LZH SÜ10: Winkel und Dreiecke

Vorbereitung Oberstufe:

Winkel und Dreiecke

Geradenkreuzungen

Zwei Geraden, die sich kreuzen, bilden eine Geradenkreuzung (GK). Liegt eine dritte Gerade parallel zu einer der beiden anderen, spricht man von einer doppelten Geradenkreuzung. Dort gibt es folgende Winkel: Nebenwinkel (z.B. α und β): liegen nebeneinander und ergebene zusammen 180°. Scheitelwinkel (z.B. α und δ): liegen einander gegenüber. Stufenwinkel (z.B. α und α'): haben die gleiche Position innerhalb einer GK, sind aber in verschiedenen GKen. Wechselwinkel (z.B. α und δ'): sind der Scheitelwinkel vom Stufenwinkel. Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel sind ALLE GLEICH GROSS!

Geradenkreuzungen spielen häufig in Kombination mit Dreiecken und Vierecken eine Rolle. Daher hier noch ein paar wichtige Dinge: - DIe Winkelsumme in JEDEM Dreieck beträgt 180°. - Die Winkelsumme in JEDEM Viereck beträgt 360°. - Bei gleichschenkligen Dreiecken gibt es eine Seite namens Basis (hier c), deren angrenzende Winkel (Basiswinkel) gleich groß sind. Die anderen Seiten sind gleich lang. - Bei gleichseitigen Dreiecken sind alle Seiten gleich lang und die Winkel alle 60° groß. - Bei gleichschenkligen Trapezen gibt es ebenfalls eine Basis und zwei gleich große Basiswinkel. Dadurch sind auch die anderen beiden Winkel gleich groß.

Aufgaben (OHNE TR)

Bestimme die Winkel in den folgenden Situationen.

Lösungen:

Weiter geht's mit rechtwinkligen Dreiecken

Vorbereitung SÜ10 LZH:

Winkel und Dreiecke

Rechtwinklige Dreiecke

Man kann sich sehr leicht rechtwinklige Dreiecke konstruieren. Dazu braucht man nur einen Halbkreis. Nach dem Satz des Thales bildet jeder Punkt auf dem Bogen des Halbkreises zusammen mit dessen Durchmesser ein rechtwinkliges Dreieck. In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt natürlich der Satz des Pythagoras: "DIe Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat." Die Hypotenuse ist die Seite, die gegenüber vom rechten Winkel liegt, sie ist die längste Seite des Dreiecks. Umgekehrt gilt auch: Wenn das Quadrat der längsten Seite gleich der Summe der beiden Quadrate der anderen Seiten ist, ist das Dreieck rechtwinklig. Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich u.a. Abstände zwischen Punkten im Koordinatensystem berechnen. Der gesuchte Abstand entspricht dann der Hypotenuse, die Katheten ergeben sich aus den Koordinaten der Punkte. Zeichnet man noch die Höhe der Hypotenuse ein, so ergeben sich die sogenannten Hypotenusenabschnitte q und p. Mit diesen gilt der Höhensatz von Euklid: h² = p · q. Das ist aber eher Bonuswissen und kann zur Not später mit Winkelfunktionen ersetzt werden. Er ist aber oft eine nette Abkürzung.

Aufgaben

Löse die folgenden Aufgaben.

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Lösungen:

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