2U. BAT 1. POLÍGONS REGULARS

UNITAT 2

POLÍGONS REGULARS

Índex

APLICACIONS PRÀCTIQUES

CONEIXEMENTS TEÒRICS

1.Polígons

6. Construcció de triangles

2. Triangles

7. Construcció de quadrilàters

3. Quadrilàters

8. Traçat de polígons regulars a partir del radi de la circumferència circumscrita

4. Polígons estrellats: pas

5. Mòduls i xarxes

9. Traçat de polígons regulars a partir del costat

10. Activitats

CONEIXEMENTS TEÒRICS

POLÍGONS

1.

Un polígon és una figura tancada i plana limitada per segments rectilins. El nombre d'aquests segments ha de ser igual o superior a tres, i ha de formar una línia poligonal que, anomenem contorn del polígon. La paraula polígon ve del grec polygonos: poly, que significa 'molts', i gonos, que significa 'angles'. Els polígons amb els costats i angles iguals s'anomenen regulars, i poden inscriure's o circumscriure's en una circumferència.

1.1 ELEMENTS QUE CAL CONSIDERAR EN UN POLÍGON

1.2 CLASSIFICACIÓ

1.3 CRITÈRIS DE CONSTRUCCIÓ

1.1 ELEMENTS QUE CAL CONSIDERAR EN UN POLÍGON

En qualsevol polígon podem considerar els elements següents:

Elements lineals:

• Costat. Cada un dels segments que conformen un contorn poligonal; per exemple, AB i CD

• Vèrtex. Cada una de les interseccions entre dos costats: punts A, B...

• Diagonal. És el segment que uneix dos vèrtex no consecutius del polígon. El seu número, en un polígon de x costats, ve donat per la fórmula . que s'obté restant els n vèrtex del polígon a les combinacions de n vèrtex presos de dos en dos.

Això és així perquè de cada vèrtex surt una diagonal als altres vèrtexs, excepte a si mateix i els seus dos consecutius (d'aquí el -3). Com que una diagonal la tracem entre dos vèrtexs dues vegades, una en cada sentit, el resultat del numerador s'ha de dividir per 2.

Com funciona la fórmula?La fórmula es basa en dues idees principals: a) Quants vèrtexs es poden connectar a cada vèrtex del polígon? - En un polígon amb n vèrtexs, si agafes qualsevol vèrtex, aquest es pot connectar amb altres vèrtexs. - Però no tots els vèrtexs es poden connectar per formar una diagonal. Els dos vèrtexs adjacents (els que formen els costats) no compten, i tampoc es pot connectar un vèrtex amb ell mateix. Així que, per a cada vèrtex, hi ha n - 3 possibles connexions que formen diagonals. (b) Quantes diagonals hi ha en total? - Si hi ha n vèrtexs, pots comptar que cadascun es connecta a n - 3 vèrtexs, però aquí estàs comptant dues vegades cada diagonal. Per exemple, si una diagonal connecta el vèrtex A amb el vèrtex B, estàs comptant aquesta diagonal tant des de A com des de B. - Per evitar comptar cada diagonal dues vegades, divides el total per 2.

Així és com la fórmula sorgeix:

• Cada vèrtex es pot connectar amb n - 3 altres vèrtexs.
• Com hi ha n vèrtexs, en total tenim n(n - 3) possibles connexions.
• Però, com hem dit, estem comptant cada diagonal dues vegades, així que dividim entre 2.

Així obtenim la fórmula:

Exemple amb un pentàgon (n = 5): -

• Nombre de vèrtexs (n): 5
• Substituïm a la fórmula:

Així que, en un pentàgon, hi ha 5 diagonals.

• Apotema. És el segment perpendicular a un costat traçat des del centre del polígon
• Radi. És el segment traçat des del centre a un dels seus vèrtex. Als polígons regulars, l'apotema OM coincideix amb el radi de la circumferència inscrita al polígon, i el radi OA amb el de la circumferència que el circumscriu. L'apotema, el radi i la meitat del costat determinen, en els polígons regulars, un triangle rectangle.
• Alçada. És la distància d'un vèrtex al costat oposat o la distància entre dos costats paral·lels, depenent del tipus de polígon.
• Perímetre. És el contorn format pel conjunt de tots els seus costats. S'expressa amb el nombre que s'obté quan se sumen les longituds.

Elements angulars:

• Angle interior. És el determinat per dos costats consecutius, lògicament, a l'interior del polígon: angle alpha de la figura.
• Angle exterior. És el format per un costat i la prolongació del contigu: angla beta. Cada angle interior i l'exterior corresponent sumen 180º, es a dir, són suplementaris.
• Angle central. Té el vèrtex al centre del polígon i els costats passen per dos vèrtex consecutius: angle y de la figura.

Els angles interiors d'un polígon convex sumen tantes vegades dos angles rectes, 180º, com costats té el polígon menys dos: si el nombre de costats del polígon és n, la seva suma és donada per la fórmula (180 . (n - 2)). La justificació d'aquesta fórmula pot deduir-se de l'anàlisi de la figura 5. La suma dels angles exteriors d'un polígon convex és igual a la dels angles centrals: en tots dos casos és 360º.

1.2 CLASSIFICACIÓ

Una primera classificació dels polígons s'estableix entre convexos i no convexos o còncaus. Als polígons convexos, si unim dos punts P i Q qualsevol de l'interior del polígon, el segment PQ també serà a l'interior del polígon. Una altra característica d'aquests polígons és que tots els seus angles interiors són inferiors a 180°. Contràriament, els polígons còncaus, el segment PQ, per a qualsevol parell de punts de l'interior del polígon, no sempre està contingut totalment a l'interior, i almenys algun dels angles interiors que l'integren és més gran que 180°

Polígons convexox:

Podem subdividir els polígons convexos en regularsi no regulars o irregulars. Els polígons regulars es caracteritzen per ser, alhora:

• equilàters (costats amb la mateixa longitud)
• equiangles (tots els angles iguals).

Tant uns com els altres s'agrupen pel nombre de costats i aquesta característica és la que els dóna nom: triangles, quadrilàters, pentàgons, hexàgons, etc.

Polígons còncaus:

Els polígons còncaus poden ser equilàters (costats iguals) o no equilàters. Entre els primers, s'inclouen els polígonsestrellats, dels quals tornarem a parlar més endavant.

TRIANGLES

2.

6. Construcció de triangles

Un triangle és un polígon de tres costats, és a dir, la porció del pla limitat per tres segments que anomenem costats del triangle. La intersecció de cada dos costats defineix la posició d'un vèrtex, que designem amb lletres majúscules: A, B i C al triangle de la figura. Anomenem cada costat amb la minúscula que coincideix amb la lletra del vèrtex oposat.

2.1 PROPIETATS

2.2 CLASSIFICACIÓ

2.3 RECTES I PUNTS NOTABLES

2.4 IGUALTAT I SEMBLANÇA DE TRIANGLES

2.5 TRIANGULACIÓ

2.1 PROPIETATS

Els triangles compleixen les propietats següents:

• Per construir un triangle amb tres segments, és necessari que la suma de les longituds de qualsevol parell de segments sigui més gran que la longitud del tercer. Si aquesta condició es compleix, pots ajuntar els segments i construir un triangle. Si no, no és possible tancar la figura.

• La suma dels tres angles interiors d'un triangle és sempre 180°.

• En tots els triangles, com més gran és el costat, més gran és l'angle oposat. D'aquesta manera, si dos costats són iguals, els seus angles oposats també ho són, i a la inversa.

• En un triangle amb un angle de 90°, els altres dos angles són obligatòriament aguts i complementaris.

Dos angles són complementaris si la seva suma és igual a 90º, és a dir, un angle recte. Interactua! angulos. 60º+30º=90º.

• Cada angle exterior d'un triangle és igual a la suma dels altres dos interiors no adjacents

2.2 CLASSIFICACIÓ

Podem classificar els triangles segons dos criteris:

1. Segons els costats:

• Equilàter, amb els tres costats i els angles iguals: és el polígon regular de tres costats.
• Isòsceles, amb dos costats iguals i un de desigual.
• Escalè, amb els tres costats diferents.

2. Segons els angles:

• Acutangle, quan els tres angles són aguts.
• Rectangle, si té un angle recte.
• Obtusangle, quan un dels angles és obtús.

Els triangles rectangles constitueixen una família geomètrica d'interès especial, ja que serveixen de base per a la definició de les raons i de les funcions trigonomètriques*. Als triangles rectangles, s'anomena hipotenusa el costat oposat a l'angle recte i catets els altres dos costats, costats que estan relacionats pel teorema de Pitàgores: «la hipotenusa al quadrat és igual a la suma dels quadrats dels dos catets».

2.3 RECTES I PUNTS NOTABLES

A qualsevol triangle podem traçar-hi les quatre rectes següents amb els punts d'intersecció i les propietats que estudiarem tot seguit:

• Bisectrius i incentre. Les bisectrius d'un triangle són les rectes que divideixen els seus angles en dues parts iguals. Als angles interiors del triangle, podem traçar tres bisectrius que es tallen en un punt equidistant dels tres costats, al qual anomenem incentre i que és el centre de la circumferència inscrita en el triangle

Les bisectrius dels angles exteriors d'un triangle es tallen dos a dos en els centres de les circumferències exinscrites, punts C1, C2 i C3. Aquestes circumferències són tangents a un costat i a la prolongació dels altres dos

• Mediatrius i circumcentre. Les mediatrius d'un triangle són les rectes perpendiculars als seus costats en el seu punt mitjà. Les tres mediatrius es tallen en un punt que s'anomena circumcentre i que, pel fet de ser equidistant als tres vèrtexs del triangle, és el centre de la seva circumferència circumscrita. En funció del tipus de triangle, el circumcentre pot estar situat a l'interior o a l'exterior del triangle.

Mitjanes d'un triangleUna mitjana d'un triangle és un segment que uneix un vèrtex amb el punt mitjà del costat oposat. Cada triangle té tres mitjanes, una per a cada vèrtex.

• Punt mitjà: És el punt que divideix un costat del triangle en dues parts iguals.
• Cada mitjana parteix d'un dels vèrtexs i acaba en el punt mitjà del costat oposat.

Baricentre d'un triangleEl baricentre (també anomenat centre de gravetat o centreide) és el punt on es tallen les tres mitjanes d'un triangle. Aquest punt té propietats especials:

• Propietat del baricentre: Divideix cada mitjana en dues parts en una proporció de 2:1, on la part més gran està entre el vèrtex i el baricentre. Això significa que el baricentre està més a prop del punt mitjà del costat oposat que del vèrtex.

• Equilibri: El baricentre és el punt on es pot equilibrar un triangle perfectament, ja que actua com el centre de massa.

Propietats clau del baricentre i les mitjanes:

• Intersecció de les mitjanes: Totes tres mitjanes es tallen en un únic punt, el baricentre.
• Divisió en segments: Cada mitjana està dividida pel baricentre en dues parts, amb la proporció 2:1.

• Mitjanes i baricentre. Les mitjanes són els segments que uneixen un vèrtex amb el punt mitjà del costat oposat. Es tallen en un punt anomenat baricentre que és el centre de gravetat del triangle. Determinem les mitjanes i la posició del baricentre BC al triangle ABC. Després, tracem paral·leles a la mitjana BTpels punts A, M i N. Aquestes paral·leles, juntament amb la mitjana BT, divideixen la mitjana AN en tres parts iguals, dos de les quals queden entre el vèrtex A i el baricentre BC, i una entre el baricentre i el costat (punt N). La posició del baricentre és la mateixa si considerem cada una de les altres dues mitjanes. Si unim els punts mitjans de dos costats, resulta un segment paral·lel al tercer costat i amb la meitat de longitud AB. Per exemple, NT és paral·lel al costat AB i la seva longitud és AB/2 . Aquesta propietat, igual que la de la posició del baricentre, és utilitzable en la resolució de triangles.

• Alçàries i ortocentre. Les alçàries d'un triangle són els segments traçats perpendicularment des d'un vèrtex al costat oposat o a la seva prolongació. Les tres alçàries es tallen en un punt, interior o exterior al triangle en funció del tipus de triangle, que s'anomena ortocentre.

Si unim els peus de les alçàries, punts D,E i F, en resulta un nou triangle que s'anomena triangle òrtic del triangle inicial ABC. Les alçàries d'un triangle són bisectrius del seu triangle òrtic i, per tant, l'ortocentre del triangle ABC és, al mateix temps, incentre de l'òrtic.

Les quatre rectes anteriors són coincidents en el cas particular del triangle equilàter; succeeix el mateix amb els quatre punts estudiats que són coincidents en un punt, que és el centre del triangle equilàter.

2.4 IGUALTAT I SEMBLANÇA DE TRIANGLES

Dos triangles són iguals quan en superposar-los els vèrtexs coincideixen, situació que implica que els costats i els angles siguin iguals. Comprovem la igualtat de dos triangles quan és verificable alguna de les propietats següents:

Dos triangles són semblants quan tenen els angles iguals i els costats que els formen són proporcionals. Podem comprovar la semblança de dos triangles quan és verificable alguna de les propietats següents:

2.5 TRIANGULACIÓ

En un polígon, la triangulació és la subdivisió de l'interior en triangles, de manera que els vèrtexs del polígon són vèrtexs dels triangles. També pot efectuar-se una triangulació a partir d'un punt interior del polígon. La triangulació és molt utilitzada, tant en topografia* com en geometria computacional*.

La topografia és un camp de la ciència planetària que comprèn l'estudi de la forma i característiques de la superfície de la Terra i altres objectes astronòmics incloent planetes, llunes i asteroides.

La geometria computacional és una branca de les ciències de la computació que es dedica a l'estudi d'algorismes que es poden expressar en termes de geometria

QUADRILÀTERS

3.

Quadrilàter és el nom genèric que es dóna a qualsevol figura poligonal tancada composta per quatre costats, la mateixa quantitat d'angles interiors, la suma dels quals és 360°, i dues diagonals que uneixen vèrtexs oposats.

3.1 CLASSIFICACIÓ I CARACTERÍSTIQUES

3.2 QUADRILÀTERS INSCRIPTIBLES I CIRCUMSCRITS

3.1 CLASSIFICACIÓ I CARACTERÍSTIQUES

Agrupem els quadrilàters segons les condicions de paral·lelisme que hi ha entre els costats que l'integren:

• Paral·lelograms. Tenen els costats paral·lels dos a dos. Són paral·lelograms les quatre figures següents:

1. Quadrat: té els quatre costats i els quatre angles iguals, de 90°; les diagonals són iguals i es tallen perpendicularment en els punts mit- jans. El quadrat és el quadrilàter regular.

2. Rectangle: els costats oposats són paral·lels i iguals; els angles són tots de 90° i les diagonals, de la mateixa longitud, es tallen obliquament en els punts mitjans.

3. Rombe: té quatre costats iguals, paral·lels dos a dos; els angles oposats són iguals; cada parell d'angles diferents són suplementaris; les diagonals, de diferent longitud, es tallen perpendicularment en els punts mitjans.

4. Romboide: Els costats oposats són iguals i paral·lels, els angles oposats són iguals, cada parell d'angles diferents són suplementaris i les diagonals, de diferent valor, es tallen obliquament en els punts mit- jans

• Trapezis. Només tenen un parell de costats paral·lels, que s'anomenen bases. La distància entre elles és l'alçària del trapezi. Considerem els trapezis següents:

1. Isòsceles: els costats no paral·lels són iguals; els angles són iguals dos a dos i cada parell d'angles diferents és suplementari. Les diagonals són iguals. És una figura simètrica en relació amb un eix de simetria perpendicular a les bases en els punts mitjans

2. Rectangle: els costats que no són paral·lels són desiguals i un d'aquests és perpendicular a les bases; els angles que no són rectes són suplementaris ( 2 angles que sumats fan 180º), i les diagonals són diferents

3. Escalè: els costats desiguals tenen també una inclinació diferent, els angles són tots diferents i cada parell d'angles (agut i obtús) és suplementari; les diagonals també són diferents

• Trapezoides. Els costats no compleixen cap condició de paral·lelisme, per tant, un trapezoide és qualsevol quadrilàter que no es pot incloure en cap de les categories anteriors. Destaquem el trapezoide biisòsceles, que està format per dos triangles isòsceles amb la base BD comuna. Les diagonals es tallen perpendicularment i una, la AC, és l'eix de simetria del trapezoide. La forma que té recorda els estels amb què juguem les tardes de vent.

3.2 QUADRILÀTERS INSCRIPTIBLES I CIRCUMSCRITS

Sempre és possible traçar una circumferència que passi pels vèrtexs d'un triangle, però amb un quadrilàter no succeeix el mateix. Perquè un quadrilàter sigui inscriptibleo cíclic, els seus angles oposats han de ser suplementaris. Aquesta afirmació es justifica si apliquem a dos angles oposats del quadrilàter el valor dels angles inscrits* en una circumferència.

VÍDEO

En tot quadrilàter circumscrit a una circumferència, la suma de les longituds de dos costats oposats és igual a la suma de les dels altres dos. Els segments de les dues rectes tangents des d'un punt qualsevol P, exterior a la circumferència, són iguals; si ho apliquem a la figura anterior tindrem:

AB + CD = (x + y) + (v + z) AD + BC = (x + v) + (y + z)

Així es demostra que les dues sumes de parells de costats oposats són iguals.

POLÍGONS ESTRELLATS: PAS

4.

Imaginem una circumferència dividida en n parts iguals. Si unim cada divisió amb la següent i donem una sola volta a la circumferència, obtenim un polígon denominat convex. Si unim els punts de divisió de dos en dos, de tres en tres, de p en p, de manera que el polígon es tanca després de fer diverses voltes a la circumferència i després de passar per tots els vèrtexs, el polígon es denomina estrellat. Les divisions que saltem per anar d'un vèrtex al següent s'anomena pas del polígon estrellat.

Per esbrinar si un polígon té construcció d'estrellats, i saber quin valor de pas podem utilitzar per unir els vèrtexs, busquem els números sencers menors que la meitat del nombre n dels seus vèrtexs i que són primers respecte d'aquest número. A l'heptàgon de la imatge, de 7 costats, els números més petits que la meitat dels seus vèrtexs són l' 1, el 2 i el 3. Amb p = 1, obtenim l'heptàgon convexs; per p = 2 i per p = 3, primers respecte al nombre total de vèrtexs, obtenim els polígons estrellats corresponents, el primer amb dues voltes a la circumferència i el segon amb tres

MÒDULS I XARXES

5.

Quan partim d'una forma elemental, geomètrica i orgànica, que anomenem mòdul, i la repetim de manera seriada en files i columnes fins a cobrir el pla, obtenim una trama amb aspecte de sanefa o mosaic a la qual genèricament denominem xarxa. L'ús de colors i la repetició amb un cert ritme n'ac- centua la impressió de xarxa organitzada

Per cobrir totalment el pla amb formes geomètriques, aquestes han de tenir com a base polígons regulars. Tanmateix, no ens serveix qualsevol polígon regular, únicament els que tinguin un angle interior que sigui divisor de 360°, i això només succeeix amb el triangle equilàter, el quadrat i l'hexàgon (Fig. 36). Podem generar noves formes geomètriques a partir d'altres de més elementals per sostracció i addicció de parts.

Aquestes operacions que esmetem poden ser alguna de les transformacions geomètriques que veurem més endavant, a l’apartat 1.3 de les Aplicacions pràctiques de la unitat 9 on veiem els polígons nassarites (pàgina 162). Aquí obtindrem noves formes geomètriques amb la propietat d’ocupar totalment el pla.

Exemple de mosaic que pertany a l'Alhambra de Granada. Com en tot l'art àrab, predominen les formes geomètriques.

Tant el mòdul com les xarxes resultants poden ser formes bidimensionals com en les figures anteriors, però també poden ser tridimensionals, com en els exemples que veiem a la figura 37. En general, un mòdul és concebut per a repetir-se i generar, així, una forma composta més gran: les sèries modulars, que s’apliquen en el món del disseny, l’interiorisme i la decoració; per exemple existeixen taules modulars de forma triangular susceptibles de ser agrupades de formes diverses. Les sèries modulars també s’apliquen en el món de l’art, generant com- posicions o instal·lacions en els entorns més diversos. En tots els casos, a partir del mòdul original, es generen repe- ticions com a aplicació de transformacions geomètriques amb interrelacions de mida i de distàncies, per exemple, que esta- ran en funció de l’expressivitat desitjada.

Mòduls tridimensionals amb finalitats ornamentals o clarament arquitectòni- ques: el primer, d'origen islàmic a l'Uzbekistan, i el segon, a Futuroscope, a prop de Poitiers, França.

APLICACIONS

PRÀCTIQUES

CONSTRUCCIÓ DE TRIANGLES

6.

Segons vam veure al punt 1.3, el nombre de dades necessàries per construir un triangle és de tres, i pot ser qualsevol dels elements lineals o angulars estudiats anteriorment. El procés de resolució implica traslladar al paper les dades conegudes a l'enunciat. La majoria de les vegades, la solució es troba en la intersecció de llocs geomètrics. Veiem-ne a continuació alguns casos representatius.

6.1 DONATS ELS TRES COSTATS

6.2 DONATS DOS COSTATS I L'ÀNGLE COMPRÈS

6.3 DONATS DOS ANGLES I EL COSTAT OPOSAT A UN D'ELLS

6.4 DONATS DOS COSTATS I L'ALÇÀRIA CORRESPONENT A UN D'ELLS

6.5 DONATS UN COSTAT I DUES ALÇÀRIES, UNA EN RELACIÓ AMB EL COSTAT CONEGUT

6.6 DONATS UN COSTAT I LES MITJANES DELS ALTRES DOS

6.7 CONSTRUCCIÓ D'UN TRIANGLE EQUILÀTER DONADA L'ALÇÀRIA

6.1 DONATS ELS TRES COSTATS

Situem un dels costats, i fent centre als seus extrems tracem dos arcs, cada un amb un radi igual a la longitud d'un dels altres costats. La intersecció d'aquests arcs ens determina la posició del tercer vèrtex del triangle.

6.2 DONATS DOS COSTATS I L'ÀNGLE COMPRÈS

Pels extrems d'un dels costats coneguts transportem un angle igual al donat. Sobre la semirecta que defineix el segon costat de l'angle, traslladem la longitud de l'altre costat. Així, queden determinats els tres vèrtexs del triangle.

6.3 DONATS DOS ANGLES I EL COSTAT OPOSAT A UN D'ELLS

Tracem un segment de longitud arbitrària i, prenent com a vèrtex cada un dels seus extrems, traslladem els angles B i C donats per construir un triangle ABC semblant al que estem buscant. Sobre el segon costat del vèrtex C, portem la longitud b donada, amb la qual determinem la posició del vèrtex A'. Per aquest punt, tracem una paral·lela al costat AB del triangle auxiliar, que ens determina la posició del tercer vèrtex B.

6.4 DONATS DOS COSTATS I L'ALÇÀRIA CORRESPONENT A UN D'ELLS

Situem el costat del qual coneixem l'alçària com a base i, a una distància igual a la seva alçària, tracem una paral·lela. Des d'un dels extrems de la base, i amb un radi igual a l'altre costat, descrivim un arc que talli la paral·lela en la posició del tercer vèrtex

6.5 DONATS UN COSTAT I DUES ALÇÀRIES, UNA EN RELACIÓ AMB EL COSTAT CONEGUT

Tracem una paral·lela al costat b conegut, a una distància igual a l'alçària corresponent hb. Amb centre al punt mitjà de b i radi b/2 describim una semicircumferència i des de A i amb radi ha, tracem un arc que talla la semicircumferència en un punt que, unit amb A i C forma un angle de 90º (el mateix que forma el costat i l’alçària). La intersecció dels arcs anteriors determina un punt que, unit amb l'extrem C, defineix la posició del costat a del triangle. El punt en què el costat a talla la paral·lela inicial ens defineix la posició del tercer vèrtex B del triangle

EXEMPLE

6.6 DONATS UN COSTAT I LES MITJANES DELS ALTRES DOS

A partir dels extrems A i C del costat conegut, i amb radis iguals a les dues terceres parts de cada una de le mitjanes, descrivim dos arcs que el tallen en el punt BC, baricentre del triangle. Prolonguem les mitjane fins a la seva longitud real (terç res tant de cadascuna) i unim els punt obtinguts amb els dos extrems del costat base b

6.7 CONSTRUCCIÓ D'UN TRIANGLE EQUILÀTER DONADA L'ALÇÀRIA

Amb un segment qualsevol MN com a costat, determinem el tercer vèrtex T d'un triangle equilàter auxiliar. Després, en prolonguem l'alçària i, a sobre, a partir del punt mitjà de la base, hi portem l'alçària h coneguda. D'aquesta manera, determinem el vèrtex C del triangle. Per aquest punt tracem paral·leles als costats del triangle auxiliar per determinar les posicions dels vèrtexs A i B del triangle

ACTIVITATS TRIANGLES

exercicis

SOLUCIÓ

CONSTRUCCIÓ DE QUADRILÀTERS

7.

Les cinc dades necessàries per construir un quadrilàter es poden reduir si interpretem què vol dir el seu nom. Així succeeix en els exemples següents.

7.1 UN QUADRAT DONADA LA DIAGONAL

7.2 UN RECTANGLE DONATS LA DIAGONAL I UN COSTAT

7.3 UN ROMBE DONATS EL COSTAT I UN DELS ANGLES

7.4 UN ROMBE DONADES LES DIAGONALS

7.5 UN ROMBOIDE DONATS ELS COSTATS I L'ÀNGLE COMPRÈS

7.6 UN TRAPEZI RECTANGLE DONADES LES BASES I L'ALÇÀRIA

7.7 UN TRAPEZI RECTANGLE DONATS LA BASE, EL COSTAT OBLIC I L'ÀNGLE COMPRÈS

7.8 UN TRAPEZI ISÒSCELES DONADES LA BASE MAJOR, L'ALÇÀRIA I LA DIAGONAL

7.9 UN TRAPEZI ESCALÈ DONATS ELS QUATRE COSTATS

7.1 UN QUADRAT DONADA LA DIAGONAL

Descrivim una circumferència que tingui per diàmetre la diagonal donada i en ella tracem un segon diàmetre, mediatriu de l'anterior. Els dos diàmetres defineixen els quatre vèrtexs del quadrat sobre la circumferència. En unir un punt de la circumferència amb els extrems del diàmetre, les cordes formen sempre 90º.

7.2 UN RECTANGLE DONATS LA DIAGONAL I UN COSTAT

Situem el centre en el punt mitjà de la diagonal, tracem una circumferència el diàmetre de la qual hi coincideixi i, pels seus extrems i amb el radi igual a la longitud del costat conegut, descrivim dos arcs que tallin la circumferència pels punts 1 i 2. La unió d'aquests punts amb els extrems del diàmetre completa el traçat del rectangle.

EXEMPLE

7.3 UN ROMBE DONATS EL COSTAT I UN DELS ANGLES

A partir d'un punt A, construïm un angle igual al conegut , i, sobre els seus costats, portem la longitudl del costat del rombe. Així, obtenim els vèrtexs B i C. Després, situem el centre a cada un d'ells i, amb un radi igual a la longitud del costat, descrivim dos arcs que, en la seva intersecció, determinen la posició D del quart vèrtex del paral·lelogram.

EXEMPLE

7.4 UN ROMBE DONADES LES DIAGONALS

Situada una de les diagonals, la D més gran, en tracem la mediatriu. A partir del punt mitjà M i cap a cada sentit portem la longitud d/2 corresponent a la meitat de la diagonal més petita, i obtenim els vèrtexs C i D que, units amb els extrems A i B de la diagonal més gran, ens completen els quatre vèrtexs necessaris per definir el rombe.

EXEMPLE

7.5 UN ROMBOIDE DONATS ELS COSTATS I L'ÀNGLE COMPRÈS

A partir d'un punt A, construïm un angle igual al conegut, i, sobre els costats, portem les longituds L i l conegudes del costats del romboide. D'aquesta manera, definim els vèrtexs B i C. Mitjançant paral·leles traçades per aquests nous vèrtexs, trobem la posició del vèrtex D que ens completa el traçat.

EXEMPLE

7.6 UN TRAPEZI RECTANGLE DONADES LES BASES I L'ALÇÀRIA

Tracem una perpendicular a la base major per un dels seus extrems i hi portem la longitud de l'alçària donada. Per l'extrem de l'alçària, tracem una paral·lela a la base major i, sobre ella, portem la longitud de la base menor. La unió dels extrems lliures d'ambdues bases ens completa el trapezi.

EXEMPLE

7.7 UN TRAPEZI RECTANGLE DONATS LA BASE, EL COSTAT OBLIC I L'ÀNGLE COMPRÈS

Per un dels extrems de la base, tracem l'angle  donat i, per l'altre, una perpen dicular. Sobre el segon costat de l'angle portem la longitud del costat oblic i, pel seu extrem, tracem una paral·lela a la base que, quan es talla amb la perpendicular traçada anteriorment, ens determina el quart vèrtex del trapezi.

EXEMPLE

7.8 UN TRAPEZI ISÒSCELES DONADES LA BASE MAJOR, L'ALÇÀRIA I LA DIAGONAL

Determinem la mediatriu de la base major B i hi portem la longitud corresponent a l'alçària h. Pel seu extrem, tracem una paral·lela a la base. Els vèrtexs de la base menor s'obtenen en la intersecció d'aquesta paral·lela amb els arcs de radi iguals a la diagonal d i traçats des dels extrems de la base major.

EXEMPLE

7.9 UN TRAPEZI ESCALÈ DONATS ELS QUATRE COSTATS

A partir de l'extrem A del segment AB, base major del trapezi, portem la longitud CD de la base menor i obtenim el punt T. Situem el centre a T i a B i, amb radis iguals a les longituds de AD i BC, respectivament, tracem dos arcs que es tallin en la posició de vèrtex C. Amb centres a C i A, i radis, respectivament, CD i AD, descrivim dos arcs que es tallin en la posició D del quart vèrtex del trapezi escalè.

EXEMPLE

8.

TRAÇAT DE POLÍGONS REGULARS A PARTIR DEL RADI DE LA CIRCUMFERÈNCIA CIRCUMSCRITA

Als apartats següents veurem les construccions de polígons regulars a par- tir del radi de la circumferència circumscrita al polígon. Podem aplicar la construcció general a qualsevol polígon, independentment del nombre de costats que tingui

8.1 CONSTRUCCIÓ GENERAL

8.2 CONSTRUCCIONS PARTICULARS

• Triangle i hexàgon

• Quadrat i octàgon

• Pentàgon i decàgon

• Heptàgon

• Enneàgon

8.1 CONSTRUCCIÓ GENERAL

Amb el radi conegut, descrivim una circumferència i hi tracem el diàmetre vertical. Mitjançant l'aplicació del teorema de Tales, dividim aquest diàmetre en tantes parts com divisions equidistants vulguem fer sobre la circumferència, o costats ha de tenir el polígon: set a l'exemple de la figura. Situem el centre, alternativament, en els extrems del diàmetre i, amb un radi igual a la seva longitud, tracem dos arcs que es tallin en els punts M i N. Per aquests punts i per divisions alternatives del diàmetre (una sí, una no), fem passar semirectes auxiliars que, en la intersecció amb la circumferència, assenyalen les divisions que són vèrtexs del polígon inscrit.

EXEMPLE

8.2 CONSTRUCCIONS PARTRICULARS

Triangle i hexàgon

Agafem el mateix radi amb què hem dibuixat la circumferència a partir d'un punt qualsevol. Així, obtenim sis divisions iguals, cada una de les quals representa un sector circular d’angle central igual a 60º. Si les unim de manera consecutiva, obtenim l'hexàgon regular i, si les fem de manera alternativa, un triangle equilàter, ambdós inscrits a la circumferència inicial.

Si tracem la mediatriu a un dels costats de l'hexàgon, aquesta media- triu tallarà la circumferència en un punt que, unit amb un dels extrems del costat de l'hexàgon, és el costat l12 del dodecàgon ins- crit a la circumferència

EXEMPLE

Quadrat i octàgon

Si tracem dos diàmetres perpendiculars, la circumferència queda dividida en quatre parts, que són els vèrtexs del quadrat inscrit. Les mediatrius dels costats d'aquest costat divideixen la circumferència en vuit parts iguals, que són els vèrtexs de l'octàgon regular inscrit. Amb unes noves mediatrius als costats de l'octàgon, podem dividir la circumferència en setze parts iguals.

EXEMPLE

Pentàgon i decàgon

Dibuixada la circumferència a partir del radi, hi descrivim dos diàmetres perpendiculars. Determinem el punt mitjà M del radi OA i, situant-hi el centre i amb radi MB, tracem un arc que talli en el punt N el diàmetre horitzontal. El segment NB és el costat l5 del pentàgon regular inscrit que, traslladat sobre la circumferència, ens permet determinar la resta de vèrtexs. A la figura anterior, el segment NO és el costat l10 del decàgon regular inscrit a la mateixa circumferència.

EXEMPLE

Heptàgon

A partir del radi conegut, dibuixem la circumferència i, a dins, dos diàmetres perpendiculars. Tracem la mediatriu del radi OA, que talla la circumferència en el punt N. El segment MN és el costat de l'heptàgon que, traslladat sobre la circumferència, ens permet completar les set divisions i, si les unim, podem formar l'heptàgon regular.

EXEMPLE

Enneàgon

A la circumferència inicial, tracem dos diàmetres perpendiculars. Situem el centre en els punts A i B i, amb un radi igual al de la circumferència, descrivim els arcs OC i OD. Una altra vegada amb centre a A i B i radis iguals a les seves distàncies a D i C, descrivim els arcs DE i CE. Situem el centre en el punt E i, amb un radi igual a la distancia EA, tracem l'arc AGB; el segment FG és el costat l9 de l'enneàgon inscrit.

EXEMPLE

9.

TRAÇAT DE POLÍGONS REGULARS A PARTIR DEL COSTAT

Una altra dada habitual per construir un polígon regular és el costat; veurem les construccions que podem utilitzar en els polígons amb el número de costats anteriors

9.1 CONSTRUCCIONS GENERALS

9.2 CONSTRUCCIONS PARTICULARS

• Triangle

• Quadrat

• Pentàgon

• Hexàgon

• Heptàgon

• Octògon

• Enneàgon

9.1 CONSTRUCCIONS GENERALS

Situem el centre en els extrems A i B del costat conegut i, amb un radi igual a la seva longitud, descrivim dos arcs que es tallin en el punt O6. Amb el mateix radi, situem el centre en O6 i descrivim una circumferència; la mediatriu de AB intercepta sobre la circumferència el punt O12. Dividim el radi O6O12 en sis parts iguals i cada divisió és el centre d'una circumferència que, amb radi igual a la seva distància fins a A o B, permet inscriure el polígon de nombre de costats 7, 8, 9... referit a les divisions de la figura.

EXEMPLE

A la figura, descrivim un altre procés gràfic per construir un polígo regular a partir del costat i com a aplicació d'una homotècia* amb centre en el costat del polígon auxiliar. Inicialment, tracem aquest polígon auxiliar amb el mateix nombre de costats que el que volem construir amb el costat l donat, pel procediment descrit a l'apartat 8.1, per exemple. Unim el centre O del polígon auxiliar amb cada un dels seus vèrtexs; sobre un dels costats o la seva prolongació, el 3-4 a la figura, portem la magnitud del costat l i pel seu extrem tracem una paral·lela al costat 2-3 fins a tallar al punt C la prolongació del radi O-3. Portem la magnitud O-C sobre les prolongacions dels altres radis i obtenim així els vèrtexs A, B, D i E que ens completen el polígon del costat l.

EXEMPLE

9.2 CONSTRUCCIONS PARTRICULARS

Triangle

Situem el centre als extrems A i B del costat i, amb radi igual a la seva longitud, tracem dos arcs que es tallin en la posició del tercer vèrtex C del triangle que equidista d’ A i B la longitud l donada.

QUADRAT

Per un dels extrems A del costat, tracem una perpendicular sobre la qual portem la longitud l4 del costat. Així, obtenim el punt D. Per D i B tracem paral·leles als costats AB i AD. El quart vèrtex C del quadrat determina la seva intersecció. Convé realitzar les perpendiculars i paral·leles d'aquesta figura amb escaire i cartabó.

PENTÀGON

Per l'extrem B del costat, hi tracem una perpendicular i un arc de radi igual a la seva longitud; ambdós es tallen en el punt N. Tracem la mediatriu del costat AB i, amb el centre al seu punt mig M, descrivim un arc de radi igual a la distància MN, fins que talli en el punt P la prolongació del costat. El segment AP és el valor de la diagonal del pentàgon: situem el centre a Ai, amb el radi de la distància fins a P, tracem un arc que talli el traçat en primer lloc en el vèrtex C i la mediatriu del costat AB en el vèrtex D. El vèrtex E es troba a la distància l5 dels vèrtexs ja coneguts Ai D, o simètric a C en relació amb la mediatriu de AB.

HEXÀGON

A l'hexàgon regular es compleix que el costat és igual al radi de la circumferència circumscrita; per tant, si agafem el costat donat com a radi i descrivim una circumferència sobre la qual podem portar sis vegades la magnitud del costat, obtenim els sis vèrtexs de l'hexàgon buscat

HEPTÀGON

Determinem la mediatriu del costat AB conegut de l'heptàgon. Situem el centre a l'extrem A i agafem com a radi la magnitud del costat. Descrivim un arc que talli per N la prolongació del segment AB i per S la seva mediatriu. Amb centre a N i amb un radi igual a la distància SM, tracem un arc que talli en el punt G la semicircumferència amb centre al vèrtex A. La mediatriu del segment AG es talla amb la del segment AB al centre O de la circumferència que, passant per A, B i G, conté també els quatre vèrtexs restants de l'heptàgon.

OCTÀGON

Tracem la mediatriu del costat AB conegut. Amb centre en el punt mitjà M, dibuixem una semicircumferència que passi pels seus extrems i que talli la mediatriu en el punt 1. Utilitzem aquest punt com a centre i, amb un radi igual a la distància 1A, descrivim un arc que talli la mediatriu per O8. Aquest punt és el centre de la circumferència en què quedarà inscrit l'octàgon. Per últim, portem la mida del segment AB vuit vegades sobre la circumferència i unim els punts de divisió determinats. També podem construir l’octàgon sabent que els seus angles interiors són de 135º i que els costats oposats són paral·lels.

ENEÀGON

Construïm un triangle equilàter ABM amb el costat bàsic AB igual al costat de l'enneàgon. Determinem la mediatriu d'AB i la bisectriu de l'angle A, que es tallen pel punt N. Amb centre a M i amb un radi igual a la distància MN, descrivim una circumferència que talli les prolongacions de BM i AM pels punts P i Q. La unió de PQ intercepta*, sobre la mediatriu d' AB, el punt O9, que és el centre de la circumferència circumscrita a l'enneàgon. A sobre, hi tracem nou vegades la magnitud del costat i unim les divisions per completar l'enneàgon

ACTIVITATS

10.

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

sol

SOLUCIÓ 5

exercici 5

SOLUCIÓ 7

exercici 7

SOLUCIÓ 8

exercici 8

SOLUCIÓ 11

exercici 11

SOLUCIÓ 12

exercici 12

SOLUCIÓ 13.50

exercici 13 figura 50

SOLUCIÓ 13.51

exercici 13 figura 51

SOLUCIÓ 13.52

exercici 13 figura 52