LZH SÜ10: Quadratische und andere Gleichungen

Vorbereitung SÜ10 LZH:

Quadratische Gleichungen et al.

Quadratische Gleichungen

Wie bei linearen Gleichungen gilt im Grunde auch bei quadratischen Gleichungen das Prinzip des Rückwärtsrechnens, um sie zu Lösen. Da „hoch 2“ mit der Quadratwurzel rückgängig gemacht wird und hierbei drei Dinge passieren können, gibt es drei Varianten, was die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen betrifft: • es existiert keine Lösung (Wurzel aus negativer Zahl) • es existiert eine Lösung (Wurzel aus Null) • es existieren zwei Lösungen (Wurzel aus positiver Zahl) Da der Radikand der Wurzel so wichtig für die Anzahl der Lösungen ist, hat er einen eigenen Namen: Diskriminante.

Je nach Typ unterscheidet man verschiedene Lösungsstrategien für quadratische Gleichungen:

• Typ 1: Variable nur an einer Stelle:Diese Gleichungen werden wie lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen gelöst.Bsp.: 4x² - 12 = 0 oder 2(x + 1)² = 8
• Typ 2: Ein Produkt ist Null...... wenn einer der Faktoren Null ist. Es werden also die einzelnen Faktoren gleich Null gesetzt. Die Lösungen dieser Gleichungen ergeben zusammen die Lösungsmenge der Ausgangsgleicchung.Bsp.: (x + 3)(x - 2) = 0 oder 5x(x + 8) = 0
• Typ 3: Lösungsformeln:In allen anderen Fällen kann die quadratiche Gleichung mit der pq-Formel oder der abc-Formel gelöst werden:

pq-Formel (Vor.: x² + px + q = 0): abc-Formel (Vor.: ax² + bx + c = 0): Bsp.: 2x² -8x = 10

• Typ 3 BONUSWISSEN:Falls in der Gleichung kein q bzw. c vorkommt, kann die Gleichung schnell mittels Ausklammern in Typ 2 umgewandelt werden.Bsp.: 4x² - 2x = 0 oder -x² - 9x = 0

Aufgaben (MIT TR)

3. Gib eine Gleichungmit der folgendenLösungsmenge an: a) L = {3; -4} b) L = {0; 8} 4. Löse die Gleicchungen. a) (x + 4)² = 25 b) (x + 1)(x - 2) = 0 c) -7x² = 49 d) -2(x - 5)² = -30

Lösungen:

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Wurzel- und Bruchgleichungen

Man spricht von einer Wurzelgleichung, wenn die Variable im Radikanden auftritt. Beispiel: DIe Wurzel muss auf einer Seite isoliert und dann durch Quadrieren aufgelöst werden. Schließlich muss durch Einsetzen über- prüft werden, ob die berechneten Lösungen auch für die ursprüngliche Gleichung gültig sind (es kann nämlich passieren, dass der Radikand negativ wird, oder die Gleichung einfach nicht gelöst wird). Probe: Somit hat die ursprüngliche Gleichung nur die Lösung x = -5.

Bei Bruchgleichungen kommt die Variable im Nenner vor. Die aus der Geometrie bekannten Verhältnisgleichungen sind oft ein Spezialfall hiervon. Um eine Bruchgleichung zu lösen, multipliziert man sie mit dem Nenner (bzw. den Nennern, falls die Variable in mehreren Nennern vorkommt). Vorher versucht man natürlich, Brüche mit gleichem Nenner zusammenzufassen. Beispiel 1: Beispiel 2: Wie auch bei Wurzelgleichungen muss geprüft werden, ob die Lösungen im Definitionsbereich der Gleichung liegen, d.h. ob nichts Verbotenes passiert (bei Brüchen wäre das eine Division durch Null). ACHTUNG: Der Trick mit dem Kehrwert ist meist nur sinnvoll, wenn die Variable nirgendwo im Zähler steht.

Aufgaben (OHNE TR)

6. Löse die folgenden Verhältnisgleichungen. Denke an den Definitionsbereich, falls nötig .

5. Löse die Wurzelgleichungen. Denke an die Probe.

7. Löse die folgenden Bruchgleichungen. Denke an den Definitionsbereich.

Lösungen:

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