ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΛΛΕΙΨΗ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

ΕΛΛΕΙΨΗ

Κ.Ν.ΣΩΤΗΡΙΑΔΗΣ

NEXT

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Ι

ΕΛΛΕΙΨΗ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΛΛΕΙΨΗΣ ΙΙ

ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σ/Λ

ΤΕΛΟΣ

11

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ

10

NEXT

Menu

Έλλειψη

Ορισμός Έστω Ε και Ε’ δύο σημεία του επιπέδου , θα ονομάζουμε έλλειψη , τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα Ε και Ε’ είναι σταθερό και μεγαλύτερο των ΕΕ’.Δηλ: (ΜΕ) + (ΜΕ’) = σταθερό και (ΜΕ)+(ΜΕ’) > (ΕΕ’).

NEXT

Menu

Στοιχεία της Έλλειψης

• Τα σημεία Ε και Ε’ ονομάζονται εστίες της έλλειψης.
• Η απόσταση (ΕΕ’) ονομάζεται εστιακή απόσταση και συμβολίζεται με 2γ. Δηλ. (ΕΕ’)=2γ.
• Η απόσταση (ΜΕ)+(ΜΕ’) συμβολίζεται με 2α. Δηλ. (ΜΕ)+(ΜΕ’) =2α.
• Αφού (ΜΕ)+(ΜΕ’) > (ΕΕ’) άρα 2α>2γ  α>γ

NEXT

Menu

Εξίσωση Έλλειψης I

Η έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε’(- γ,0) και Ε(γ,0) πάνω στον xx’ και με σταθερό άθροισμα 2α, έχει εξίσωση :

• Το σημείο Ο ονομάζεται κέντρο της έλλειψης.
• Τα σημεία Α, Α’ , Β , Β’ ονομάζονται κορυφές της έλλειψης.
• Το τμήμα Α’Α δηλ. το 2α ονομάζεται μεγάλος άξονας της έλλειψης.
• Το τμήμα Β’Β δηλ. το 2β ονομάζεται μικρός άξονας της έλλειψης.

NEXT

Menu

Εξίσωση Έλλειψης II

Η έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε’(0, - γ) και Ε(0,γ) πάνω στον yy’ και με σταθερό άθροισμα 2α, έχει εξίσωση :

NEXT

Menu

NEXT

Ιδιότητες της Έλλειψης

Σχήμα 1

• Αν το σημείο Μ1(x,y) βρίσκεται πάνω στην έλλειψη, τότε θα βρίσκεται πάνω του και το Μ2(x,-y), Μ3(-x,y) , Μ4(-x,-y). Δηλαδή ο άξονας xx’ και ο άξονας yy’ είναι άξονες συμμετρίας και η αρχή των αξόνων είναι κέντρο συμμετρίας.
• Η έλλειψη με εστίες στον xx' τέμνει των xx’ στα Α(α,0) και Α’(-α,0) ενώ τον yy’ στα Β(0,β) και Β’(0,-β) ενώ το x παίρνει τιμές -α ≤ x ≤ α και το y -β ≤ y ≤ β. (Σχήμα 1)
• Η έλλειψη με εστίες στον yy' τέμνει των xx’ στα Β(β,0) και Β’(-β,0) ενώ τον yy’ στα Α(0,α) και Α’(0,-α) ενώ το x παίρνει τιμές -β ≤ x ≤ β και το y -α ≤ y ≤ α. (Σχήμα 2)
• Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει οποιαδήποτε συμμετρικά σημεία της έλλειψης ως προς την αρχή των αξόνων (Μ1Μ4) ονομάζεται διάμετρος της έλλειψης.
• Η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες x=α, x=-α, y=β, y=-β.

Σχήμα 2

Menu

Εκκεντρότητα Έλλειψης

NEXT

Menu

Εξίσωση Εφαπτομένης της Έλλειψης

NEXT

Menu

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις.

1. Έστω Ε’ και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζεται έλλειψη με εστίες Ε΄ και Ε ο ________________ των σημείων του επιπέδου των οποίο το _____________ των αποστάσεων από τα Ε και Ε΄ είναι σταθερό και ίσο με __________________.2. Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες Ε΄(0,-γ) και Ε(0,γ) και σταθερό άθροισμα 2α είναι : __________________, όπου _______________..3. Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες Ε΄(-γ,0) και Ε(γ,0) και σταθερό άθροισμα 2α είναι : __________________, όπου _______________..4. Η έλλειψη έχει άξονες συμμετρίας _________ και κέντρο συμμετρίας ______.5. Η έλλειψη έχει κορυφές τα σημεία _______, _______, _______, _______ , μεγάλο άξονα το τμήμα _______ και μικρό άξονα το τμήμα _______.6. Η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες _______ , _______ και _______, _______.7. Η εκκεντρότητα της έλλειψης ορίζεται ως __________ .8. Αν ε η εκκεντρότητα τότε ο λόγος __________.9. Οι ελλείψεις που έχουν ίδια εκκεντρότητα λέγονται ______________.10. Η εξίσωση εφαπτομένης σε έλλειψη στο σημείο Μ1(x1,y1) έχει εξίσωση _______________.11. Η εξίσωση εφαπτομένης σε έλλειψη στο σημείο Μ1(x1,y1) έχει εξίσωση ________________12. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει οποιαδήποτε συμμετρικά σημεία της έλλειψης ως προς την αρχή των αξόνων ονομάζεται __________________ .

NEXT

Menu

NEXT

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α' ΟΜΑΔΑΣ

Menu

ΛΥΣΗ (i)

ΛΥΣΗ (ii)

ΛΥΣΗ (iii)

ΛΥΣΗ (iv)

ΛΥΣΗ (v)

NEXT

Menu

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α' ΟΜΑΔΑΣ

ΛΥΣΗ (ii)

ΛΥΣΗ (i)

NEXT

Menu

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α' ΟΜΑΔΑΣ

ΛΥΣΗ (i)

ΛΥΣΗ (ii)

ΛΥΣΗ (iii)

NEXT

The End!!!

Menu

Κ.Ν.ΣΩΤΗΡΙΑΔΗΣ