Ma 09 Pythagoras Einführung gesamt

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Pythagoras

und seine Pythagoräer

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Wenn nicht ich,wer dann??

Du willst also in den Kreis der edlen Pythagoräer - meiner Schüler - aufgenommen werden?Wir werden sehen, ob du würdig bist..."

Als Belohnung erhältst du nach jeder Prüfung ein Symbol, bewahre es gut auf!

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Ich bin so was von bereit!

Vier Prüfungen erwarten dich, lies meine Erklärungen und Anweisungen immer genau durch!

Klicke auf das Dreieck, dann erkläre ich dir ein paar wichtige Begriffe!

genauer gesagt: rechtwinklige Dreiecke

Lass uns zuerst mit etwas einfachem beginnen:

Dreiecke

Nach Prüfung 3

Nach Prüfung 2

Nach Prüfung 1

Anfang

80%

Ich möchte von vorne anfangen

Da bist du ja wieder... klicke auf das nächste Symbol, dass du erarbeiten möchtest.

Hypotenuse

Kathete

Kathete

OK, ich hab´s verstanden!

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten

Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt Hypotenuse

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Ich hab das Arbeitsblatt ergänzt!

Ergänze Punkt 1 auf deinem Arbeitsblatt

Hypotenuse

Kathete

Kathete

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten

Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt Hypotenuse

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Na klar!

Warte mal kurz, zeig mir nochmal die Begriffe!

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1. Prüfung?

Bereit für deine

Warte mal kurz, zeig mir nochmal die Begriffe!

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Benenne die Seiten richtig, klicke auf mich, um deine Lösung zu überprüfen

Du hast mich beeindruckt - zumindest ein bisschen.Versuchen wir es mit ein paar weiteren Beispielen

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal!

1. Prüfung

Benenne die Seiten richtig, klicke auf mich, um deine Lösung zu überprüfen.Schreibe H oder K in die Kästchen

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Sehr gut gemacht, die Benennung im rechtwinkligen Dreieck sollte jetzt also klar sein.

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal!

1. Prüfung

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Klasse, vielen Dank!

Du hast deine erste Prüfung bestanden, du erhältst dein erstes Symbol

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Alles klar, kann losgehen!

Jetzt zeige ich dir, was an diesen rechtwinkligen Dreiecken so besonders ist!

Das ist ja schon mal ein cooler Trick - aber es wird noch besser!

Und automatisch rechtwinklig ist!

Das ist übrigens mein Lieblings-Dreieck, weil es die Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm hat.

Ich habe hier mal ein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet.

Jetzt bin ich aber gespannt...

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Bestimmt kannst du die Flächeninhalte der drei Quadrate ausrechnen....

Bewege einfach die drei Schiebregler

Wir zeichnen über jede der drei Seiten ein Quadrat.

OK, wir erweitern unsere Zeichnung:

Ähm, also... ja klar!

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Gib nur die Zahlen ein, die Einheiten lassen wir noch weg.

Die Fläche eines Quadrats ist die Seitenlänge hoch zwei...!Versuch es nochmal!

So, dann zeig mal was du kannst...Mit einem Klick auf mich kannst du deine Lösung wieder überprüfen!

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Gut gemacht!Wir sind schon fast am Ziel!

Super, das war echt schon beeindruckend!Jetzt müssen wir nur noch überlegen, ob das für jedes rechtwinklige Dreieck gilt!

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und allgemein ...

und den Seiten ...

c2

b2

a2

Quadrat über Hypotenuse

Quadrat über Kathete 2

Quadrat über Kathete 1

16

25

oder ganz kurz:

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also:

Sicher kannst du einen Zusammenhang zwischen den Zahlen finden...!

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Quelle: https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml

Bewege den grünen Schiebregler, du kannst auch das Dreieck verändern, wenn du den Punkt C bewegst.Fülle das weiße Quadrat, bewege dazu die Stücke an den orangen Punkten.

Bei diesem Dreieck kannst du alle Ecken bewegen, der Winkel bei C ist immer 90°.Überprüfe, ob die Flächen der Quadrate über den Katheten zusammen die Fläche über der Hypotenuse ergeben:

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Diesen Zusammenhang nennt man den "Satz des Pythagoras"

Hypotenuse zum Quadrat

Kathete 2 zum Quadrat

Klasse, bin ich jetzt dabei?

Kathete 1 zum Quadrat

Wir haben jetzt also herausgefunden, dass bei allen rechtwinkligen Dreiecken gilt:

Kein Problem, ich bin bereit.

Bevor du in den Bund der Pythagoräer aufgenommen wirst, erwartet dich die nächste Prüfung!

2. Prüfung

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Welcher Winkel hat dann 90° ?

Das stimmt natürlich nur, wenn c die Hypotenuse ist.

angegeben.

a2 + b2 = c2

Meist wird der Satz des Pythagoras in der Form

Alles klar, ich probier es nochmal

Hier siehtst du ein beschriftetes Dreieck (kein rechtwinkliges, aber es geht ja nur um die Beschriftung):

Upsi, das war leider falsch!

Klicke wieder auf mich, um deine Lösung zu überprüfen.

Super gemacht!Jetzt wollen wir noch ein bisschen rechnen!

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Versuch es nochmal.Ordne die Katheten nach dem Alphabet.

Tipp 2

Tipp 2

Tipp 1

Tipp 1

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2. Prüfung

Formuliere jetzt den Satz des Pythagoras für folgende Dreiecke:

Das war schon mal nicht schlecht.

2 + 2 = 2

2 + 2 = 2

Ich hab das Arbeitsblatt ergänzt!

Ergänze Punkt 2 auf deinem Arbeitsblatt

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2. Prüfung

Formuliere jetzt den Satz des Pythagoras für folgende Dreiecke:

Das war schon mal nicht schlecht.

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Klasse, vielen Dank!

Gratulation zur zweiten bestandenen Prüfung, hier deine Belohnung:

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Genau, gut gemacht.Jetzt müssen wir nur noch das "hoch 2" verschwinden lassen...

Setze die richtigen Zahlen ein, klicke dann wieder auf mich.

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Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Wir wissen ja:

2 + 2 = (Hypotenuse)2

also:

(Kathete 1)2 + (Kathete 2)2 = (Hypotenuse)2

Gesucht: Hypotenuse

Gegeben: Kathete 1 = 5 cm, Kathete 2 = 6 cm

1. Fall: Die Hypotenuse ist gesucht:

Wenn jetzt in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seiten bekannt sind, kann man die dritte Seite mit Hilfe des "Satzes von Pythagoras" berechen.

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Tippe die komplette linke Seite in den Taschenrechner ein, runde auf zwei Nachkommastellen.Klicke dann wieder auf mich.

(cm)

Das darf man ja nur bei "mal" und "geteilt".

Ganz, ganz, gaaaaaaaaanz wichtig ist hier, dass man über die komplette linke Seite die Wurzel schreibt und nicht aus beiden Zahlen einzeln die Wurzel zieht.

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Wir wissen ja:

also:

(Kathete 1)2 + (Kathete 2)2 = (Hypotenuse)2

Gesucht: Hypotenuse

Gegeben: Kathete 1 = 5 cm, Kathete 2 = 6 cm

1. Fall: Die Hypotenuse ist gesucht:

Um das "hoch 2" verschwinden zu lassen, müssen wir die Wurzel ziehen!

Zurück

Klicke dann wieder auf mich, um deine Lösung zu überprüfen.

Gut gemacht!

Weiter

Stelle erst die Gleichung auf:

2 + 2 = 2

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Du hast es sicher schon vermutet -die dritte Prüfung steht an!

3. Prüfung

Das erste Dreieck machen wir noch gemeinsam:

Ziehe jetzt die Wurzel, welche Gleichung entsteht?

Stelle erst die Gleichung auf:

42 + 8,5 2 = a 2

Du hast es sicher schon vermutet -die dritte Prüfung steht an!

3. Prüfung

Zurück

Das erste Dreieck machen wir noch gemeinsam:

Zurück

Zurück

Das war leider falsch, du darfst nicht einzeln die Wurzel ziehen!

Ziehe jetzt die Wurzel, welche Gleichung entsteht?

Stelle erst die Gleichung auf:

42 + 8,5 2 = a 2

Du hast es sicher schon vermutet -die dritte Prüfung steht an!

3. Prüfung

Das erste Dreieck machen wir noch gemeinsam:

Zurück

Passwort

Super, gib das Ergebnis (auf zwei Stellen gerundet) als Passwort ein.

Ziehe jetzt die Wurzel, welche Gleichung entsteht?

Stelle erst die Gleichung auf:

42 + 8,5 2 = a 2

Du hast es sicher schon vermutet -die dritte Prüfung steht an!

3. Prüfung

Das erste Dreieck machen wir noch gemeinsam:

Zurück

Berechne jeweils die Hypotenuse, runde auf zwei Nachkommastellen.Klick wieder auf mich um deine Lösung zu überprüfen.

Gut gemacht!

Weiter

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Jetzt kannst du es sicher schon alleine:

3. Prüfung

Zurück

Klasse, vielen Dank!

Nur noch eine Prüfung erwartet dich, hier dein drittes Symbol

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Ja, genau.Aber bevor wir jetzt die Wurzel ziehen, muss die unbekannte Strecke alleine stehen.

Aber erst mal von Anfang an:

Ist eine der beiden Katheten gesucht, muss man nur vor dem Wurzelziehen umformen.

Setze die richtigen Zahlen ein, klicke dann wieder auf mich.

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Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Wieder gilt:

2 + (Kathete 2) 2 = 2

also:

(Kathete 1)2 + (Kathete 2)2 = (Hypotenuse)2

Gesucht: Kathete 2

Gegeben: Kathete 1 = 5 cm, Hypotenuse = 7 cm

2. Fall: Eine Kathete ist gesucht:

Kathete 2 = (cm)

(Kathete 2)2 = 7 2 - 5 2

(Kathete 2)2 = 7 2 - 5 2

-5 2

Und dann können wir die Wurzel ziehen.

Wir rechnen also erst mal auf beiden Seiten -5 2

Das stimmt leider noch nicht, achte auf das richtige Runden

Berechne die Länge der gesuchten Kathete (auf zwei Nachkommastellen gerundet) und klicke dann wieder auf mich.

Zurück

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2. Fall: Eine Kathete ist gesucht:

Immer her mit den Aufgaben...

(Hypotenuse) 2 - (Kathete) 2 und dann die Wurzel davon.

Wenn eine Kathete gesucht ist, rechnen wir also immer:

Bist du jetzt bereit für deine letzte Prüfung?

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2. Fall: Eine Kathete ist gesucht:

Zurück

Berechne jeweils die Kathete, runde auf zwei Nachkommastellen.Klick wieder auf mich um deine Lösung zu überprüfen.

Gut gemacht!

Weiter

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Viel Erfolg bei deiner letzten Prüfung:

4. Prüfung

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Klasse, vielen Dank!

Nun hast du alle Prüfungen bestanden, hier ist dein letztes Symbol

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Du hast nun alles, was nötig ist, um meine geheimen Räume zu betreten.

und wehe, du erwähnst irgendwas von diesen irrationalen Zahlen...

Unterricht ist jeden Tag von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang

und auch Bohnen sind absolut tabu.

Wir sind hier alle Vegetarier

Ach ja, bevor ich es vergesse:

Im Kreis meiner Schüler

Herzlich Willkommmen