PRESENTACION SOLIDOS PLATONICOS.

PRESETACION

Solidos Platonicos

POLIEDROS. CUERPOS GEOMETRICOS

INTRODUCCION

GEOMETRIA

Procede del latín geometrĭa, y a su vez del griego γεωμετρία, formada por los términos γεω (gueo, ‘tierra’) y μετρία (metría, ‘medida’). Significa literalmente, "Medición de la tierra".

La geometría es una rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las figuras en un plano o espacio. Así, analiza sus características y medidas como el perímetro, área y volumen.Esta disciplina se encarga de estudiar, por ejemplo, los polígonos que son figuras bidimensionales constituidas por varios segmentos consecutivos no colineales, formando un espacio cerrado.Otro objeto de estudio de la geometría son los poliedros, aquellas figuras tridimensionales formadas por diversas caras que son, a su vez, polígonos.Otos elementos de estudio de la geometría son los planos, rectas (línea con infinitos puntos), semirrectas (porción de una recta que se extiende desde uno de sus puntos hacia el infinito), ángulos (arcos que se forman a partir de la unión de dos líneas), curvas (líneas que en algún punto cambian de dirección) y segmentos (porción de recta limitado por dos puntos, con un origen y un final).La geometría es una ciencia con muchas aplicaciones y sirve de base para otros campos de estudio como la física, la geografía, la arquitectura y la topografía (estudio de la superficie terrestre). Por ejemplo, nos sirve para calcular las medidas de determinados espacios o construcciones.

HISTORIA

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente, formaba un conjunto de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. Mucho antes de que quedara relegada al papel, se ocupaba de la medición de los terrenos, una practica que hoy en dia denominamos agrimensura. En la geometría se encuentran la medición y construcción de edificios y la determinación de las lindes que separan las tierras de una persona de las de otra. en un nivel mas elevado esta ciencia distingue entre los dominios de lo sagrado y lo profano.La civilización babilónica fue una de las primeras culturas en incorporar el estudio de la geometría. La invención de la rueda abrió el camino al estudio de la circunferencia y posteriormente al descubrimiento del número π (pi); También desarrollaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada año cuenta con 365 días, además aplicaron una fórmula para calcular el área del trapecio rectángulo.En el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática y constructiva,3​ tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en Los Elementos de Euclides. El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra de ecuaciones y la geometría analítica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones.

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POLIEDROS

Los poliedros se divides en estos tipos:

SOLIDOS PLATONICOS

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INTRODUCCION

Los sólidos platónicos, regulares o perfectos son poliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son iguales. Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 a. C./428 a. C.-347 a. C.), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como cuerpos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón, o sobre la base de propiedades geométricas, poliedros regulares convexos. Se le atribuye a Teeteto la formulación de la teoría general de los poliedros regulares, matemático contemporáneo de Platón. Están gobernados por la fórmula: V+C = A+2 Donde V es el número de vértices; C, número de caras y A, número de aristas, que fue descubierta por el matemático Leonhard Euler. Los sólidos platónicos son: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los cinco anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.

HISTORIA

El origen de los sólidos platónicos como elemento para ser estudiado por las matemáticas se halla sin duda, en la antigua Grecia. Son los griegos quienes por primera vez entienden que esos poliedros han de ser estudiados. Sin embargo para que cualquier cultura se plantee estudiar algo en un determinado momento de su historia, tienen que conocerlo con anterioridad, e incluso, con mucha anterioridad. Y este es, en concreto, el caso de los sólidos platónicos. La primera noticia que se conoce sobre estos poliedros, procede de un yacimiento neolítico en Escocia, donde se encontraron figuras de barro de aproximadamente 2000 a.C. Se cree que se trataba de elementos decorativos o, tal vez, de algún tipo de juego. Es evidente que no había ninguna comprensión matemática de estos objetos, pero ya tenían identificados exactamente los cinco sólidos. Es probable que tampoco se preguntasen si había más sólidos o, en todo caso, era algo que no les preocupaba lo suficiente como para estudiarlo a conciencia.

EL ORIGEN DE LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS

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Se desconoce con exactitud desde cuándo eran conocidas las propiedades de estos poliedros; hay referencias a unas bolas neolíticas (fechadas hacia 2000 a. C.) de piedra labrada encontradas en Escocia.Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que solo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos. Timeo de Locri, en el diálogo de Platón, asocia al fuego con el tetraedro; al aire, con el octaedro; al agua, con el icosaedro; a la tierra, con el cubo; e indica que como aún es posible una quinta forma (que sería el dodecaedro), Dios ha utilizado esta para el universo. Una descripción detallada de los sólidos platónicos figura en Los elementos, de Euclides.

Asociacion con los elementos de la naturaleza

• TETREDRO: FUEGO

• CUBO: TIERRA

• OCTAEDRO: AIRE

• ICOSAEDRO: AGUA

• DODECAEDRO: ETER

Propiedades básicas comunes

• Todas las caras son polígonos regulares iguales.• Todos los ángulos (diedros) son iguales.• Todas las aristas tienen la misma longitud. • En todos los vértices concurren el mismo número de caras y de aristas. Otros resultados: • Sólo existen cinco poliedros regulares y son los expuestos anteriormente. • Como son poliedros convexos, cumplen la ecuación del teorema de Euler que relaciona el número de caras (c), de aristas (a) y de vértices (v):

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CARACTERISTICAS

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TETRAEDRO

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CUBO

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VERTICE

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ES UN PUNTO DONDE SE UNEN VARIAS DINEAS

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OCTAEDRO

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DODECAEDRO

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ICOSAEDRO

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DUALIDAD

Dualidad entre poliedros

La primera idea que nos puede venir a la cabeza al pensar en dualidad de poliedros es que vamos a emparejar poliedros, a formar parejas a partir de alguna de sus propiedades.Ya hemos destacado que se produce un cambio fundamental en la visión que tenemos de los poliedros con los trabajos de Leonard Euler (1707-1783).Euler se fijó en propiedades de los poliedros que no tienen que ver con las medidas (de los lados, de los ángulos, etc.).Consideró que los elementos fundamentales de un poliedro eran sus caras (de dimensión 2), sus aristas (de dimensión 1) y sus vértices (puntos, de dimensión 0).A partir del recuento de estos elementos vamos a ver cómo se pueden formar parejas de poliedros duales.En las siguientes imágenes hacemos un repaso del recuento de caras, aristas y vértices de los poliedros platónicos.

Podemos formar parejas de poliedros que llamamos duales si nos fijamos que hay parejas de poliedros que intercambian el número de caras y vértices y tienen el mismo número de aristas.Las parejas de poliedros duales intercambian el número de vértices y de caras.Esto nos sugiere un modo de construir un poliedro dual de uno dado: Se toma un punto arbitrario en cada cara del poliedro que serán los vértices del poliedro dual. Se trazan las aristas entre cada par de vértices que estén en caras contiguas del poliedro original. Cada cara del poliedro dual se corresponde con un vértice del original.En el caso particular de los sólidos platónicos tomamos el punto central de cada cara (el circuncentro) para formar el poliedro dual y así obtendremos otro sólido platónico.

El dual de un tetraedro es otro tetraedroUn tetraedro tiene 4 caras y 4 vértices. Por lo tanto, su poliedro dual (intercambiando caras con vértices) tiene 4 caras y 4 vértices, es decir, es otro tetraedro C= 4 A= 6 V= 4 En una pareja de poliedros duales, cada cara se corresponde con un vértice del otro (y viceversa).Para construir el poliedro dual del tetraedro señalamos el centro de cada cara. Estos puntos serán los vértices de su poliedro dual que resulta ser otro tetraedro. Esta construcción ya nos la mostró Kepler (1571-1630):

El cubo y el octaedro son poliedros dualesSi contamos las caras, aristas y vértices del cubo obtenemos: C=6 A=12 V=8Si contamos las caras, aristas y vértices del octaedro obtenemos octaedro C=8 A=12 V=6 Se intercambian las caras y los vértices y ambos poliedros tienen el mismo número de aristas.El cubo y el octaedro son poliedros duales. Podemos colocar un octaedro dentro de un cubo con cada vértice del octaedro en el centro de una cara del cubo. Así nos lo mostró Kepler:

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Contar las caras, aristas y vértices del icosaedro y del dodecaedro es un poco más complicado pues tienen más elementos.Si contamos las caras, aristas y vértices del icosaedro obtenemos: C= 20 A= 30 V= 12 Si contamos las caras, aristas y vértices del dodecaedro obtenemos: C= 12 A= 30 V= 20 El icosaedro y el dodecaedro intercambian el número de caras y vértices y tienen el mismo número de aristas.Por tanto, el icosaedro y el dodecaedro son poliedros duales. Esta es una ilustración de Kepler:

Sólidos platónicos en la naturaleza

Construccón de los Sólidos platónicos

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