ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

ΠΑΡΑΒΟΛΗ

Κ.Ν.ΣΩΤΗΡΙΑΔΗΣ

NEXT

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 1

ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 1Ι

ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σ/Λ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ

ΤΕΛΟΣ

11

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΟΜΑΔΑΣ

10

NEXT

Menu

(ME)=(MΡ)

ΠΑΡΑΒΟΛΗ

Αν Α η προβολή της εστίας Ε στη διευθετούσα δ, τότε το μέσο Κ λέγεται κορυφή της παραβολής

Ορισμός Έστω δ μια ευθεία και Ε ένα σημείο εκτός της δ, θα ονομάζουμε παραβολή , τον γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη δ. Το σημείο Ε θα λέγεται εστία και η ευθεία δ θα λέγεται διευθετούσα .

NEXT

Menu

Εξίσωση Παραβολής I

Η παραβολή με Εστία Ε πάνω στον xx’ και κορυφή την αρχή των αξόνων Ο(0,0) και διευθετούσα κάθετη στον xx’ , έχει εξίσωση: y2=2px. Με Εστία Ε(p/2,0) και διευθετούσα x=-p/2.

ο αριθμός p ονομάζεται παράμετρος της παραβολής , και η |p| παριστάνει την απόσταση της εστίας από την διευθετούσα.

NEXT

Menu

Εξίσωση Παραβολής II

Η παραβολή με Εστία Ε πάνω στον yy’ και κορυφή την αρχή των αξόνων Ο(0,0) και διευθετούσα κάθετη στον yy’ , έχει εξίσωση : x2=2py. Με Εστία Ε(0,p/2) και διευθετούσα y=-p/2.

ο αριθμός p ονομάζεται παράμετρος της παραβολής , και η |p| παριστάνει την απόσταση της εστίας από την διευθετούσα.

NEXT

Menu

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

• Η παραβολή βρίσκεται πάντα στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την διευθετούσα και την εστία.

• Αν το σημείο Μ1(x1,y1) βρίσκεται πάνω στην παραβολή y2=2px, τότε θα βρίσκεται πάνω του και το Μ2(x1,-y1). Δηλαδή ο άξονας xx’ είναι άξονας συμμετρίας και λέγεται άξονας της παραβολής.
• Αν το σημείο Μ1(x1,y1) βρίσκεται πάνω στην παραβολή x2=2py, τότε θα βρίσκεται πάνω του και το Μ2(-x1,y1). Δηλαδή ο άξονας yy’ είναι άξονας συμμετρίας και λέγεται άξονας της παραβολής.

NEXT

Menu

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

• Η εξίσωση εφαπτομένης σε παραβολή y2=2px στο σημείο Μ1(x1,y1) δίνεται από την εξίσωση : yy1=p(x+x1)
• Η εξίσωση εφαπτομένης σε παραβολή x2=2py στο σημείο Μ1(x1,y1) δίνεται από την εξίσωση : xx1=p(y+y1)

NEXT

Menu

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις.

1. Αν Α είναι η προβολή της Ε μιας παραβολής στη διευθετούσα της, τότε το μέσο Κ του ΕΑ λέγεται _____________________ της παραβολής.
2. Αν η παραβολή C έχει εστία το σημείο Ε( p/2,0) και διευθετούσα την δ: 2x+p=0 , τότε η C έχει εξίσωση _____________.
3. Η παραβολή x2=2py έχει εστία το σημείο ___________ και διευθετούσα την ευθεία _______________.
4. Η εξίσωση της εφαπτομένης στην παραβολή y2=2px στο σημείο Μ1(x1,y1) είναι ______________.
5. Η παραβολή y2=2px έχει άξονα συμμετρίας τον ___________.
6. Η παραβολή y2=2px βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την διευθετούσα και ___________ .
7. Η εξίσωση της εφαπτομένης στην παραβολή x2=2py στο σημείο Μ1(x1,y1) είναι _______________.
8. Η παραβολή x2=10y έχει εστία το σημείο ___________ και διευθετούσα την ευθεία _______________.
9. Η παραβολή y2=5x έχει εστία το σημείο ___________ και διευθετούσα την ευθεία _______________.
10. Στην παραβολή y2=2px ο αριθμός p ονομάζεται ____________ της παραβολής , και η _____________ παριστάνει την __________________ της εστίας από την διευθετούσα.

NEXT

Menu

NEXT

Menu

NEXT

Menu

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α' ΟΜΑΔΑΣ

Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα x'x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Όταν έχει εστία το σημείο E( -1,0) (ii) Όταν έχει διευθετούσα την ευθεία x= 1/2 (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο A(1,2)

ΛΥΣΗ (i)

ΛΥΣΗ (ii)

ΛΥΣΗ (iii)

NEXT

Menu

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α' ΟΜΑΔΑΣ

Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής με εξίσωση:

ΛΥΣΗ (ii)

ΛΥΣΗ (i)

ΛΥΣΗ (iii)

ΛΥΣΗ (iv)

ΛΥΣΗ (v)

ΛΥΣΗ (vi)

NEXT

Menu

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α' ΟΜΑΔΑΣ

Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β της παραβολής y= 1/4 x2 , που έχουν την ίδια τεταγμένη και ισχύει AOB=90o.

ΛΥΣΗ

NEXT

Menu

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α' ΟΜΑΔΑΣ

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y= 1/4 x2 σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία y=x+1 (ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία y= -2x (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο A(0, -1) .

ΛΥΣΗ (i)

ΛΥΣΗ (ii)

ΛΥΣΗ (iii)

NEXT

Menu

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α' ΟΜΑΔΑΣ

Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής y= 1/4 x2 στα σημεία A(4,4) και B(-1,1/4) τέμνονται κάθετα και πάνω στη διευθετούσα της.

ΛΥΣΗ

NEXT

Menu

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ B' ΟΜΑΔΑΣ

Να αποδειχτεί ότι ο κύκλος (x-3)2+y2=8 εφάπτεται της παραβολής y2=4x (Δηλαδή , έχουν τις ίδιες εφαπτόμενες στα κοινά σημεία τους.)

ΛΥΣΗ (iii)

NEXT

Menu

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ B' ΟΜΑΔΑΣ

Έστω η παραβολή y2=12x. Αν η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Α(1,2r3) τέμνει τον άξονα x′x στο σημείο Β , να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισόπλευρο.

ΛΥΣΗ (iii)

NEXT

The End!!!

Menu

Κ.Ν.ΣΩΤΗΡΙΑΔΗΣ