FUNCIONES ESPECIALES

funciónes especiales

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tipos de funciónes especiales

Función constante: f(x) = m (donde m es una constante) Función identidad: f(x) = x Función cuadrática: f(x) = x2 Función cúbica: f(x) = x3 Función raíz: f(x) = √x (siempre que x sea mayor o igual a 0) Función potencial: f(x) = xn (con n diferente de 0 y perteneciente a los números reales)

tipos de funciónes especiales

Función exponencial: f(x) = ax Función logarítmica: f(x) = log (x) Función seno: f(x) = sen x Función coseno: f(x) = cos x Función tangente: f(x) = tg x

función constante

Dominio

Imagen

Simetría

La gráfica de una función par presenta simetría respecto del eje de las ordenadas. La gráfica de una función impar presenta simetría rotacional (rotación de 180 grados). La función constante f(x) = k es par.

Una función constante es aquella función que siempre toma la misma imagen para cualquier valor de la variable independiente (x), es decir, una función constante es de la forma f(x)=k, donde k es un número real cualquiera.

El dominio de una función constante es IR, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una recta paralela (o coincidente) al eje X.

Monitonía

Tipo de función

Gráfica

es monótona creciente y decreciente (puesto que siempre se da la igualdad entre las imágenes), pero no son estrictamente crecientes ni decrecientes.

es una función lineal por la cual el rango no cambia sin importar cual miembro del dominio es usado. para cualquier x 1 y x 2 en el dominio. Con una función constante, para cualesquiera dos puntos en el intervalo, un cambio en x resulta en un cambio en cero en f ( x ).

Ejemplo

Para representar cada función constante simplemente tenemos que trazar una línea recta horizontal a la altura de cada constante:

función identidad

Dominio

Imagen

Simetría

Si f(-x) = f(x), entonces la función es par y simétrica respecto al eje de ordenadas OY. Si por el contrario f(-x) = –f(x), entonces la función es impar y simétrica respecto al origen O. respecto a el origen (es una función impar)

Una función identidad es aquella función que tiene como imagen el mismo valor que el argumento. La función identidad se puede expresar con el término id.

La función identidad es creciente en todo su dominio, y su pendiente es igual a 1.

Monitonía

Tipo de función

Gráfica

Decimos que la monotonía es estricta cuando la función es monótona pero de forma estricta. Es decir, si x < y, entonces f(x) < f(y). De forma análoga, f es estrictamente monótona decreciente si se cumple que si x < y entonces f(x) > f(y).

La identidad es una función lineal de pendiente m = 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0)

Ejemplo

F (x) = x

función cuadrática

Dominio

Imagen

Simetría

El dominio de cualquier función cuadrática es el conjunto de todos los reales o, equivalentemente, el intervalo ( − ∞ , ∞ ) (-∞,∞) (−∞,∞). Lo único variable en este tipo de funciones es su rango.

La imagen (o rango) de una función es el conjunto de números que puede generar la función. En otras palabras, es el conjunto de valores de y que obtienes cuando evalúas en la función todos los valores de x posibles.

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide la parábola en dos mitades congruentes. El eje de simetría siempre pasa a través del vértice de la parábola . La coordenada en x del vértice es la ecuación del eje de simetría de la parábola.

Monitonía

Tipo de función

Gráfica

es un tipo de función que se caracteriza por ser un polinomio de segundo grado. En otras palabras, una función cuadrática es una función que en la que uno de los elementos lleva un 2 pequeño como índice superior. Una función cuadrática también recibe el nombre de función de segundo grado.

Es la propiedad de la función que caracteriza su variación respecto a la variación de la variable independiente x. Comprende los conceptos de crecimiento y decrecimiento. Monotonía .

Ejemplo

Usando los valores x=0, x=1 y x=2, tenemos: Cuando x=0, tenemos f(0)=0+3=3 Cuando x=1, tenemos f(1)=-1+3=2 Cuando x=2, tenemos f(2)=-4+2=-2 Ahora, graficamos los puntos y trazamos una curva. Luego, replicamos esto en su eje de simetría: RTA: Alternativamente, es posible reconocer está función es una función cuadrática estándar f(x)={{x}^2} con una reflexión en el eje y y una traslación vertical de 3 unidades hacia arriba.

función cúbica

Dominio

Imagen

Simetría

La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x). La función es continua en todo su dominio. La función es siempre creciente. La función no tiene asíntotas.

Una función cúbica es una función polinomial de grado 3. Puede ser escrita en la forma f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , donde a, b, c y d son números reales y a ≠ 0. También puede ser escrita como f ( x ) = a ( x + b ) 3 + c , donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.

Una función cúbica puede tener tres, dos o una raíz. Las raíces de una función son los elementos del dominio tal que su imagen es nula (f(x) = 0)

Monitonía

Tipo de función

Gráfica

La representación de una función cúbica puede tener aspectos diferentes, como se puede comprobar en esta escena, aunque su aspecto genérico es el que hay en el inicio, donde presenta un máximo y dos mínimos, o viceversa, dos ramas infinitas, una creciente y otro decreciente y dos intervalos determinado por los puntos críticos, en uno decreciente y en el otro creciente.

Una función cúbica es una función polinomial de grado 3. Puede ser escrita en la forma f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , donde a, b, c y d son números reales y a ≠ 0.

Ejemplo

Grafique la función f ( x ) = –2( x + 1) 3 – 3

función raiz

Dominio

Imagen

Simetría

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadrática, pero en este caso el eje de simetría de la media parábola es horizontal (paralelo al eje de las abscisas).

El dominio de una función radical es cualquier valor de x cuyo radicando (el valor dentro del signo radical) no es negativo x + 5 ≥ 0, entonces x ≥ −5. Como la raíz cuadrada siempre debe ser positiva o 0.La imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente

La imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente

Monitonía

Tipo de función

Gráfica

Monotonía: y=f(x) decrece para x∈(−∞,−5] (los valores de y disminuyen, vistos de izquierda a derecha como lo indica el sentido positivo del eje x) y=f(x) crece para x∈[5,∞) (los valores de y aumentan, vistos de izquierda a derecha como lo indica el sentido positivo del eje x).

Son funciones radicales que son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el signo radical.

Ejemplo

Como el índice radical de {f(x)} es impar, entonces el dominio de {f(x)} son todos los números reales {\mathbb{R}}.

función potencial

Dominio

Imagen

Simetría

La simetría de funciones potenciales es sencilla: Si la potencia es par, la gráfica de la función potencial es axisimétrica respecto al eje Y. Ejemplo: Las potencias son todas pares, por lo tanto las funciones potenciales son axisimétricas respecto al eje Y.

El dominio de una función corresponde al conjunto de las preimágenes, los valores de la variable x. Por lo tanto, cuando el exponente es positivo el dominio de la función potencia siempre será el conjunto de los números reales. ℝ − {0} quiere decir que es el conjunto de los números reales menos el cero.

El rango de la función potencia son los valores f(x) que pertenezcan a la funcion.

Monitonía

Tipo de función

Gráfica

Decimos que la monotonía es estricta cuando la función es monótona pero de forma estricta. Es decir, si x < y, entonces f(x) < f(y). De forma análoga, f es estrictamente monótona decreciente si se cumple que si x < y entonces f(x) > f(y).

Se llama función potencial a cualquier función de la forma f(x) = a x , siendo a un número real fijo. x− , h(x) = 1/2 x . El dominio, gráfica y características de una función potencial depende del número a que figura en el exponente. Se llama función exponencial de base a , con a > 0, a la función f(x) = X a .

Ejemplo

y= x4Función PAR Dominio: R Imagen: [0, ∞) Siempre positiva Cero en cero Decreciente (-∞,0) Creciente (0, ∞)

función exponencial

Dominio

Imagen

Simetría

Con la definición f(x) = bx y las restricciones de b > 0 y b ≠ 1, el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. El rango es el conjunto de todos los números reales positivos.

Las funciones exponenciales sencillas no presentan simetría par ni impar. Lo que sí podemos es encontrar simetría entre las funciones f(x)=ax y f(x)=(1/a)x, como se ponía de manifiesto en las imágenes del comienzo de este apartado.

Con la definición f(x) = bx y las restricciones de b > 0 y b ≠ 1, el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. El rango es el conjunto de todos los números reales positivos.

Monitonía

Tipo de función

Gráfica

Las funciones exponenciales de tipo f(x)=ax son continuas y derivables en todo el conjunto de los números reales. Esto se cumple para la mayoría de funciones exponenciales sencillas: 5 x.

La monotonía de una función exponencial, estará determinada por el valor de la base de la misma, por lo que tenemos que: Si , se tiene que la función exponencial es estrictamente creciente. Si , se tiene que la función exponencial es estrictamente decreciente.

Ejemplo

Construimos una tabla de valores para {f(x) = 2^x} {x} {f(x)} -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8

función logarítmica

Dominio

Imagen

Simetría

El dominio de una función logarítmica está formado por el conjunto de los reales que hacen su argumento a(x) (lo que hay dentro del logaritmo) mayor que cero, independientemente de la base. En ese sentido, el procedimiento en todas los casos será similar: resolver la inecuación a(x)>0.

En la forma simple de la función, la imagen de 1 siempre es 0 independientemente de cual sea la base a y la imagen de a es 1. Así pues, las funciones logarítmicas, en su expresión simple, siempre pasan por los puntos (1 , 0) y (a , 1). La función logarítmica es inyectiva.

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Monitonía

Tipo de función

Gráfica

na función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que: loga x = b Û ab = x.

En caso de que la base esté en el intervalo (0,1) (imagen derecha) a medida que tomamos valores mayores de la abscisa x los valores de en el eje y se van haciendo más pequeños. Por eso es decreciente.

Ejemplo

f(x)=\log_{2}(x)

función seno

Dominio

Imagen

Simetría

La gráfica de la función seno se ve así: Dese cuenta que el dominio de la función y = sin x es todos los números reales (el seno está definido para cualquier medida de ángulo), el rango es −1 ≤ y ≤ 1.

el rango es −1 ≤ y ≤ 1.

Es impar, pués sen(-x)=-sen(x)\,

Monitonía

Tipo de función

Gráfica

La función seno es una función periódica que es muy importante en trigonometría. La forma más simple de entender la función seno es usar la unidad círculo.

Una funcion Seno es definida con una monotonia creciente o decreciente, pero ello se ve variado dependiendo de el tipo de datos que se tienen para colocar en la grafica.

Ejemplo

Graficar la funcion f(x) = sen(x) - 2

función coseno

Dominio

Imagen

Simetría

El dominio de la función y = cos x es todos los números reales (el coseno está definido para cualquier medida de ángulo), el rango es −1 ≤ y ≤ 1.

el rango es −1 ≤ y ≤ 1.

Es par, pués cos(-x)=cos(x)\,

Monitonía

Tipo de función

Gráfica

La función coseno de un ángulo α es una función trigonométrica cuya fórmula se define como la razón entre el cateto contiguo (o adyacente) y la hipotenusa de un triángulo rectángulo (triángulo con un ángulo recto)

Una función Coseo es monótona creciente y decreciente debido a que sus rectas estan en ambas dirreciones tanto para la parte superio como para la inferior.

Ejemplo

¿Cuál es la ecuación de la siguiente función coseno?Observamos las siguientes características en la gráfica de la función: La gráfica es la mitad de alta de la gráfica original. Esto significa que A=\frac{1}{2}. El periodo de la gráfica es π, lo que significa que el parámetro B debe ser 2. No hay ninguna traslación horizontal, por lo que C debe ser 0. La línea media es y=-1, por lo que D es igual a -1. Usando esto, concluimos que la ecuación de esta función es: y=1/2cos(2x)-1

función tangente

Dominio

Imagen

Simetría

El dominio de la función y = tan x es todos los números reales except o los valores donde el cos x es igual a 0, esto es, los valores para todos los enteros n . El rango de la función tangente es todos los números reales.

El rango de la función es y ≤ −1 o y ≥ 1.

La gráfica de una función Tangente, Es impar, pués tg(-x)=-tg(x)\,

Monitonía

Tipo de función

Gráfica

En el tema anterior relacionamos las derivadas con la pendiente de las rectas tangentes a la gráfica descrita por la función, es decir, f '(x0) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica f(x) en x=x0

En el tema anterior relacionamos las derivadas con la pendiente de las rectas tangentes a la gráfica descrita por la función, es decir, f '(x0) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica f(x) en x=x0

Ejemplo

Si es que tenemos la función y=2tan(1/2x-1)-1, ¿cuál es su gráfica?