TRABAJO FINAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORZO COORDINACIÓN DE ADMISIÓN Y NIVELACIÓN MATEMÁTICA

PROYECTO DE MATÉMATICA

NombreS y Apellidos: Luz Maritza Gualán Condo DOCENTE: ING.MARÍA GABRIELA CHIRIBOGA ZAMORA

UNIDAD 1

LÓGICA MATEMÁTICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS

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Proposición

Valor de verdad

Tabla de verdad

Es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez.

EJEMPLOS:

Es un valor que indica en qué medida una declaración es verdad.

EJEMPLOS:

Es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.

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El ser humano es inteligente, 2+3 es 5.

7 es múltiplo de 3 En este caso, la proposición es falsa ya que 7 no está entre los múltiplos de 3 (3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9).

9 es múltiplo de 3 Dicha expresión es una proposición matemática que resulta verdadera, ya que 3 x 3 es igual a 9 y, por lo tanto, 9 es uno de los infinitos múltiplos de 3.

Propocisión Valor de VerdadEl año se termina con el mes de Diciembre. VCuando está nublado se siente frío. V2+5= 10VEl gato ladra F8*9= 12F

Tipos de proposición:1.-Proposición simple. Es toda aquella en la que no hay operadores lógicos.

“El mundo es redondo”
“Las mujeres son seres humanos”
“Un triángulo tiene tres lados” o “3 x 4 = 12”.

2.- Proposición compuesta. Son aquellas que contienen algún tipo de operadores lógicos, como negaciones, conjunciones, disyunciones, condicionales. Por ejemplo:

“Hoy no es lunes” (~p).
“Ella es abogada y viene de Irlanda” (pˆq).
“Llegué tarde porque había mucho tráfico” (p→q).
“Comeré tortilla o me iré sin almorzar” (pˇq).

Se indica por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. las proposiciones las notaremos con las letras p, q, e, etc.

El valor de verdad de una proposición p, lo notaremos v(p); así, si p es la proposición “Marx escribió la obra: El Capital”, se tiene que dicha proposición es verdadera y escribiremos v(p)=V.

Para indicar si una proposición es verdadera o falsa utilizaremos los símbolos V o F respectivamente.

CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA DE VERDAD Para construir una tabla de verdad se efectúan los siguientes pasos:

Asignar variables proposicionales a cada Proposición Simple
Obtener la traducción lógica de la proposición compuesta.
Obtener la cantidad de todas las combinaciones de valores de verdad de las premisas. La cantidad de valores de verdad está dado por la fórmula 2 𝑛 , donde n es la cantidad de variables proposicionales de las premisas.
Asignar a cada variable proposicional los valores de verdad correspondientes.
Resolver las operaciones lógicas.

GENERALIDADES

LÓGICA MATEMÁTICA :

El objetivo de la lógica matemática es cuestionar los conceptos y las reglas de deducción que son utilizadas en las matemáticas y esto constituye a la lógica una verdadera matemática.

BREVE HISTORIA

Su evolución está ligada a la evolución intelectual del ser humano

La lógica proviene del vocablo griego: logos= razón, ley, palabra

La lógica matemática trata los métodos del razonamiento.

La definió como ciencia que estudia razonamientos correctos.

Lógica utilizada para estudiar validez de las deducciones matemáticas .

Es un instrumento al servicio de otras ciencias.

Pretende hacer que todas las relaciones reales se vuelvan formales.

Aristóteles fundador de la lógica clásica (Siglo IV A.C)

Para realizar análisis lógicos se emplea lenguaje simbólico similar al de las matemáticas.

NEGACIÓN

Se puede obtener otra proposición a partir de una dada, negándola, es decir, anteponiéndola la palabra “no” o “no es cierto que”. El símbolo que usaremos para representar la negación “no” es ~.

CONJUNCIÓN

La conjunción es un conectivo lógico que nos relaciona dos proposiciones simples para formar una proposición compuesta , llamada la conjunción de las dos proposiciones; la conexión de las dos proposiciones se realiza con el nexo “y” cuyo símbolo es ∧. Así si p y q son proposiciones, la conjunción de p, q, la notamos por “p ∧ q” que se lee “p y q”.

DISYUNCIÓN

La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas. La conexión entre las dos proposiciones se realiza con el nexo “o” cuyo símbolo es V, así pVq se lee “p o q”.

DISYUNCIÒN EXCLUSIVA

Es una proposición compuesta de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógico “o”, que se representa de la manera siguiente: “V”. Por ejemplo: Es de día o es de noche. Las dos proposiciones, es decir, las dos opciones, están coordinadas con el conector disyuntivo “o”.

CONDICIONAL

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CONJUNCIÒN NEGATIVA

REGLA: El resultado es verdadero únicamente cuando las dos proposiciones son falsas ( ni p ni q) , en cualquier otro caso es falsa.

OPERADORES LÓGICOS

BICONDICIONAL

Dadas dos proposiciones p, q , el bicondicional es la proposición molecular p si y solo si q que se simboliza (p ↔ q) El bicondicional p↔q, que leemos "p si y solo si q" o "p es equivalente a q," se define por la siguiente tabla de verdad.

CONDICIONAL

Si p y q son proposiciones, el conectivo lógico condicional o implicación nos da una proposición p⇒q que se lee “ p implica q” o “ si p entonces q”. La proposición p⇒q es por definición la proposición (~p)Vq La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q.

Orden de los operadores.

Proposiciones simples y compuestas

p∼pVFFV EJEMPLOS: 1.P = Está lloviendo. ~P = NO está lloviendo. 2.Mi perro tiene patas y cola Su negación sería: Mi perro no tiene patas o no tiene cola. 3.Negamos p de diferentes formas. _Ricardo no trabaja los domingos ~p _No es cierto que Ricardo trabaja los domingos ~p

EJEMPLO 1: p: tengo caramelos q: tengo un helado p ↓ q : ni tengo caramelos ,ni tengo un helado. EJEMPLO 2: p: tengo un deber q: tengo el proyecto p ↓ q : ni tengo el deber , ni tengo el proyecto. EJEMPLO 3: p: tengo muchas ropas q: tengo un celular p ↓ q : ni tengo muchas ropas, ni tengo un celular .

EJEMPLO 1: p = El número 2 es par q = la suma de 2 + 2 es 4. Entonces… pvq: El número 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4. EJEMPLO 2: p = La raíz cuadrada del 4 es 2” q = El número 3 es par″ Entonces… pvq: La raíz cuadrada del 4 es 2 o el número 3 es par. EJEMPLO 3: p: El sodio es un elemento alcalino q: el sodio es un elemento halógeno. Entonces … pvq: El sodio es un elemento alcalino o el sodio es un elemento halógeno se puede escribir “el sodio es alcalino o halógeno.

EJEMPLOS: p = Las frutas son sanas. q = La carne roja es fuente de proteínas. Tenemos que: Disyunción inclusiva: * = Las frutas son sanas o la carne roja es fuente de proteínas. p v q 2.El cielo está nublado o está despejado. 3. El ganador del campeonato es Pedro o es Luis.

Ejemplo 1:p: Mercurio es un planeta y q: Plutón es un planeta. Entonces..... p ∧ q: Mercurio es un planeta y Plutón es un planeta se expresa en lenguaje natural “Mercurio y Plutón son planetas”.Ejemplo 2:p: 2 es un número impar y q: 2 es mayor que 3. Entonces ... p ∧ q: será: 2 es un numero impar y es mayor que 3. También se puede escribir “2 es impar y mayor que 3”. Ejemplo 3: p:El número mas grande es el 34 q:El triángulo tiene 3 lados Entonces... p ∧ q: El número mas grande es el 34 y el triángulo tiene 3 lados.

EJEMPLO 1: p: llueve q: hay nubes p→q: Si llueve entonces hay nubes. EJEMPLO 2: p: Hoy es miércoles q: Mañana será jueves p→q: Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves. EJEMPLO 3: p:Presento las tareas q: Mañana me da las notas p→q: Si Presento las tareas entonces Mañana me da las notas.

EJEMPLO 1: p: 10 es un número impar q: 6 es un número primo p↔q: «10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo» EJEMPLO 1: p: 3 + 2 = 7 q: 4 + 4 = 8 p↔q: 3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8 EJEMPLO 1: p: 3 + 3 = 9 q: 4 + 4 = 8 p↔q: 9 + 2 = 9 si y solo si 8+8 = 16

Nos permiten formar proposiciones compuestas, es decir, formadas por varias proposiciones.

PROPOSICIÓN COMPUESTA Aparecen mediadas por la presencia de alguna clase de conector, que puede ser de oposición (o, ni), de adición (y, e) o de condición (si). Además, se consideran compuestas a las proposiciones negativas, que incluyen la palabra no. EJEMPLOS:

“Hoy no es lunes” (~p).
“Ella es abogada y viene de Irlanda” (pˆq).
“Llegué tarde porque había mucho tráfico” (p→q).
“Comeré tortilla o me iré sin almorzar” (pˇq).

Combinando los operadores lógicos podemos formar nuevas expresiones - Con el uso de paréntesis evitamos la ambigüedad, por ejemplo ~p∧q podría significar dos cosas distintas. Por un lado podría significar: ((~p)∧q) o también: (~(p∧q)). En la práctica para no usar tantos paréntesis se considera que el operador ~ tiene jerarquía sobre ∧, v, →, ⇔. FORMA CORRECTA Así ~p∧q significa ((~p)∧q). En algunos casos se considera ∧, v, tiene mayor jerarquía que ⇔ por lo que, p⇔q v r sería (p⇔(q v r)) y también que ∧ tiene prioridad sobre V, por lo que p∧q v r, sería (p∧q) v r.

PROPOSICIONES SIMPLES Una proposición simple es una afirmación que consta de una sola oración gramatical, es decir, no tiene palabras de enlace tales como: y, o, entonces, sí y solo sí. Definición son aquellas proposiciones que no poseen operador lógico alguno. EJEMPLOS:

Hoy es 7 de octubre.
Su gato es marrón.
Mi hermano vende pastas.
La Tierra es redonda.

CÁLCULO PROPOSICIONAL

IMPLICACIÓN LÓGICA

EQUIVALENCIA LÓGICA

LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

TABLAS DE VERDAD

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA

DEMOSTRACIÓN

CONTINGENCIA Es una proposición que da valores tantos falsos como verdaderos. EJEMPLOS:

La implicación A ⇒ B puede ser expresada como si A, entonces B. Si esa proposición es verdadera, se acostumbra nombrar que A es condición suficiente para B, en otros términos, la veracidad de A, basta para garantizar la de B. Esto significa que si A es verdadera, B, de igual modo, lo es. EJEMPLOS:

Se llaman lógicamente equivalente o simplemente equivalente cuando es posible deducir Q de P y deducir P de Q . EJEMPLOS:

Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir esquemas moleculares complejos y expresarlos en forma más sencilla. Las demostraciones de dichas leyes se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso. Las operaciones lógicas definidas entre las formas proposicionales y algunas de sus más importantes propiedades se incluyan en las denominadas LEYES DEL ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES O LEYES LÓGICAS. A continuación se presentan las de uso más frecuente:

TAUTOLOGÍAS Diremos que una fórmula es tautología, si y solo sí, ella es siempre verdadera, no importa cuáles sean los valores de sus componentes. EJEMPLOS: Demuestra que las siguientes son tautologías: 1. (p ∨~p). p ~p p∨ (~p) V F V F V V Es una tautología ya que la ultima columna son todas verdaderas. 2. (p∨q) ∨ [(~p) ∧ (~q)] p q ~p ~q p∨q ~(p) ∧ (~q) (p∨q) ∨ [ (~p) ∧ (~q) ] V V F F V F V V F F V V F V F V V F V F V F F V V F V V 3. (p ∧ q) → (p ∨ q) p q (p∧q) (p∨q) (p∧q) → (p∨ q) F F F F V F V F V V V F F V V V V V V V

CONTRADICCIÓN Diremos que una fórmula es una contradicción, sí y sólo sí, ella es siempre falsa, no importa cuáles sean los valores de verdad de sus componentes. EJEMPLOS:

TABLAS DE VERDAD Cuando se construye una tabla de verdad se puede clasificar la misma en: TAUTOLOGÍACONTRADICCIÓNCONTINGENCIASi la última columna tiene todos los valores verdaderos.Si la última columna tiene todos los valores falsos.. Si los valores de verdad están combinados.

INTRODUCCIÓN DE CONJUNTOS

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DEFINICIÓN:

NOTACIÓN DE LOS CONJUNTOS

DeterminacióN POR EXTENSIÓN

Determinación por comprensión

Diagrama de Venn

Clasificación deConjuntos

SUBCONJUNTOS

OPERACIÓN ENTRE CONJUNTO

Leyes del Álgebra de Conjuntos.

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN

CONJUNTOS DISJUNTOS E INTERSECANTES

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Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida. ESPECIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS Hay dos formas para especificar un conjunto particular. Una forma, de ser posible, consiste en enumerar sus elementos separados por comas y escritos entre llaves { }. La segunda es escribir las propiedades que caracterizan a los elementos del conjunto.

Por COMPRENSIÓN, para referirnos a alguna característica de los elementos. EJEMPLO: A = (x/x es vocales del abecedario) B = (x/x es número par mayor que 1 y menor que 10) C = (x/x es color primario).

Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de intersección, inclusión y disyunción sin cambiar la posición relativa de los conjuntos . Las principales características del diagrama de Venn son:

Permite ilustrar la relación entre dos o más conjuntos de elementos.
Cada conjunto de elementos se representa mediante círculos.
En las intersecciones de los círculos se ubican aquellos elementos que forman parte de más de un grupo a la vez.
Es una herramienta que se utiliza particularmente en el campo de la estadística, las matemáticas y la lógica.

Por EXTENSIÓN o TABULACIÓN, cuando se listan todos los elementos. EJEMPLOS: 1) {a, e, i, o, u} es un conjunto en el que se indican todos sus elementos, por lo tanto se trata de un conjunto por extensión C =(rojo, azul amarillo )D = ( 1,3,5,7,9) 2). (rojo, azul amarillo) 3). (1, 3, 5, 7,9)

Las letras mayúsculas A, B, X, Y, . . . , denotan conjuntos y las minúsculas a, b, x, y, . . . , denotan elementos de conjuntos. Algunos sinónimos de “conjunto” son “clase”, “colección” y “familia”. La pertenencia a un conjunto se denota: a ∈ S denota que a pertenece al conjunto S. a, b ∈ S denota que a y b pertenecen al conjunto S. Aquí ∈ es el símbolo para indicar “es un elementos de” y Ɇ significa “no es un elemento de”

un conjunto B es subconjunto de otro conjunto A si todos los elementos de B pertenecen también a A. Decimos entonces que B «está contenido» dentro de A. Ejemplos. El «conjunto de todas las mujeres» es un subconjunto del «conjunto de todas las personas».{1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}{2, 4, 6, ...} ⊆ {1, 2, 3, ..} = N( {Números pares} ⊆ {Números naturales} ) Ejemplo: Las frutas cítricas son un subconjunto dentro del conjunto de todas las frutas. N = FrutasM = Frutas cítricasM ⊂N ⇔ ∀ x | x M ⇒ x ∈ N El conjunto de los seres vivos es muy grande: tiene muchos subconjuntos, por ejemplo: -Las plantas son un subconjunto de los seres vivos -Los animales son un subconjunto de los seres vivos -Los seres humanos son un subconjunto de los animales

UNIÓN Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Ejemplo 1.Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS. Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluido. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩. Ejemplo 1.Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: ‒ DIFERENCIA DE CONJUNTOS. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -. Ejemplo 1.Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: DIFERENCIA DE SIMÉTRICA DE CONJUNTOS. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △. Ejemplo : 1.Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO. Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento. Ejemplo : 1.Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

Leyes de conjuntos1.Doble negación a) A´=A 2. Ley conmutativa a)A U B = B U A b)A ∩ B = B ∩ A 3. Ley asociativa a)A U (B U C)=(A U B) U C b)A ∩ (B ∩ C)= (A ∩ B) ∩ C 4. Ley Distributiva a)A ∩ (B U C)= (A∩B) U (A∩C) b)A U (B ∩ C)= (AUB) ∩ (A U C) 5. Ley de Idempotencia a) A U A = A b) A ∩ A = A c) U U U = U d) U ∩ U = U e) ø U ø = ø f) ø ∩ ø = ø 6. Ley de Morgan a)(A U B U C)’= A’∩ B’ ∩ C’ b)(A ∩ B ∩ C)’= A’ U B’ U C’ 7. Equivalencia a) A U A’ ∩ B = A U B 8. Contradicción a)A ∩ A’ = ø 9. Propiedades del complemento a)A U A’= U b)U’ = ø c)Ø’ = U 10. Ley de identidad a) A U U = U b) A ∩ U = A c) A U ø = A d) A ∩ ø = ø e) A U A ∩ B = A ∩ (U U B) = A 11. Diferencia a) (A – B) = A ∩ B’ 12. Diferencia simétrica a)(A ♁ B) = A ∩ B’ U A’ ∩ B b)(A ♁ B) = (A – B) U (B – A) 13. Ley de Absorción A U (A ∩ B) = AA ∩ (A U B) = A

Propiedades de la InclusiónLa Inclusión de Conjunto cumple con las siguientes propiedades: PropiedadProposiciónEjemploPropiedad reflexiva: Todo número es igual a si mismo a = a

5 =5
2a = 2a
7 + 8 = 7 + 8
x = x

Propiedad de simetría: Si un número es igual a otro, éste es igual al primer Si a = b b = a

x = 4 4 = x
Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
Si a - b = c, entonces c = a - b
Si x = y, entonces y = x

Propiedad transitiva: Si un número es igual a un segundo número y éste es igual a un tercero, el primero y el tercero son iguales Si a = b y b = c a = c

x = 4 y 4 = z x = z
Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10,
entonces 4 + 6 = 5 + 5
Si x + y = z y a + b = z,
entonces x + y = a + b
Si m = n y n = p, entonces m = p

DISJUNTOS Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y sólo si A y B no tienen elementos en común. (Cruz, 2009). Se expresa mediante su intersección, que está formada por sus elementos en común. La intersección de dos conjuntos disjuntos A y B es vacía . Por ejemplo: 1) A= { cerezas, peras , manzanas, uvas} B = { Rosas, gladiolas, jazmin} A ∩ B = ∅ 2) C = { 2, 4, 6, 8, 10} D= { 1, 3, 5, 7, 9} C ∩ D = ∅ 3) E = { a, b, c, d} F = { e, f, g, h} E ∩ F = ∅ INTERSECANTES Los conjuntos A y B son intersecantes si y sólo si A y B tienen al menos un elemento en común. 1) L = { Cerezas, Mandarina, Uvas} M = { Mandarina} L ∩ M = {Mandarina} 2) N = {a,b,c,d} O = {b, e, f, g} N ∩ O = {b} 3) P = [ Ana, Lola, Luz, María} Q = {Lola, Lila} P ∩ Q = {Lola}

CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS

Se Clasifican en :

EJEMPLOS

CONJUNTO FINITO

CONJUNTO INFINITO

CONJUNTO UNITARIO

CONJUNTO VACÍO

CONJUNTO HOMOGÉNEO

CONJUNTO HETEROGÉNEO

CONJUNTO IGUALES

CONJUNTO EQUIVALENTE

EJEMPLOS

Son elementos que no se pueden contar o enumerar en su totalidad, debido a que no tienen fin.

1.{historia, azul, 84, banco, Londres}, {A, restaurante, 92, madera, cinturón}. 2.el conjunto {libro, avión, palma, 9, E} lleva cinco elementos que no se relacionan entre sí. 3.Un vaso de agua y aceite es un compuesto heterogéneo ya se pueden distinguir ambos componentes y se pueden separar por medio la decantación.

1.A= (verano, otoño, invierno, primavera) B= {+, Ç, $, %} 2.A= {76, 56, 89} B= (amarillo, azul, rojo) 3.C= (lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, Domingo) D= {5, 16, 89, 43, 21, 45, 18}

1. El conjunto P es un número par positivo menor a 10. P = {2, 4, 6, 8} → Cuatro elementos. 2. El conjunto M son los continentes del planeta Tierra. M = {América, Asia, África, Europa, Oceanía} → Cinco elementos 3. El conjunto T es un estado de la materia. T = {Sólido, líquido, gaseoso} → Tres elementos

Son elementos que pueden contarse o enumerarse en su totalidad.

Son elementos que difieren en clase y categoría.

Son dos o más conjuntos que están compuestos por elementos idénticos.

Es la cantidad de elementos entre dos o más conjuntos es la misma.

1.A= (a, e, i, o, u) A= (u, o, i, e, a) 2.A= (1, 2, 3, 4) B= (4, 3, 2, 1 3.A= (casa, carro, moto) B= (moto, carro, casa)

1. El conjunto de los números naturales: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} 2.El conjunto de los números enteros: N={…, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} 3.El conjunto de los números naturales pares: N={2, 4, 6, 8,…}

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Son elementos que presentan una misma clase o categoría.

1.A= {X/X es un virrey actual del Perú} A=∅ o A= {} Es vacío porque no existe virrey en la actualidad en el Perú. 2. B= {Y/Y es un número entero comprendido entre 12 y 13} B=∅ o B= {} Es vacío porque no existe número entero entre 12 y 13. 3.El conjunto de todos los números reales X tales que X 2 = -1, es decir, ya que no existen cuadrados de números reales que sean iguales a -1.

1.A= (a, I, m,p,r) El conjunto es homogéneo pues todos sus miembros son letras. 2.El conjunto {perro, gato, pez, tortuga, conejo} contiene sólo elementos de la categoría “mascotas”. 3.Materiales escolares = {lápiz, borrador, libreta, bolígrafo, colores}.

No presenta ni contiene elementos.

Está compuesto por un único elemento.

1. {es la estrella más cercana a la Tierra} --> Sol 2. {es un satélite} --> Luna 3. {el único planeta donde hay vida} --> Tierra

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

EJEMPLOS:

Subconjuntos

Subconjunto Propio

Igualdad entre conjuntos

Conjuntos Intersecantes

Conjuntos Disjuntos

EJEMPLOS:

Ejemplo 1: 1. Dados A={1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}, se puede decir que A es subconjunto de B, A ⊂ B.2. Dados A={0, 1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}, se puede decir que A no es subconjunto de B, A ⊄ B. Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, esto es, A ⊂ B y B ⊂ A; entonces el conjunto A es igual al conjunto B. Esto quiere decir que todo elemento de A es elemento de B y viceversa. Esto implica que todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Ejemplo 2: Dados A={a, b} y B={1, a, b}, se puede decir que A ⊂ B. Ejemplo 3: Dados A={a, b, c} y B={a, b, c, d}, se puede decir que A ⊂ B.

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EJEMPLO 1: A = {1, 2, 5, 7} ; B = {1, 2, 3, 5, 7} A subconjunto propio de BEJEMPLO 2: A = {camisa, pantalón, zapato} ; B = {camisa, pantalón, media, zapato}A subconjunto propio de BEJEMPLO 3: A = {los números naturales} ; B = {los números reales}A subconjunto propio de B

Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al otro. Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B. La notación A ⊂ B se lee “A es subconjunto de B”. La notación A ⊄ B se lee “A no es subconjunto de B”.

DEFINICIÓN: Dos conjuntos A y B son iguales si solo si tienen los mismo elementos. Es decir ambos conjuntos se contienen mutuamente, Simbólicamente, este concepto se presenta por:

Un subconjunto propio es cuando por ejemplo, el subconjunto A es subconjunto propio de B, si y solo si cada elemento de A está en B, pero al menos un elemento de B no está en A.

UNIDAD 2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS, ECUACIONES Y FUNCIONES

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

INTRODUCCIÓN

Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.
Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0.
Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1.
La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

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NÚMEROS RACIONALES

NÚMEROS IRRACIONALES

AXIOMAS DE CUERPO

AXIOMAS DE ORDEN

Asumimos la existencia de dos operaciones internas denominadas suma (+) y producto. Ser operación interna implica que si «x» e «y» ς R, entonces (x + y) ς R, y (x y) ς R también.
• Asumimos la existencia de dos operaciones internas denominadas suma (+) y producto. Ser operación interna implica que si «x» e «y» ς R, entonces (x + y) ς R, y (x y) ς R también.

De este axioma pueden deducirse todas las leyes usuales de la Aritmética . Admitimos la existencia de una relación «<» entre los números reales, que establece un ordenamiento de los mismos. Existen otros axiomas que cohesionan con mayor fuerza el conjunto de los números reales, particularmente, Ley de Tricotomía define parte de los Axiomas de Orden de los números reales estableciendo una relación entre dos números reales.

Los números racionales son aquellos números que pueden ser expresados como una relación entre dos enteros. Por ejemplo, las fracciones 1/3 y -1111/8 ambos son números racionales. Todos los enteros están incluidos en los números racionales, ya que cualquier entero z puede ser escrito como la relación z /1. Por ejemplo: ¿ 8,75 es un número racional? Sí, porque podemos expresarlo como una fracción: Ejemplo de un número racional

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Aquellos que no pueden ser representados como una fracción. Los números racionales no «llenan» la recta, si no que existen «huecos» entre los distintos números racionales. O dicho de otro modo, un número irracional es aquel que no puede ser expresado por una fracción irreductible. Ejemplos : √2 (raíz cuadrada de 2 es un número irracional), √3, √10… √5. 2.2360679775 √123. 11.0905365064

1._ La suma de dos números siempre es igual : Si a = b y c = d, entonces a÷ c = b+d. 2. Si a = b y c = d, entonces ac=bd.

1._ Si X , Y € R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones . X < Y ; X = Y ; X > Y 2. Si a<byc> 0, entonces ac < be Si a<b yc<0, entonces ac > be

Formalmente, si a y b son números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes: -a es igual a b, es decir, a = b. Gráficamente tenemos que a y b se encuentran en el mismo punto de la recta real. a es igual a b - a es menor que b, es decir, a < b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la izquierda de b de la recta real. a es menor que b - a es mayor que b, es decir, a > b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la derecha de b de la recta real. a es mayor que b.

Se verifica que: -Existe conmutatividad en la suma y en el producto: x + y = y + x; x y = y x. -Existe asociatividad en la suma y la multiplicación: (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z). -Existe distributivita del producto respecto a la suma: x (y + z) = x y + x z. -Dos números reales x e y poseen un número z ς R // y = z + x. A «z» se le designa por «y – x». El número real x – x = 0 se puede demostrar que es independiente de «x», y al número real 0 – x = – x se le denomina opuesto de «x». -Existe un número real distinto de 0. Dados «x» e «y» ς R, siendo x ≠ 0, existe un único z ς R // y = z x. A «z» se le designa como «y / x». El número real x / x = 1 se puede demostrar que es independiente de «x» si x ≠ 0. El número 1 / x se designa por «x^-1», y se denomina inverso o recíproco de «x». Si «x» ≠ 0: x x^-1 = 1.

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EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

Una expresión algebraica es una combinación de números (coeficientes) y letras (variables) relacionadas entre sí mediante operaciones de suma ( + ), resta ( – ), multiplicación ( • ) y división ( : ).

TÉRMINOS SEMEJANTES

Definición

EJEMPLOS

Operaciones fundamentale s de expresiones algebraicas

RESTA O SUSTRACCIÓN

SUMA O ADICIÓN

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. EJEMPLOS: • Los términos 4ab y -6𝑎 2 b no son semejantes, porque aunque tienen iguales letras, éstas no tienen los mismos exponentes, ya que la a del primero tiene de exponente 1 y la a del segundo tiene exponente 2. • Los términos -b𝑥 4 𝑦 𝑎𝑏 4 no son semejantes, porque aunque tienen los mismos exponentes, las letras no son iguales.

La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas(sumandos) en una sola expresión algebraica(suma). Así , la suma de a y b es a+b , porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas: a y b. La suma de a y –b es a-b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones dadas: a y –b. NOTA: En Álgebra, la suma puede significar aumento o disminución, ya que hay sumas algebraicas como la del último ejemplo, que equivale a una resta en Aritmética. Por ejemplo:

6 x2 + 3 x2 = 9 x2

(-3 x4)-(-2 x4) = -3 x4 + 2 x4 = - x4

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES: Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes EJEMPLOS:

-𝒂 𝟐 − 𝟗𝒂 𝟐 = -10𝒂 𝟐
𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 y+ 𝟏 𝟒 𝒙 𝟐 y+ 𝟏 𝟖 𝒙 𝟐 y
= 𝟕 𝟖 𝒙 𝟐 y -20ab+11ab

Es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética que consiste en la diferencia entre una cierta cantidad con respecto a otra. La palabra resta deriva del latín “restis” y significa “acuerda”.

La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas(sumandos) en una sola expresión algebraica(suma).
Así , la suma de a y b es a+b , porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas: a y b.
La suma de a y –b es a-b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones dadas: a y –b.
NOTA: En Álgebra, la suma puede significar aumento o disminución, ya que hay sumas algebraicas como la del último ejemplo, que equivale a una resta en Aritmética.
RESULTA, PUES, QUE SUMAR UNA CANTIDAD NEGATIVA EQUIVALE A RESTAR UNA CANTIDAD POSITIVA DE IGUAL VALOR ABSOLUTO. La suma de m y –n es m-n, que equivale a restar de m el valor absoluto de –n que es /n/

FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se clasifican en :

Factor común

factor común por agrupación

trinomio cuadrado perfecto

diferencia de cuadrados

trinomio de la forma x2+bx+c

EJEMPLOS:

Es un trinomio que resulta de la multiplicación de un binomio por sí mismo o elevado al cuadrado.

Un trinomio de la forma a2 + 2ab + b2 puede factorizarse como (a + b)2.
Un trinomio de la formaa2 – 2ab + b2 puede factorizarse como (a – b)2.

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común Procedimiento: 1) Se agrupan los términos que tengan algún factor en común, encerrados entre paréntesis y separados cada grupo por el signo del primer término del siguiente grupo. Si el signo que se le pone al segundo grupo es negativo, entonces se le cambian los signos a los términos de ese grupo. 2) Cada grupo se factoriza como el caso de «Factor Común». 3) Se forma una expresión con dos factores: uno con los términos comunes y otro con los no comunes.

Los trinomios de la forma x2 + bx + c pueden factorizarse encontrando dos enteros, r y s, cuya suma sea b y cuya resta sea c. Reescribe el trinomio como x2 + rx + sx + c luego agrupa y aplica la propiedad distributiva para factorizar el polinomio. Para factorizar un trinomio como el producto de dos binomios con un término común:

Se extrae la raíz cuadrada del primer término del trinomio, ésta será el término común de los binomios.
Se buscan dos números tales que su suma sea b y su producto sea c.

Diferencia de cuadrados. La diferencia de cuadrados de dos términos es igual al producto de la suma de estos términos por la diferencia de estos términos. Pasos a seguir para calcula la diferencia de cuadrados:

Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término del binomio negativo es la raíz del término del binomio que es negativo).

El factor común es un caso de factorización que consiste en identificar un factor que se repita en todos los términos del polinomio dado. Su procedimiento es: 1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno precedido de su respectivo signo).

CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIO

MONOMIO

POLINOMIO COMPLETO

EJEMPLOS

EJEMPLOS:

Algunas expresiones algebraicas las clasificamos de la siguiente manera:

Un monomio es una expresión algebraica formada por una combinación de números y letras. En concreto, un monomio está compuesto por el producto entre un número y una o más variables (letras) elevadas a exponentes. PARTES DE UN MONOMIO

Coeficiente: es el número que está multiplicando a las variables (o letras) del monomio.
Variable: es cada una de las letras que aparecen en el monomio.
Parte literal: corresponde a todas las variables que componen el monomio junto con todos sus respectivos exponentes.
Grado: consiste en la suma de todos los exponentes de las letras que forman el monomio.

Un polinomio completo es aquel polinomio que está formado por todos los términos de todos los grados, es decir, un polinomio completo tiene todos los términos desde el monomio de mayor grado hasta el término independiente. Está compuesto por todos los términos desde el grado tres hasta el grado cero: el monomio x3 es de tercer grado, el término 4x2 es de segundo grado, el elemento -5x es de primer grado y, por último, el número 3 es de grado 0.

Un polinomio es una expresión algebraica de sumas, restas y multiplicaciones ordenadas hecha de variables, constantes y exponentes.
En álgebra, un polinomio puede tener más de una variable (x, y, z), constantes (números enteros o fracciones) y exponentes (que solo pueden ser números positivos enteros).
Están formados por términos finitos. Cada término es una expresión que contiene uno o más de los tres elementos de los que están hechos: variables, constantes o exponentes.
Por ejemplo: 9, 9x, 9xy son todos términos. Otra forma de identificar los términos es que se separan por sumas y restas.
Tipos de polinomios

La cantidad de términos que un polinomio tiene indicará qué tipo de polinomio es, por ejemplo,

Polinomio de un término: monomio, por ejemplo, 8xy.
Polinomio de dos términos: binomio, por ejemplo, 8xy - 2y.
Polinomio de tres términos: trinomio, por ejemplo, 8xy - 2y + 4.

Grado de polinomioEl grado de un polinomio de una sola variable es el mayor exponente. El grado de un polinomio con más de una variable es determinado por el término con el mayor exponente. Por ejemplo: el polinomio 3x+8xy+7x2y 3x: grado 1 8xy: grado 2 (x:1 + y:1= 2) 7x2y:grado 3 (x:2 + y:1=3) Esto significa que el grado del polinomio es 3 siendo el mayor exponente de los tres términos que lo componen.

PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES

propiedad de suma y resta con igual denominador

propiedad de mULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

DIVISIÓN DE FRACCCIONES

PROPIEDAD ENTERA COMO FRACCIÓN

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE FRACCCIONES

Encontramos Propiedades como :

EJEMPLOS

PROPIEDAD INVIRTIENDO Y MULTIPLICANDO

EJEMPLOS

En la suma y resta de fracciones con igual denominador, se suman o se restan los numeradores y se dejan el mismo denominador.

Es una de las operaciones básicas que permite obtener una tercera fracción que será el producto de las anteriores, al cual se le conoce como “Producto” o “Resultado de la Multiplicación”

La división de fracciones no se realiza una repartición sino una multiplicación, la cual, es una multiplicación cruzada entre los numeradores y denominadores de ambas fracciones.

Son aquellas fracciones en las que el numerador y el denominador valen lo mismo por lo que su resultado será igual a la unidad.

Si el denominador se multiplica, la fracción queda dividida y si el denominador se divide, la fracción queda multiplicada.

Se establecen las principales propiedades de fracciones, recordando algunas operaciones básicas, como la suma con igual denominador, la multiplicación, la división entre fracciones.

La inversa de una fracción es otra fracción que al ser multiplicada por ella da la fracción unidad.

Ejemplos

3/15 + 2/15= 5/15
6/4 - 4/4= 2/4

EJEMPLOS:

Ejemplos

13 x 26 = = 218

2/5 x 1/4 = 2/20
2/6 x 3/3= 6/18

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

producto de potencia de la misma base

división de potencia de la misma base

potencia con exponente negativo

Potencia de potencias

Potencia con exponente 0

Estan divididas en 7 Propiedades como :

EJEMPLOS

Potencia de un producto

EJEMPLOS

Potencia un número cociente

EJEMPLOS

Da como resultado una potencia con la misma base y la suma de los exponentes.

Da como resultado una potencia con la misma base y la diferencia del exponente del numerador menos el exponente del denominador.

Es cuando tenemos el caso en que una potencia está elevada a otro exponente, de forma que la primera potencia es la base de la otra potencia En este caso se multiplican los exponentes.

Es el resultado de dividir dos potencias de la misma base, cuyos exponentes son iguales; lo anterior da como resultado la misma base con exponente cero, recordando que cualquier literal o número elevado a la potencia cero da como resultado la unidad. Esta propiedad es muy importante para la simplificación algebraica.

Permiten simplificar y reducir operaciones en la multiplicación y división con potencias.

La potencia de un producto equivale al producto de potencias cuyas bases son cada uno de los factores y cuyo exponente es el mismo.

Ejemplos:

Resulta de dividir dos potencias de la misma base, donde el exponente del numerador es menor que el exponente del denominador. El resultado es una fracción.

Ejemplos:

Ejemplos

Ejemplos:

Ejemplos

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de lo términos elevados a las potencias .

EJEMPLOS:

PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES

propiedad reflexiva

propiedad de simetría

PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN

PROPIEDAD ADITIVA DE LA IGUALDAD

PROPIEDAD TRANSISIVA

Lore m

Lorem

Se clasifican en :

EJEMPLOS

PROPIEDAD MULTIPLICATIVA DE LA IGUALDAD

Todo número es igual a si mismo a = a

Si un número es igual a otro, éste es igual al primer Si a = b b = a

Si un número es igual a otro, en cualquier expresión en que aparezca el primero puede reemplazarse por el segundo Si a = b a puede sustituir a b

Si un número es igual a un segundo número y éste es igual a un tercero, el primero y el tercero son iguales Si a = b y b = c a = c

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Es la proposición de equivalencia existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través del signo = en la cual, ambas expresan el mismo valor.

Si multiplicamos el mismo número en ambos lados de la igualdad, la igualdad permanece Si a = b a. c = b. c

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ESCALAS DE MEDICIÓN

TIPOS DE VARIABLES

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Se Clasifica en:

VARIABLES CUANTITATIVAS

VARIABLES MULTIDIMENSIONALES

VARIABLES BIDIMENSIONALES

VARIABLES UNIDIMENSIONALES

VARIABLES CUALITATIVAS O ATRIBUTOS

DE RAZÓN

ORDINAL

DE INTERVALO

NOMINAL

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Es una característica que se asocia a los elementos de una muestra o población. Tiene la propiedad de poder ser medida u observada. Su expresión numérica es el dato.

Medir es el proceso que se realiza al asignar números a objetos, fenómenos o características, según ciertas reglas de cuantificación.
Toda medida de una variable está referida a una escala, que es una regla o patrón que permite asociar números a los objetos o fenómenos.

Recogen información sobre tres o más características. Por ejemplo:

Edad, altura y peso de los alumnos de una clase.
Alguna crisis que esté atravesando un país, ya que representa un problema multidimensional.
Conceptos como la pobreza, que al entenderse como multidimensional se puede definir como un problema que abarca muchas índoles y causas.

Recogen información sobre dos características de la población. EJEMPLOS: Edad y estatura de los alumnos de una clase.

Sólo recogen información sobre una característica . EJEMPLOS:

Edad de los alumnos de una clase
Tiempo entre dos eventos.
Distancia que recorres caminando
Temperatura del día.
Consumo de energía

Variable cualitativa: Son variables que se expresan, por norma general, en palabras.

Ordinal: Expresa diferentes niveles y orden.

EJEMPLOS:

El viento de la región puede ser leve, moderado o intenso según la época del año.
Niveles de satisfacción de servicio de altamente insatisfecho a altamente satisfecho)
Un examen que se califica como suspenso, aprobado, notable, sobresaliente y matrícula de honor.

Nominal: Expresa un nombre claramente diferenciado.

EJEMPLOS:

El color de ojos puede ser azul, negro, castaño, verde, etc.
El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.
Los diferentes deportes que practican los alumnos de manera extracurricular, como béisbol, fútbol, natación, voleibol y básquetbol.

Variable cuantitativa: Son variables que se expresan numéricamente. Se dividen en:

Continua: Toman un valor infinito de valores entre un intervalo de datos.

EJEMPLOS:

El tiempo que tarda un corredor en completar los 100 metros lisos.
Temperaturas registradas en un observatorio
Tiempo en recorrer una distancia en una carrera
Contenido de alcohol en un cuba-libre

Discreta: Toman un valor finito de valores entre un intervalo de datos.

EJEMPLOS

Número de empleados de una fábrica
Número de hijos
Número de cuentas ocultas en Suiza.
Número de helados vendidos.

Se pueden establecer razones entre los datos. Posee cero absoluto. POR EJEMPLO:

Peso: medido en kilogramos.
Concentración de glucosa en una muestra: medida en mg/dl.
Tasa de mortalidad: muertes por 1000 personas en riesgo.
Ingresos: medidos en euros.

Ordena las medidas y permiten realizar comparaciones entre dos medidas. Usan un cero relativo. POR EJEMPLO:

La diferencia de temperatura entre una habitación a 22 grados centígrados y otra a 26 es la misma que la existente entre dos a 33 y 37 grados centígrados, respectivamente.
La distinción en algún punto del rango de 60 y 50 grados es de 10 grados cuantificables, similar al contraste en algún punto del rango de 80 y 70 grados.
Lescala de tiempo que utilizamos: el cero es arbitrario, puesto en el nacimiento de Cristo, o la escala para medir la temperatura en grados centígrados, en la que el cero es también relativo

Se ´pueden establecer relaciones de orden entre los datos de la variable:mayor,menor o igual. Contiene a la escala nominal. POR EJEMPLO:

Clase social: 1) baja, 2) media, 3) alta.
Grados de reflujo vesicoureteral: grados 1, 2, 3, 4.
Conformidad con una afirmación: 0) completo desacuerdo, 1) acuerdo parcial, 2) acuerdo total.
Fumar: 0) no fumador, 1) fumador leve, <10/día; 2) fumador moderado, 10-20/día, y 3) gran fumador, >20/día).

Las observaciones del atributo de la variable son clasificadas en categorías, solamente se puede verificar la igualdad entre las categorías. Nombran, pero no miden la variable. POR EJEMPLO:

Sexo: 1) masculino; 2) femenino.
Fumar: 0) no; 1) sí.
Estado civil: 1, casado; 2, soltero; 3, viudo; 4, divorciado,
Procedencia del ingreso: 1, urgencias; 2, consultas; 3, otro hospital.

Sistema de Ecuaciones Lineales

Igualación

Eliminación

Sustitución

¿Qué es?

ECUACIONES lineales

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EJEMPLOS

Consiste en despejar la misma incógnita de las ecuaciones dadas y posteriormente hacer la igualación de ambas incógnitas. X=X Y=Y

Consiste en realizar una sumatoria de ambas ecuaciones con el propósito de desaparecer alguna de las variables en el resultado de dicha operación y poder despejar la incógnita que queda.

Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones. Para usar el método de sustitución, toma una ecuación y encuentra una expresión para una de las variables en términos de la otra variable. Luego sustituye esa expresión por la variable en la segunda ecuación.

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Una ecuación lineal es aquella donde la(s) variable(s) están multiplicadas por números o sumadas a números, con nada más complicado que eso (sin exponentes, raíces cuadradas, 1/ x , o cualquier otra situación complicada).

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ECUACIONES CUADRÁTICAS

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Tipos de funciones y determinación de dominio y rango

Funciones Polinómicas

Funciones Racionales

Funciones Irracionales

Funciones Exponenciales

Funciones Logarítmicas

¿Qué es?

Determinar el dominio y el rango

El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales. Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio. Los exponentes (o índices) son positivos y enteros. Se llama grado de una función polinómica al mayor exponente de sus términos. Por ejemplo, el polinomio de la función del gráfico de arriba es de grado 3. Los diferentes ai (a0, a1, …an), son números reales llamados coeficientes de un polinomio.

Funciones Racionales Se puede identificar una función racional cuando es una división y en el denominador esta la x Existen dos tipos de funciones racionales las funciones racionales propias e impropias Funciones racionales propias: Son aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador, n < m. Y se llaman funciones racionales impropias a aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el del denominador, n ≥ m.

Funciones irracionales Una función es irracional si la variable independiente está bajo el signo del radical.

Función Exponencial Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R. Características

En algunos casos el término independiente no existe, o también se podemos decir que es cero.
El coeficiente tienen ciertas características o condiciones: a≠1 y a>0.
Si el coeficiente a> 1 el comportamiento de la gráfica será creciente
Si el coeficiente a<1 <0 el comportamiento de la gráfica será decreciente
El Dominio para toda función exponencial siempre será (-∞, +∞)

Función logarítmica Es aquello vinculado a un logaritmo el exponente al cual se necesita elevar una cierta cantidad para obtener como resultado un número determinado. En estas funciones, a es la base, que tiene que ser positiva y diferente de 1. La forma oficial de leer esta ecuación es la siguiente: «la función de x es igual al logaritmo base a de x». Cabe mencionar que también podría expresarse sin el uso de la expresión f(x), sino con una variable tal como y, ya que de este modo podríamos reflejar con mayor claridad que el resultado es un elemento diferente, de otro conjunto

COMO DETERMINAR EL DOMINIO Y EL RANGO Para determinar el dominio y rango de las funciones polinómicas es necesario saber que las funciones polinómicas se dividen en: función afín o recta, función cuadrática, función polinómica de tercer grado. FUNCION AFIN

Como es una función lineal el dominio será fácil de identificar ya que serán todos los números reales. Dom f(x) = R
El rango de igual manera serán todos los números reales. ( -∞, +∞)

FUNCION CUADRATICA

El dominio de cualquier función cuadrática es el conjunto de todos los reales o, equivalentemente, el intervalo (− ∞, +∞). Lo único variable en este tipo de funciones es su rango, el conjunto de todos los valores que toma cuando la variable recorre todo el dominio.

FUNCION POLINOMICA DE TERCER GRADO

Cuando es una función polinómica de tercer grado el dominio será todo el conjunto de números reales y de igual manera el rango. ( -∞, +∞)

Tiene las siguientes características generales: a) El dominio será todos los valores que hacen positivo la expresión dentro del logaritmo. b) El recorrido es R. c) Siempre pasa por el punto (0,1)(0,1). d) Siempre pasa por el punto (a,1)(a,1). e) Si a>1 la función es creciente. f) Si 0<a<1 la función es decreciente

El dominio de las funciones exponenciales es igual a todos los números reales, ya que no tenemos restricciones con los valores que x puede tomar. El rango de las funciones exponenciales es igual a los valores encima o debajo de la asíntota horizontal.

Las características generales de estas funciones son: a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o igual que cero. b) Si el índice del radical es impar, el dominio es RR. c) El recorrido es [0,∞][0,∞] d) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas si la función bajo la raíz es una función polinómica.

Para lograr calcular el dominio de esta función debemos igualar el denominador a cero y resolver esa ecuación una vez resuelta el dominio estará resuelto por todos los reales excepto las soluciones de la ecuación.

UNIDAD 3

ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

INTRODUCCIÓN

Generalmente la estadística se asocia a un conjunto de datos organizados en tablas o en gráficos, referentes a geografía, demografía, economía, mercados, entre otros.
Ciencia tan antigua como las matemáticas y por su utilidad es apoyo de todas las demás ciencias.
La estadística ayuda a que los administradores tomen las mejores decisiones en tiempos de incertidumbre.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

DEFINICIÓN

Lorem

ELEMENTO o ente

ELEMENTO,POBLACIÓN MUESTRA

Ciencia que recolecta, organiza, describe e infiere información para el análisis e interpretación de los fenómenos que nos rodean.

POBLACIÓN

MUESTRA

Se Clasifica, según su tamaño en:

Población finita:

Población Infinita:

EJEMPLOS

Se Clasifica en:

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Consiste en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas.
Está diseñada para resumir o describir datos sin factores pertinentes adicionales.
Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos descriptivos, para organizar y resumir datos numéricos.
La estadística descriptiva trata de la tabulación de datos, su presentación en forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas.
Las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en control de calidad, contabilidad, mercadotecnia, estudios de mercado, análisis deportivos, educación política, medicina y por aquellas personas que intervienen en la toma de decisiones.

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También se le conoce como ente:Cuaquier elemento que aporte información sobre las características que se estudia. Así, estudiamos la altura de los niños de una clase , cada alumno es un ente; sí estudiamos el precio de la vivienda , cada vivienda es un ente.

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Conjunto o colección de los entes de interés. Cada ente presenta características determinadas , observables y medibles . La estadística se preocupa de estudiar las características de los elementos constituyentes de la población, y estudia las posibles relaciones y las regularidades que presenta la población a partir de estas características. EJEMPLOS:

Las personas que habitan un país.
La cantidad de carros en una ciudad.
Los estudiantes de un país.

Es un subconjunto de la población. En muchas ocasiones, es importante trabajar con una muestra representativa de la población, para ello, debemos trabajar con criterios y técnicas de muestreo. Una muestra representativa debe reflejar las características de la población.

Población infinita: son inmensas poblaciones donde se hace muy difícil contabilizar a sus integrantes, por lo que suele tomarse en cuenta solo una porción de ella a la hora de realizar un estudio, seleccionando así una muestra.

Población finita: Es aquella que se puede contar y se pueden estudiar con mayor facilidad a sus integrantes.

EJEMPLOS:

Un fabricante de escritorios necesita conocer la cantidad de unidades que produce su empresa semanalmente, entonces el Ente es cada una de las semanas a ser evaluadas en el periodo determinado bien sea mensual, semestral, anual o cualquiera otro.
El órgano municipal de educación desea conocer el rendimiento de los escolares en los planteles de su jurisdicción, entonces el Ente son cada una de las infraestructuras educativas que le pertenecen.
Una empresa de mensajería requiere conocer la habilidad de ubicación dentro de la ciudad; de varios motorizados para su contratación; luego el Ente son todos y cada uno de los que aspiran ser evaluados en ese aspecto.

EJEMPLOS:

Para el estudio del desempeño de los estudiantes de cinco universidades de una ciudad en una materia específica, se toma como muestra a 500 estudiantes aleatoriamente (100 de cada institución) que estén cursando el mismo nivel para que la muestra sea representativa.
3.500 vehículos que circulan por la ciudad y que fueron seleccionados de una población de 500.000.
Especie animal amenazada:Considerando los animales que habiten en cierta zona, una muestra podrían ser aquellos en peligro de extinción.

Ejemplo:

La cantidad de personas inscritas en un gimnasio.
Número de personas que conforman la gerencia de una empresa.
Número de integrantes de una familia.
Número de teléfonos que posee una persona.
Número de propiedades que posee una persona.

ejemplo:

La cantidad de granos de arena en una playa.
Estrellas en el universo
Población de hormigas a nivel mundial

Muestra probabilística: En este tipo de muestras todos los sujetos disponibles tienen las mismas probabilidades de ser incluidos.
- Muestra aleatoria simple: Es un conjunto de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, obtenidas a partir de la variable aleatoria X y que se distribuyen igual que la misma.
- Muestra aleatoria sistemática: En este caso la población se enumera y se agrupa en grupos de 10 personas. Posteriormente, se selecciona a un miembro de cada grupo para elaborar la muestra.
- Muestra aleatoria por conglomerados: La población se encuentra ya agrupada previamente y de estos grupos se extraen los individuos para conformar la muestra.
- Muestra estratificada: En este caso la población se divide en subgrupos o estratos con base en las variables de estratificación.
Muestra no probabilística: En este tipo de selección de muestra todos los elementos no tienen la misma probabilidad de ser elegidos, ya que depende del procedimiento escogido para seleccionarlos.
- Bola de nieve: En primer lugar se seleccionan a diferentes sujetos. A partir de ahí estos sujetos colaboran para encontrar a más sujetos que tengan relación con ellos.
- Muestra por cuotas: La población es elegida en función a unas características determinadas.
- Muestra por conveniencia: Es una muestra elegida por los propios investigadores según su interés o cercanía.

ORGANIZACIÓN DE DATOS

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

EJEMPLOS

Se distribuyen en:

La media

La Moda

La mediana

VARIANZA

COCIENTE DE VARIACIÓN

RANGO ESTADÍSTICO

DESVIACIÓN ESTANDAR

Se distribuyen en:

Medida de tendencia central A veces, tratamos con una gran cantidad información. Variables que presentan muchos datos y muy dispares. Datos con muchos decimales, de diferente signo o longitud. En estos casos, siempre es preferible calcular medidas que nos ofrezcan información resumida sobre dicha variable. Por ejemplo, medidas que nos indiquen cuál es el valor que más se repite. Las medidas de tendencia central son parámetros estadísticos que informan sobre el centro de la distribución de la muestra o población estadística

es una medida estadística que nos informa acerca de la dispersión relativa de un conjunto de datos. Es decir, nos informa al igual que otras medidas de dispersión, de si una variable se mueve mucho, poco, más o menos que otra. Fórmula

X: variable sobre la que se pretenden calcular la varianza

Sx: Desviación típica de la variable X.
| x̄ |: Es la media de la variable X en valor absoluto con x̄ ≠ 0

El Rango es el intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, aún más dispersos están los datos (sin considerar la afectación de los valores extremos). El rango, también es llamado amplitud o recorrido de medida. Fórmula R = Máx. – Min

R es el rango.
Máx. es el valor máximo de la muestra o población.
Mín. es el valor mínimo de la muestra o población estadística.
x es la variable sobre la que se pretende calcular esta medida.

Es una medida que ofrece información sobre la dispersión media de una variable. La desviación estándar es siempre mayor o igual que cero. Fórmula para calcular la desviación típicaEs elevando al cuadrado las desviaciones, dividir entre el número total de observaciones y por último hacer la raíz cuadrada para deshacer el elevado al cuadrado, tal que:

Las medidas de dispersión entregan información sobre la variación de la variable. Pretenden resumir en un solo valor la dispersión que tiene un conjunto de datos. Las medidas de dispersión más utilizadas son: Rango de variación, Varianza, Desviación estándar, Coeficiente de variación.

Es un dato estadístico de posición central, que parte la distribución en dos, esta puede ser de manera creciente o decreciente, lo que significa, que coloca la misma cantidad de valores en un lado y en el otro. En caso de que haya dos números en el medio (como pasa si hay una cantidad par de números) se promedia esos dos números.

Es el valor que más se repite en una muestra estadística o población, no tiene fórmula en sí misma, lo que hay que realizar es la suma de las repeticiones, es decir un recuento de las variables continuas.

Es el valor promedio de un conjunto de datos numéricos, se calcula como la suma del conjunto de valores, dividida entre el número total de valores.

Es el grado en que una distribución se estira o se comprime.
Expresan cómo se distribuyen los datos en torno a alguna de las medidas de centralización definidas antes, y son un complemento a estas últimas para describir más fielmente un conjunto de datos.
Las medidas de dispersión se contrastan con la ubicación o la tendencia central, y juntas son las propiedades más utilizadas de las distribuciones.

son las herramientas de mayor utilidad en el campo de las estadísticas, ya que estas nos brindan las representaciones cuantitativas de datos

TRABAJO FINAL

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