Ma 09 Pythagoras Einführung gesamt

Pythagoras

und seine Pythagoräer

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WEiter

Du willst also in den Kreis der edlen Pythagoräer - meiner Schüler - aufgenommen werden?Wir werden sehen, ob du würdig bist..."

Wenn nicht ich, wer dann??

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Vier Prüfungen erwarten dich, lies meine Erklärungen und Anweisungen immer genau durch!

Ich bin so was von bereit!

Als Belohnung erhältst du nach jeder Prüfung ein Symbol, bewahre es gut auf!

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Lass uns zuerst mit etwas einfachem beginnen:

Dreiecke

genauer gesagt: rechtwinklige Dreiecke

Klicke auf das Dreieck, dann erkläre ich dir ein paar wichtige Begriffe!

Da bist du ja wieder... klicke auf das nächste Symbol, dass du erarbeiten möchtest.

Nach Prüfung 2

Anfang

Nach Prüfung 3

Nach Prüfung 1

Ich möchte von vorne anfangen

80%

Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt Hypotenuse

Kathete

Kathete

Hypotenuse

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten

OK, ich hab´s verstanden!

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Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt Hypotenuse

Kathete

Kathete

Hypotenuse

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten

Ich hab das Arbeitsblatt ergänzt!

Ergänze Punkt 1 auf deinem Arbeitsblatt

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Bereit für deine

1. Prüfung?

Na klar!

Warte mal kurz, zeig mir nochmal die Begriffe!

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1. Prüfung

Benenne die Seiten richtig, klicke auf mich, um deine Lösung zu überprüfen

Du hast mich beeindruckt - zumindest ein bisschen. Versuchen wir es mit ein paar weiteren Beispielen

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal!

Warte mal kurz, zeig mir nochmal die Begriffe!

Zurück

1. Prüfung

Benenne die Seiten richtig, klicke auf mich, um deine Lösung zu überprüfen.Schreibe H oder K in die Kästchen

Sehr gut gemacht, die Benennung im rechtwinkligen Dreieck sollte jetzt also klar sein.

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal!

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Du hast deine erste Prüfung bestanden, du erhältst dein erstes Symbol

Klasse, vielen Dank!

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Jetzt zeige ich dir, was an diesen rechtwinkligen Dreiecken so besonders ist!

Alles klar, kann losgehen!

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Das ist ja schon mal ein cooler Trick - aber es wird noch besser!

Ich habe hier mal ein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet.

Das ist übrigens mein Lieblings-Dreieck, weil es die Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm hat.

Jetzt bin ich aber gespannt...

Und automatisch rechtwinklig ist!

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OK, wir erweitern unsere Zeichnung:

Wir zeichnen über jede der drei Seiten ein Quadrat.

Ähm, also... ja klar!

Bestimmt kannst du die Flächeninhalte der drei Quadrate ausrechnen....

Bewege einfach die drei Schiebregler

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So, dann zeig mal was du kannst...Mit einem Klick auf mich kannst du deine Lösung wieder überprüfen!

Die Fläche eines Quadrats ist die Seitenlänge hoch zwei...! Versuch es nochmal!

Gut gemacht! Wir sind schon fast am Ziel!

Gib nur die Zahlen ein, die Einheiten lassen wir noch weg.

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Sicher kannst du einen Zusammenhang zwischen den Zahlen finden...!

16

also:

25

Super, das war echt schon beeindruckend!Jetzt müssen wir nur noch überlegen, ob das für jedes rechtwinklige Dreieck gilt!

und den Seiten ...

Quadrat über Kathete 1

Quadrat über Kathete 2

oder ganz kurz:

Quadrat über Hypotenuse

und allgemein ...

c2

b2

a2

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Bei diesem Dreieck kannst du alle Ecken bewegen, der Winkel bei C ist immer 90°.Überprüfe, ob die Flächen der Quadrate über den Katheten zusammen die Fläche über der Hypotenuse ergeben:

Bewege den grünen Schiebregler, du kannst auch das Dreieck verändern, wenn du den Punkt C bewegst.Fülle das weiße Quadrat, bewege dazu die Stücke an den orangen Punkten.

Weiter

Quelle: https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml

Wir haben jetzt also herausgefunden, dass bei allen rechtwinkligen Dreiecken gilt:

Kathete 2 zum Quadrat

Hypotenuse zum Quadrat

Kathete 1 zum Quadrat

Klasse, bin ich jetzt dabei?

Diesen Zusammenhang nennt man den "Satz des Pythagoras"

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Bevor du in den Bund der Pythagoräer aufgenommen wirst, erwartet dich die nächste Prüfung!

Kein Problem, ich bin bereit.

Meist wird der Satz des Pythagoras in der Form

2. Prüfung

Welcher Winkel hat dann 90° ?

a2 + b2 = c2

angegeben.

Das stimmt natürlich nur, wenn c die Hypotenuse ist.

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Hier siehtst du ein beschriftetes Dreieck (kein rechtwinkliges, aber es geht ja nur um die Beschriftung):

Upsi, das war leider falsch!

Alles klar, ich probier es nochmal

2. Prüfung

Das war schon mal nicht schlecht.

Formuliere jetzt den Satz des Pythagoras für folgende Dreiecke:

Tipp 2

Tipp 1

Klicke wieder auf mich, um deine Lösung zu überprüfen.

2 + 2 = 2

Tipp 1

Tipp 2

2 + 2 = 2

Versuch es nochmal. Ordne die Katheten nach dem Alphabet.

Super gemacht! Jetzt wollen wir noch ein bisschen rechnen!

Weiter

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2. Prüfung

Das war schon mal nicht schlecht.

Formuliere jetzt den Satz des Pythagoras für folgende Dreiecke:

Ich hab das Arbeitsblatt ergänzt!

Ergänze Punkt 2 auf deinem Arbeitsblatt

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Gratulation zur zweiten bestandenen Prüfung, hier deine Belohnung:

Klasse, vielen Dank!

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Wenn jetzt in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seiten bekannt sind, kann man die dritte Seite mit Hilfe des "Satzes von Pythagoras" berechen.

1. Fall: Die Hypotenuse ist gesucht:

Gegeben: Kathete 1 = 5 cm, Kathete 2 = 6 cm

Gesucht: Hypotenuse

Wir wissen ja:

(Kathete 1)2 + (Kathete 2)2 = (Hypotenuse)2

Setze die richtigen Zahlen ein, klicke dann wieder auf mich.

also:

2 + 2 = (Hypotenuse)2

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Weiter

Genau, gut gemacht.Jetzt müssen wir nur noch das "hoch 2" verschwinden lassen...

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Um das "hoch 2" verschwinden zu lassen, müssen wir die Wurzel ziehen!

1. Fall: Die Hypotenuse ist gesucht:

Gegeben: Kathete 1 = 5 cm, Kathete 2 = 6 cm

Gesucht: Hypotenuse

Wir wissen ja:

Ganz, ganz, gaaaaaaaaanz wichtig ist hier, dass man über die komplette linke Seite die Wurzel schreibt und nicht aus beiden Zahlen einzeln die Wurzel zieht.

(Kathete 1)2 + (Kathete 2)2 = (Hypotenuse)2

also:

Das darf man ja nur bei "mal" und "geteilt".

(cm)

Tippe die komplette linke Seite in den Taschenrechner ein, runde auf zwei Nachkommastellen.Klicke dann wieder auf mich.

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Weiter

3. Prüfung

Du hast es sicher schon vermutet -die dritte Prüfung steht an!

Das erste Dreieck machen wir noch gemeinsam:

Stelle erst die Gleichung auf:

2 + 2 = 2

Klicke dann wieder auf mich, um deine Lösung zu überprüfen.

Weiter

Gut gemacht!

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

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3. Prüfung

Du hast es sicher schon vermutet -die dritte Prüfung steht an!

Das erste Dreieck machen wir noch gemeinsam:

Stelle erst die Gleichung auf:

42 + 8,5 2 = a 2

Ziehe jetzt die Wurzel, welche Gleichung entsteht?

Zurück

3. Prüfung

Du hast es sicher schon vermutet -die dritte Prüfung steht an!

Das erste Dreieck machen wir noch gemeinsam:

Stelle erst die Gleichung auf:

42 + 8,5 2 = a 2

Ziehe jetzt die Wurzel, welche Gleichung entsteht?

Das war leider falsch, du darfst nicht einzeln die Wurzel ziehen!

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3. Prüfung

Du hast es sicher schon vermutet -die dritte Prüfung steht an!

Das erste Dreieck machen wir noch gemeinsam:

Stelle erst die Gleichung auf:

42 + 8,5 2 = a 2

Ziehe jetzt die Wurzel, welche Gleichung entsteht?

Passwort

Super, gib das Ergebnis (auf zwei Stellen gerundet) als Passwort ein.

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Gib die Länge der Hypotenuse ein (auf zwei Nachkommastellen gerundet)

Länge der Hypotenuse (ohne Einheit)

Nur noch eine Prüfung erwartet dich, hier dein drittes Symbol

Klasse, vielen Dank!

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2. Fall: Eine Kathete ist gesucht:

Ist eine der beiden Katheten gesucht, muss man nur vor dem Wurzelziehen umformen.

Gegeben: Kathete 1 = 5 cm, Hypotenuse = 7 cm

Gesucht: Kathete 2

Wieder gilt:

Aber erst mal von Anfang an:

(Kathete 1)2 + (Kathete 2)2 = (Hypotenuse)2

Setze die richtigen Zahlen ein, klicke dann wieder auf mich.

also:

2 + (Kathete 2) 2 = 2

Ja, genau.Aber bevor wir jetzt die Wurzel ziehen, muss die unbekannte Strecke alleine stehen.

Weiter

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

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2. Fall: Eine Kathete ist gesucht:

Wir rechnen also erst mal auf beiden Seiten -5 2

Und dann können wir die Wurzel ziehen.

Berechne die Länge der gesuchten Kathete (auf zwei Nachkommastellen gerundet) und klicke dann wieder auf mich.

-5 2

(Kathete 2)2 = 7 2 - 5 2

(Kathete 2)2 = 7 2 - 5 2

Das stimmt leider noch nicht, achte auf das richtige Runden

Kathete 2 = (cm)

Weiter

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2. Fall: Eine Kathete ist gesucht:

Wenn eine Kathete gesucht ist, rechnen wir also immer:

(Hypotenuse) 2 - (Kathete) 2 und dann die Wurzel davon.

Bist du jetzt bereit für deine letzte Prüfung?

Immer her mit den Aufgaben...

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4. Prüfung

Viel Erfolg bei deiner letzten Prüfung:

Berechne jeweils die Kathete, runde auf zwei Nachkommastellen.Klick wieder auf mich um deine Lösung zu überprüfen.

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

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Gut gemacht!

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Nun hast du alle Prüfungen bestanden, hier ist dein letztes Symbol

Klasse, vielen Dank!

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Du hast nun alles, was nötig ist, um meine geheimen Räume zu betreten.

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Herzlich Willkommmen

Im Kreis meiner Schüler

Ach ja, bevor ich es vergesse:

Wir sind hier alle Vegetarier

und auch Bohnen sind absolut tabu.

Unterricht ist jeden Tag von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang

und wehe, du erwähnst irgendwas von diesen irrationalen Zahlen...