LZH SÜ10: LGS

Vorbereitung Oberstufe:

Lineare Gleichungssysteme

Definition und (graphische) Lösung

Zwei lineare Gleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichunssystem (LGS). Dass die Gleichungen zusammen gehören, zeigt man durch eine Nummerierung oder Striche an den Seiten an. Beispiel: I. y = -x + 3 oder y = - x + 3 II. y = 2x - 3 y = 2x - 3 Als Lösung eins solchen LGS bezeichnet man ein Zahlenpaar, welches beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Hier: IL = {(2 | 1)} Besteht das LGS aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, so kann man die ein- zelnen Gleichungen als Funktionen in ein Koordinatensystem zeichnen. Die Lösung des LGS entspricht dann den Koordinaten des Schnittpunktes. Bei einem solchen LGS gibt es also drei Möglichkeiten für die Lösung:

Damit es eine eindeutige Lösung geben kann, braucht man bei n Unbekannten n Gleichhungen! Bei drei Unbekannten braucht man also drei Gleichungen.

Aufgaben (OHNE TR)

1. Löse die folgenden LGS zeichnerisch. 2. Überprüfe, ob das angegebene Zahlenpaar eine Lösung des LGS ist. a) I. y = -0,75x + 2 II. y = 0,25x - 2 a) I. y = -2x + 5 Zahlenpaar: II. y = 0,5x (2 | 1) b) I. 6x - 3y = 6 II. 3x + 1,5y = 9 b) I. -x + y = 2 Zahlenpaar: II. x + 2y = 7 (4 | 6) c) I. 2x - 4y = -8 II. -2,5x + 5y = -15

Lösungen:

Weiter geht's mit dem Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren

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Lineare Gleichungssysteme

Gleichsetzungs- u. Einsetzungsverfahren

Neben dem graphischen Lösungsverfahren gibt es drei rechnerische Verfahren. Betrachten wir zuerst das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzungsverfahren an einem Beispiel: I. 3x + 4y = 2 II. 2x - 3y = 7

Beide Verfahren liefern natürlich das gleiche Ergebnis. Je nach Ausgangsgleichungen geht mal das eine, mal das andere schneller.

Aufgaben

4. Löse mit dem Einsetzungsverfahren. a) I. 8x + 9y = 71 II. y = 5x + 2 b) I. 8x - 2y = -12,4 II. 2y = 5x + 1 c) I. 40 - 5x = 6y II. x -8 = -4y

3. Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren. a) I. y = x - 8 II. x + y = 2 b) I. 2x + 3y = -1 II. 2x - 4y = 20 c) I. -3x - y = -12 II. 7x - y = 18

Lösungen:

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Weiter geht's mit dem Additionsverfahren

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Lineare Gleichungssysteme

Das Additionsverfahren

Während das Einsetzungs- und das Gleichsetzungsverfahren v.a. bei LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zum Einsatz kommen, kann das Additionsverfahren auch gut bei LGS mit mehr Unbekannten und Gleichungen angewendet werden. Dennoch bleiben wir hier bei LGS mit zwei Unbekannten. Die Idee ist, die beiden Gleichungen so miteinander zu verrechnen (per Addition oder Subtraktion), dass dadurch eine der beiden Variablen wegfällt. Damit dies erreicht wird, muss man die Ausgangsgleichungen meist erst mit geeigneten Faktoren multiplizieren. Die dadurch neu entstandenen Gleichungen werden fortlaufend nummeriert. 1. Schritt: I. 3x + y = 5 | · 2 Geegnete Faktoren finden II. 2x - 2y = 6 und Gleichungen modifizieren . III. 6x + 2y = 10 IV. 2x - 2y = 6 2. Schritt: V. 8x = 16 Gleichungen verrechnen. Die weiteren Schritte sind wie beim Einsetzungs- und Gleichstzungsverfahren. 3. Schritt: Gleichung lösen. x = 2 4. Schritt: I. 6 + y = 5 | - 6 x in eine Ausgangsgleichung y = -1 einsetzen, um y zu bestimmen. 5. Schritt: IL = {(2 | -1)} Lösungsmenge angeben. 6. Schritt: I. 3 · 2 - 1 = 5 stimmt Probe machen. II. 2 · 2 - 2 · (-1) = 6 stimmt.

Aufgaben

5. Lösen mit ddem Addditionsverfahren. a) I. 3x + y = 23 II. 2x - y = 12 b) I. 3x + y = 7 II. 2x - 2y = 10 c) I. 13x + 9y = 31 II. 5x + 12y = 29

Lösungen:

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