Chap 14 : Symétrie axiale 6ème

Par M. MARGUET, Collège Charles III, Monaco

Chapitre 14 : La symétrie axiale

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Les sons d'un lourd marteau frappant l'enclume sacrée résonnent dans le vide immense de la forge volcanique.

Ces bruits sonnent comme un appel pour toi. Tu t'empresses d'aller dans cette direction. Très vite, tu dois traverser une tempête météorologique intense. Après quelques heures à t'abriter dans une petite grotte, seul dans le froid du Freljord, tu décides de prendre ta route. Les sons de choc métalliques se font de plus en plus forts. Tu sens que tu approches du but. Cependant, ton instinct te force à te tenir sur tes gardes. Tu sens que quelque chose peut se passer. Quelque chose de dangereux, de grave ... Quelque chose pour lequel le monde a encore besoin de toi §nom§!

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La forge volcanique est un endroit sacré. Seul un être y vit, il s'agit d'Ornn, le Demi-Dieu Forgeron. Il possède un pouvoir de création unique. Par ailleurs, il choisit ceux qui sont dignes d'entrer dans la forge. Sans son accord, il est impossible d'y pénétrer. Tu arrives devant l'entrée. Quelques secondes passent et un éclair apparaît. La porte de la forge a disparu. Tu peux entrer. Au loin, une lueur éclaire les lieux. Il s'agit d'Ornn, il t'attend, il a une mission pour toi :"Héros, tu as maintes fois sauvé le monde. Aujourd'hui, une nouvelle quête se dresse devant toi. Volibear, le Dieu des tempêtes, veut détruire la forge pour voler mes pouvoirs. Je compte sur toi pour l'arrêter. Je peux t'y aider mais je n'ai pas la force pour le faire seul ..."

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Sommaire : La forge d'Ornn

Avec quadrillage

Sans quadrillage

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Propriétés de conservation

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Axes de symétrie de figures

Forge de l'arme divine

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Bienvenue dans mon antre, la Forge Volcanique. Tu es ici pour m'aider à forger l'arme divine qui pourra mettre à mal les pouvoirs des tempêtes de Volibear. Tu vas devoir me récupérer des matériaux. Je ne peux sortir pour les récupérer moi-même. Voici la liste des matériaux dont j'ai besoin.

- Du fer Démacien - Du feu draconique - Du cuir de boeuf du Freljord - La gemme nitescente des Noxiens

Commençons par aller chercher le fer Démacien.Toi qui est un grand Challenger de Démacia, je compte sur toi. Tu auras sans doute besoin de quelques connaissances en plus. Voici une définition utile.

Dans le cadre d'un symétrie axiale avec un quadrillage, on peut simplement compter les carreaux de part et d'autre de l'axe de symétrie (de la droite sur laquelle se base la symétrie).

FAUX ! Es-tu vraiment un challenger ?

Petite question en plus pour juger si tu as compris.Quel est le symétrique du point D par rapport à la droite (d') ?

VALIDER

Ton professeur, mon suprême assistant, va te distribuer une série d'exercices à réaliser. Cette fiche sera à coller directement dans ton cahier, partie exercices.Les constructions qui te sont demandées sont à faire directement sur la feuille.Dans quelques minutes, nous ferons la correction au tableau. Au travail !

Partons vers la mine de fer Démacien. Tu dois déplacer les points symétriques des points indiqués pour former la symétrie par rapport à l'axe (d). Attention, tu dois être suffisamment précis.

A'

B'

C'

D'

E'

(d)

Pour trouver le premier ingrédient, tu vas maintenant devoir trouver l'endroit, sur cette page, où se situe le fer Démacien. Tu dois cliquer sur la position exacte du symétrique du point M par rapport à la droite (d).

Pour un axe en diagonale, il faut compter soit horizontalement et reporter verticalement, soit compter verticalement et reporter horizontalement, sois mesurer la distance entre le point et l'axe de symétrie perpendiculairement à l'axe.

Félicitations, tu as trouvé l'acier Démacien. Nous allons pouvoir continuer !

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Tu as bien trouvé le premier ingrédient pour que je puisse forger ton arme.C'est très bien, continue sur cette voie ! Je compte sur toi, tu sembles pouvoir réaliser tout cela d'une main de maître.

Continuons nos recherches. Nous allons devoir chercher du feu draconique. C'est un feu qui a été craché par un dragon antique, très rare et très difficile à obtenir. Il est dangereux de s'aventurer dans l'antre du dragon ... Sauras-tu me ramener cela ?

Avant de t'envoyer face au dragon, je vais t'instruire un peu. Sinon tu n'as aucune chance ! Voyons les symétries axiales sans quadrillage.

Les constructions se font de manière progressive. C'est-à-dire que tu dois construire les symétriques point par point.Tout se fait à la règle, au compas et/ou à l'équerre. Ton professeur va te montrer.

Comme tu l'auras compris, il faut être bien précis.Voici un petit récapitulatif de la méthode de construction du symétrique d'un point.

On peut maintenant construire des figures plus complexes, comme des segments, des droites, des cercles ... Les possibilités sont infinies !

Toutes ces méthodes sont à maîtriser parfaitement avant de continuer ! Le dragon, lui, ne rigole pas ...

Petite remarque très importante ! Attention avec la symétrie d'une droite par rapport à un axe, il y a une particularité !

Maintenant, pour le symétrique d'un cercle, il suffit de suivre une petite idée très simple : "deux cercles superposables ont le même rayon".

Allez, en route pour récupérer ce feu draconique !

Shyvana, gardienne des dragons, se dresse maintenant face à toi.Elle t'annonce accepter de céder une fiole de feu draconique à condition que tu réussisses à tracer le symétrique de l'aile de dragon suivante.Ton professeur va te distribuer une feuille, réalise la construction. Il te donnera le mot de passe pour valider ton apprentissage ici si elle est parfaitement réalisée.

FAUX ! J'ai besoin de ce feu draconique ! Fais le nécessaire !

Mot de passe :

VALIDER

Je vois, tu sembles à la hauteur de ta réputation. Voici le feu draconique. Je ne peux t'en donner qu'une seule fiole. C'est bien trop difficile à récupérer sans se brûler les ailes ... Prends-en grand soin.Les pouvoirs qu'elle contient vont bien au delà de ce que tu pourrais imaginer. Des gens mal intentionnés pourraient faire beaucoup de mal avec ceci !

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Et de deux ! Tu as fait la moitié des commissions. C'est bien mais ne traîne pas, il reste encore beaucoup à faire et à apprendre !

Cesse donc de faire le malin et fais ce qui est nécessaire pour obtenir ton ingrédient !

Revenir parler à l'éleveur.

Troisième étape de notre épopée. La recherche d'un cuir de boeuf du Freljord, plus particulièrement un Boeuf Elnuk. C'est une race de boeuf rare et très craintif. Il est délicat d'en récupérer. Pour cela, tu vas devoir aller voir l'éleveur et le convaincre de te céder une pièce de cuir. Cette étape sera, je l'espère, moins dangereuse que la précédente.

L'éleveur de Boeufs Elnuk est réputé pour être un vieux sage. Un peu comme ton professeur, mais avec plus de cheveux ou alors plus de barbe.

Si, j'ai parfaitement le droit de dire ça. Allez, on va commencer par quelques apprentissages pour lui en mettre plein la vue. Il est peu impressionnable, tu vas devoir te surpasser pour lui montrer ce que tu vaux.

Mais ce n'est pas tout, tu dois pouvoir justifier de certaines données que tu auras trouvées dans un exercice. Pour cela, tu devras utiliser les propriétés de conservation de la symétrie axiale. Voici un petit exemple pour que tu comprennes :

Dans cet exercice, on dit que les points A; B et C sont alignés et, de plus, le segment [AB] a une longueur de 7cm.On a tracé les symétriques des points A; B et C par rapport à (d). On peut affirmer que les points A'; B' et C' sont alignés car la symétrie conserve l'alignement. On peut aussi affirmer que le segment [A'B'] mesure 7cm car la symétrie conserve les longueurs. Ce sont des démonstrations !

Si tu as tout bien compris, je te laisse quitter la Forge Volcanique pour quelques minutes.L'éleveur de Boeufs Elnuk se trouve dans la prairie non loin d'ici. Va à sa rencontre, explique-lui ce que tu veux et montre-toi à la hauteur.

Il est difficile de l'impressionner, tu vas devoir te surpasser. Je compte sur toi pour continuer de manière aussi brillante.

Tu trouves l'éleveur très rapidement, les Poros l'entourent dans la prairie. Il se tourne vers toi et te demande ce que tu veux.

Ornn m'envoie pour tuer et dépecer l'une de vos bêtes pour que je puisse aller tuer un dieu des tempêtes, c'est ok ?

Bonjour brave éleveur. J'ai entendu dire que le cuir de vos bêtes était le meilleur de tout Runeterra.

J'adore les Poros ! J'aimerais connaître le secret pour qu'ils m'aiment aussi, tout comme vous !

Il te répond : "En effet, ce ne sont pas des sornettes ! Mes bêtes sont les meilleures de tout le continent ! Personne ne peut se vanter d'avoir des Boeufs Elnuk comme les miens. Leur lait est le meilleur, leur viande est la plus goûtue, et leur cuir est de la meilleure des qualités !!"

Ornn, le Dieu Forgeron m'envoie pour obtenir une pièce de cuir de l'un de vos boeufs. Pensez-vous qu'il soit possible d'en avoir ?

Du lait de Boeuf Elnuk ? Ce qui m'intéresse plus, c'est le cuir. J'avoue que ça me dégoûte un peu de boire ça ...

Leur viande est la plus goûtue ? Je ne refuse jamais un bon barbecue ! Je vais vous en prendre un peu pour tester ça !

Il continue : "Mouais, je ne vois pas pourquoi je te donnerai gratuitement le cuir d'une de mes bêtes ! C'est beaucoup de travail pour les élever et pour récupérer ça comme il faut ! Qu'as-tu en échange de mon cuir ?"

J'en ai assez de discuter ! J'en ai besoin pour le rapporter à Ornn. Donnez-moi ce cuir immédiatement ou je m'énerve !

Je laisse les poros en vie. C'est déjà bien suffisant pour un éleveur comme vous ...

Je peux essayer de vous divertir. Il me semble que les journées d'un éleveur sont assez répétitives ...

Il rigole et dit : "Me divertir !? Mais quelle idée, je ne m'ennuie jamais moi, avec mes bêtes et mes poros, j'ai la plus belle vie du monde. Mais puisque tu lances l'idée, que peux-tu pour me divertir ?"

Je peux danser pour vous ou vous raconter une belle histoire. J'ai sauvé plusieurs fois le monde vous savez ...

Je peux appeler mes amies Star Guardians pour vous raconter les histoires les plus folles sur l'Univers !

Je connais sur le bout des doigts le secret des transformations par symétrie axiale. Je peux vous montrer !

Il reprend un air sérieux et te pose une dernière question : "Tu crois en savoir plus que moi à ce sujet ? C'est ce qu'on va voir ..." Il te pose une question pour tester tes réflexes avant tout. "Dans une symétrie axiale, si on construit l'image d'un segment par rapport à une droite, qu'obtient-on comme image, comme symétrique ?"

Les quatre points vont s'aligner et former un segment deux fois plus long.

Un segment de même longueur.

Un segment de même longueur avec un point d'intersection.

En effet, tu sembles bien instruit, c'est intéressant mais il en faudra plus pour m'impressionner. Voici une énigme sur laquelle je bloque depuis quelques temps. Si tu arrives à la résoudre, je te donnerais ce que tu cherches.

Rappelle-toi ce que je t'ai appris !

On demande le périmètre de la figure ci-dessous sachant que la construction a été faite par symétrie des points A, B, C, D et E par rapport à (d). De plus, on cherche la mesure de deux angles et une justification pour les mesures des angles donnés.

Quel est le périmètre de la figure ?

Quelle est la mesure de l'angle A'C'D' ?

Quelle est la mesure de l'angle DEB ?

Cite une propriété pour justifier :

VALIDER

Cela me semble parfaitement juste ! C'est impressionnant, en effet ! J'accepte de te céder une petite partie du cuir d'un de mes boeufs. C'est du cuir de qualité légendaire. Tu n'en trouveras pas d'aussi beau dans tout Runeterra !

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• Ornn3
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Parfait ! Tu as obtenu le cuir, c'est incroyable. La qualité de la pièce est divine. Nous touchons au but, plus qu'un ingrédient ! Du nerf !

Quatrième et dernière étape de ton apprentissage sur la symétrie axiale : Les axes de symétrie. Je vais t'apprendre tout ce que je sais à ce sujet. Ensuite, tu iras dans la forêt près d'ici pour récupérer la Gemme Nitescente. Un Noxien exilé du nom de Talon semble l'avoir dérobée à son ancien propriétaire.

Certaines figures, pas toutes, possèdent des axes de symétrie. Ce sont des droites qui permettent de couper une figure en deux parties parfaitement superposables par pliage le long de cette droite. Voici quelques exemples : Et comme tu peux le constater, certaines figures ont même plusieurs axes de symétrie ! Le but est de tous les trouver pour une figure donnée !

Tu vas aussi devoir définir les axes de symétrie des figures usuelles. Sur les illustrations suivantes, les axes de symétrie des figures sont les droites en rouge. Par exemple, pour le carré, il y en a 4 : - Les 2 diagonales - Les deux droites qui passent par les milieux des côtés opposés (on parle de médiatrices des segments). Peux-tu définir les axes de symétrie des autres figures ? J'ai l'impression que tu as maintenant un exercice à réaliser dans ton cahier ! Au travail !

Pour le rectangle : - Les médiatrices des segments forment des axes de symétrie. On peut aussi dire que ce sont les droites qui passent par les milieux des côtés opposés (et perpendiculairement). Pour le losange : - Ce sont les droites qui sont les diagonales du losange. On dit aussi que ce sont les droites qui relient deux sommets non consécutifs. Pour le triangle isocèle : - Il y en a un seul, la droite qui passe par le sommet principal et qui coupe le segment opposé en son milieu. C'est la médiatrice du côté opposé au sommet principal.

Il reste le triangle équilatéral : - Il y a 3 axes de symétrie, les 3 médiatrices du triangle. Toutes ces définitions sont à connaître. Mais il reste une figure que nous n'avons pas encore étudiée. Eh oui ! On va parler du cercle (du disque). Combien d'axes de symétrie possède un cercle (un disque) ?

Les cercles sont symétriques par rapport à leur diamètre. Combien y a-t-il de diamètres dans un cercle (un disque) ?

Il y en a une infinité ! Donc le cercle (le disque) possède une infinité d'axesde symétrie, ce sont toutes les droites qui passent par le centre du cercle.On parle ici de tous les diamètres du cercle (du disque).

Maintenant que tu as vu tout cela, je pense que tu as compris de quoi nous allons parler. Je te laisse partir en direction de la forêt. Là-bas, tu y trouveras un être extraordinaire, un assassin hors pair, aussi agile que discret. Il s'appelle Talon, c'est un noxien. Tu vas devoir lui ravir la gemme, quel qu'en soit le prix !

Tu as quitté la Forge Volcanique. Tu t'engouffres dans une forêt inquiétante mais qui semble toutefois assez calme. Tu avances et entends derrière toi les bruits étouffés d'un homme. Tu fais mine de ne rien entendre et continue ton chemin. Après une clairière, le bruit semble s'être arrêté. Mais en une fraction de seconde, tu te fais surprendre par un homme. Il surgit de derrière une roche et se montre assez menaçant. Il t'interpelle et te demande ce que tu fais dans cette forêt. Tu lui réponds que tu cherches Talon. Il t'indique, en levant son épée, que tu l'as bien trouvé ...

Je suis Talon, l'assassin le plus mythique de tout Runeterra. Tu cherches sans doute cette gemme. Il ne te sera jamais permis de me la reprendre. Comment ? C'est Ornn qui t'envoie ? Je ne te crois pas ! S'il avait besoin de cette gemme, il serait venu me la réclamer lui-même ! Bon, pour ne pas le mettre en colère, je veux bien te laisser une chance. Si c'est bien lui qui t'envoie, tu sauras répondre à ces problèmes sans difficulté !

Voici le premier des problèmes :

La trahison n'est pas permise ! Pense aux notations et aux unités !

VALIDER

Bien, voici le second problème :

Sois précis et bien rigoureux dans ta construction !

équerre

VALIDER

Une fois la construction finie, appelle ton professeur pour obtenir le mot de passe !

Incroyable ! Et un dernier problème ?

Le cercle C' est le symétrique du cercle C par rapport à une droite (TP). Le diamètre de C est de 10cm. Quel est le rayon du cercle C' ?

Le périmètre d'un carré ABCD est de 40dm. On construit A'B'C'D' son symétrique par rapport à une droite (AM). Quel est la longueur du côté de A'B'C'D' ?

Lis bien les énoncés. Tu peux t'aider d'un schéma si besoin.

Le triangle EOU est tel que Ô=81° et Ê=34°. Quelle est la mesure de l'angle Û', symétrique de l'angle Û par rapport à (OE) ?

VALIDER

Je dois bien avouer que je suis très surpris par ton apprentissage et le niveau de tes connaissances ! Ornn t'a bien formé, mais j'imagine qu'avec autant de qualités, il n'était pas seul ... Quelqu'un de très puissant a dû l'aider ! J'accepte de te céder cette lame. La Gemme se trouve en son coeur. Ornn saura la garder et l'utiliser. Si toutefois il lui est possible de me la rendre une fois son objectif atteint, je lui en serait très réconnaissant ! Bonne continuation, jeune héros !

Tu diras à Ornn qu'il me doit une fière chandelle ! Je ne suis pas quelqu'un de bien matérialiste mais cette Gemme procure un pouvoir très important à celui qui la possède. Je n'en ai pas besoin pour venir à bout de mes ennemis actuels mais on ne sait jamais pour l'avenir ...

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• on

• Ornn4
• =
• on
• 0

Ah ! Enfin tu me ramènes cette Gemme. Je suis fin prêt à me mettre au travail. Mais je vais avoir besoin de toi pour m'assister ! De quel type d'arme auras-tu besoin ?

Forge de l'arme

• Arme1
• =
• on
• 1

Ornn te demande de l'assister dans la fabrication de ta future arme. Tu as ramassé tous les ingrédients, il ne reste plus qu'à forger tout ça.

• Arme3
• =
• on
• 3

• PVArme
• =
• 3
• 0

• Arme2
• =
• on
• 2

Pour ce premier exercice, nous allons commencer à créer une arme légendaire. Tu vas devoir m'aider et remettre en pratique tout ce que je t'ai appris.

Si tu as besoin, tu peux reproduire ces figures sur ton cahier.

Indique le nombre d'axes de symétrie des figures suivantes :

Attention, des erreurs se sont glissées.

VALIDER

• Arme1
• =
• cache

• PVArme
• +
• 1

• Arme1
• =
• on
• 0

HOURRA ! Je vois ce que je vais faire avec ces ingrédients.Il me faudra maintenant une flamme brûlante pour fondre l'acier. D'habitude, l'acier fond à 1250°C, mais il me faut une température supérieure à 1600°C pour obtenir la perfection dans la qualité de la lame.

Fais en sorte de tout cramer en réussissant cet exercice !

Merci à M. Labouche pour cet exercice !

L'activité précédente, si tu l'as réussie, t'as indiqué un message. Pour valider tout cela, tu dois indiquer le message qui t'a été indiqué. J'espère que tu as été bien attentif !Le mot de passe est à écrire en respectant les majuscules et les minuscules, ainsi que la ponctuation !

Si tu n'as pas noté le mot de passe, il faut refaire l'activité !

VALIDER

• Arme2
• =
• cache

• PVArme
• +
• 1

• Arme2
• =
• on
• 0

Nous avons atteint les 1600°C ! La chaleur ici est intenable, nous devons nous dépêcher.Une dernière chose, l'assemblage de l'arme, avec le cuir pour le pommeau et la gemme pour la puissance !

Enfin, un dernier exercice pour que je puisse intégrer la gemme dans l'arme. C'est une partie simple mais qu'il faut faire avec beaucoup de soin et de rigueur.

Les figures 1 et 2 ci-contre sont symétriques par rapport à la droite (d). Quelle est l'aire de la figure 2 ? Quel est son périmètre ? Donner une propriété qui a permis de le justifier.

Attention aux unités.

VALIDER

• Arme3
• =
• cache

• PVArme
• +
• 1

• Arme3
• =
• on
• 0

L'arme est bientôt terminée. Il ne reste plus qu'à la faire refroidir et à la calibrer. Sa qualité est exceptionnelle.Personne ne pourra résister à sa puissance !

SEVERUM

Mon travail est maintenant terminé. L'arme légendaire est prête. Même si son apparence la montre telle un croc, c'est un fusil très puissant.

Tu vas devoir apprendre à maîtriser son pouvoir pour l'utiliser à bon escient et battre Volibear du premier coup !

Ton apprentissage de la symétrie est maintenant terminé. Un contrôle arrivera très bientôt. Il te reste suffisamment de temps pour t'entraîner parfaitement à l'usage du SEVERUM. La prochaine étape de ton voyage sera périlleuse. Il faudra affronter le dieu des Tempêtes !

VALIDER

compteur

VALIDER

compteur