̂ : 𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑧

Ejemplo

Producto escalar o producto punto

El producto escalar o producto punto de dos vectores es un escalar, físicamente el producto escalar nos indica la proyección del segundo vector sobre el primero.

Propiedades del producto escalar

Cálculo del producto escalar

Ejemplo

Producto vectorial o producto cruz

El producto vectorial o producto cruz de dos vectores es otro vector perpendicular a los anteriores vectores, físicamente el modulo del producto vectorial nos indica el área formado por el paralelogramo de ambos vectores.

Propiedades del producto vectorial

Cálculo del producto vectorial

Ejemplo

Producto mixto

El producto mixto físicamente nos da la proyección del vector superficie dado por el producto escalar, proyectado escalarmente sobre un vector altura, debido a lo cual el producto mixto de tres vectores nos da el volumen de un prisma en el espacio, tal como se indica a continuación

Ejemplo

Representación vectorial de una superficie

Si representemos una superficie plana, cuya periferia L esta orientada como indica la flecha. Esta superficie la representaremos por el vector S, cuya magnitud es igual al área de la superficie y cuya dirección es perpendicular a la superficie. El sentido del vector es el de un tornillo de rosca derecha.

Se puede ver que el plano de la superficie S, hace un ángulo θ con el plano XY. La proyección de S en el plano XY es S cos θ. Pero la normal al plano de la superficie también forma un ángulo θ con el eje Z. La componente Z del vector S es Sz = S cos θ del.

Ejemplo

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