LE PARADOXE D'ACHILLE ET LA TORTUE

MATHEMATIQUES

Présentation du Paradoxe d'Achille et la tortue :

Salomé, Nathan & Ema

Zénon d’Élée

INTRODUCTION

Zénon d’Élée était un philosophe grec né vers 490 et mort vers 430 av. J.-C et fut membre de l’école d’Élée, ville de la Grande-Grèce. Selon Aristote, Zénon serait l’inventeur de la dialectique. Le philosophe entrepris de prouver l’impossibilité du mouvement, appuyant sa théorie sur l’énoncé d’une série de paradoxe. Il tenta ainsi de démontrer l’impossibilité pour un mobile d’atteindre le terme de son trajet sans avoir d’abord à parcourir la moitié du trajet, puis la moitié de la moitié est ainsi de suite jusqu’à l’infini. Un des principaux exemples permettant d’illustrer sa théorie est : Achille condamné à poursuivre la tortue sans jamais l’atteindre.

Achille et la tortue :

achille et la tortue

Prenons l’exemple d’une course de vitesse entre Achille et une tortue : - Achille est deux fois plus rapide que la tortue - Achille laisse la tortue avec 100 mètres d’avance - Zénon « prouve » qu’Achille ne parvient jamais à dépasser la tortue

L’argument de Zénon :

l'argument de zénon

• Le temps qu’Achille parcoure 100 mètres et atteigne la position d’où est partie la tortue, celle-ci a franchi 50 mètres• Le temps qu’Achille ait franchi ces 50 mètres, la tortue a avancé de 25 mètres • Le temps qu’Achille ait franchi ces 25 mètres, la tortue a avancé de 12,5 mètres, etc. On a donc une infinité d’étapes où la tortue est toujours devant Achille, il ne dépasse donc jamais la tortue.

Explication mathématiques :

Considérons qu’Achille court à 1m/s et la tortue à 0,5m/s

• Au bout d’une seconde, Achille a parcouru 1m et atteint la position initiale de la tortue.
• 0,5s plus tard, Achille a atteint la position précédente de la tortue
• 0,25s plus tard, Achille a atteint la position précédente de la tortue
• 0,125s plus tard, Achille a atteint la position précédente de la tortue

Temps écoulé : 1+1/2+1/4+1/8+1/16+...

Bien qu’il y ait une infinité de telles étapes, elles finissent toutes avant 1+1/2+1/4+1/8+1/16+...=2s La course continue même après cette infinité d’étapes, et Achille double alors la tortue puisque 2s est la limite mais elle est forcément atteinte. Voilà d’où vient le paradoxe.

CONCLUSION

Ainsi, nous pouvons conclure que Zénon veut nous faire croire que peu importe la course, l’objet partit en second ne rattrapera jamais le premier. Avec ses explications, Zénon peut parvenir à nous convaincre. Or, si nous réfléchissons réellement à la question en fonction de la réalité, on se rend compte que le second objet doublera le premier

C'était LE PARADOXE D'ACHILLE ET LA TORTUE

présenté par Salomé, Nathan & Ema

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