EQUIVALENCIAS LÓGICAS Y LEYES PROPOSICIONALES

p→q

[~(p→q)∧(r~s)⋁q]

Lógica matemática

Equivalencias lógicas y leyes proposicionales

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~(p ⋁ q)→~r

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al curso de lógica Matemática

pEm. en Física matemática

Marvin danilodel cid Santos

Empezamos

Una proposición es lógicamente equivalente a otra cuando cada una de las asignaciones de valores de verdad a las proposiciones simples que las componen genera el mismo valor de verdad en ambas proposiciones.

Proposiciones logicamente equivalentes

Proposiciones logicamente equivalentes

Por lo tanto podemos decir que dos expresiones o proposicione son equivalentes si sus tablas de verdad son iguales.

Ejemplo 1 de equivalencia lógica mediante la tabla de verdad :

En la siguiente imagen que se les presenta, pueden visualizar que en la misma tabla de verdad encontramos las dos expresiones proposicionales y ambas tienen sus valores de verdad de acuerdo a los conectivos lógicos.

Si vemos a fondo, a cada una de las expresiones lógicas se les ha colocado su respectivo valor aplicando el valor de verdad que los conectivos establecen. En conclusión ambas proposiciones son equivalentes ya que en ambas tablas de verdad que corresponde a cada expresión lógica (columnas resaltadas de color verde) representan los mismos valores de verdad, por lo tanto ya se pudo comprobar que ambas proposiciones son equivalentes.

Ejemplo 2 de equivalencia lógica mediante la tabla de verdad :

En este otro ejemplo de equivalencia lógica podemos darnos cuenta que para poder ver si ambas proposiciones eran equivalentes se tuvo que realizar todo el procedimiento que comunmente se hace, se uso la tabla de verdad y se le dio el valor de verdad dependiendo de los conectores lógicos y finalmente concluimos en que ambas proposiciones eran equivalentes porque tienen los mismos valores de verdad.

Para esta temática de Equivalencia lógica no solo podemos aplicar la equivalencia mediante el uso de las tablas de verdad si no también podemos aplicar leyes lógicas las cuales sirven para reducir o simplificar una expresión compuesta.

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LEYES PROPOSICIONALES

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¿QUÉ SON LAS LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL?

Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir esquemas moleculares complejos y expresarlos en formas más sencillas. Estas equivalencias se conocen como Leyes Lógicas, y representan formas proposicionales en las que si se sustituyen sus variables por los enunciados correspondientes el resultado será una proposición lógicamente verdadera.

LAS LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

Las leyes lógicas que se establecen en el Álgebra Proposicional son las siguientes:

• Ley Conmutativa
• Ley Asociativa
• Ley Distributiva
• Ley de Morgan
• Ley del Condicional
• Ley del Bicondicional
• Ley de Absorción
• Ley de Idempotencia
• Ley de Involución o doble negación
• Ley de Identidad
• Ley del Tercero excluido
• Ley de Complemento
• Ley del Inalternador
• Ley del Incompatilizador
• y otros...

A continuación definiremos cada una de estas leyes con sus respectivas euivalencias

LEY CONMUTATIVA

La ley conmutativa establece que el orden de los factores no altera el resultado,en lógica proposicional esto es aplicado a las operaciones con conectivos lógicos que implican conjunción que es afirmar que se dan dos cosas a la vez, y disyunción que es presentar una elección entre dos cosas,sin importar en qué orden se presenten.

Para aplicar esta ley lo único que debemos hacer es conservar el conectivo y se cambia el orden de los enunciados simples de la proposición. Hay que tener en cuenta que sólo se cumple con conectivos de conjunción y disyunción. Se aplica también con enunciados compuestos por más de dos simples.

LEY ASOCIATIVA

Las proposiciones se pueden asociar de diferentes formas y el resultado final va a ser equivalente.

Se conserva el conectivo Lógico y los enunciados simples de la proposición, sólo varía el lugar de los signos de agrupación. Se cumple únicamente con conectivos de conjunción, disyunción y con una proposición de tres enunciados.

LEY DISTRIBUTIVA

Es la ley en la cual se demuestra, que en una formula que debidamente tenga conectores de conjunción y disyunción logremos poder reformular la estructura de los mismos manteniendo el mismo resultado.

El primer enunciado acompañado del conectivo que lo prosigue, se opera con cada enunciado dentro de paréntesis con un respectivo paréntesis, separados por el segundo conectivo de la proposición. Se cumple con varios conectivos, excepto con la doble implicación.

LEY DE MORGAN

Las leyes de Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.

La negación fuera de los paréntesis afecta a cada enunciado dentro de los paréntesis y así también al conectivo que los une. Se cumple con la conjunción y disyunción, no obstante la implicación y doble implicación podrían estar también afectadas por Morgan, tal como lo veremos más adelante.

LEY DEL CONDICIONAL

Esta ley del condicional se cumple cuando dentro de dos proposiciones nos encontramos con el conector lógico de la la implicación.

Esta Ley la aplicamos de la siguiente forma: solo se ve afectado el antecede, por lo tanto para que se cumpla la ley del condicional nos dice que debemos de negar el antecedente, y la condicional o implicación se convierte en un disyuntor.

LEY DEL BICONDICIONAL

En esta ley del Bicondiocional la podemos aplicar de la siguiente forma:

Si nos dan una proposición como lo es p ↔ q podemos separar esa expresión como lo es (p → q) ∧ (q → p) y esta resuelto, apartir de esta aplicamos la leye del condicional y así sucesivamente vamos deduciendo cada una de las leyes, partiendo desde una proposición compuesta o dos simples. En la imagen de las euivalencias podemos daros cuenta de las dos formas en que podemos aplicar esta ley .

LEY DE ABSORCIÓN

En esta ley de la Absorción la podemos aplicar de la siguiente forma:

Si miramos las equivalencias de la imagen podemos entender que la expresión que se encuentra fuera del parentesis la operamos con cada una de las expresiones que se encuentran dentro del paréntesis, la letra que esta dentro del paréntesis y se repite automaticamente se elimina y solo nos quedamos con la letra y el conector que encontramos fuera del paréntesis y la otra letra que no se repite solo la bajamos o unimos a la expresión que estaba fuera del paréntesis y ya esta simplificada esta proposición lógica

LEY DE IDEMPOTENCIA

En esta ley del Idempotencia la podemos aplicar de la siguiente forma:

Cuando en ambas proposiciones nos encontramos con las mismas variables y teniendo un conectivo lógico de conjunción o disyunción podemos aplicar esta ley, ya que de manera automática solo colocamos una variable por que ambas variables que son iguales y unidas por un disyuntor o conjuntor equivale a una sola variable. En la imagen podemos ver la equivalencia lógica de esta ley.

LEY DE INVOLUCIÓN O DOBLE NEGACIÓN

En esta ley de la doble negación la podemos aplicar de la siguiente forma:

Esta ley podemos simplificarla como si fuera matemáticas es decir como si aplicaramos la ley de signo ( menos y menos es = a más ) por lo tanto la negación de una proposición que es negada dos veces es igual al valor positivo de la epresión.

lEY DEL IDENTIDAD

Esta ley la podemos aplicar de la siguiente forma:

Esta ley solo es aplicada para conectores de disyunción o conjunción pero, debemos de tener en cuenta que; para aplicar esta ley el conector de la conjunción se convierte en una multiplicación y el disyuntor en una suma, si en una expresión Proposicional nos proporcionan lo siguintes: A∧1=A esto es igual a A porque multiplicamos A x 1= A, y si fuera A∨0=A, esta ultima expresión es igual a A porque todo numero sumado a 0 es el mismo valor.

lEY DE COMPLEMENTO

La ley de complemento la aplicamos cuando una proposición positiva y la otra negativa y en expresiones lógicas con conectores lógicos de disyunción o conjunción , esta sirve para simplificar una proposición de forma sencillla. Las expresiones pueden ser como A∧~A=0 , en esta ley aplicamos el procedimiento de la ley de Identidad, y decimos (A x 0) esto e igual a Cero porque en un lado tenemos el positivo y el otro negativo y queda simplificado.

lEY DEL TERCERO EXCLUIDO

Para esta ley debemos de tener muy en cuenta de que no podemos tener una tercera respuetas tal como lo indica su nombre,

Para aplicar esta ley necesitamos tener una que lo afirme y otro que lo niegue, ya que apartir de estas dos premisas se determinara el valor de verdad .

lEY DEL INALTERNADOR

El inalternador cumple su función negando a ambas proposiciones y su simbolo es una flechita hacia abajo (↓) , pero al aplicar esta ley debemos de tener muy en cuenta de que al negar ambas proposiciones, estas son separadas por el conectivo lógico de la conjunción.

lEY DEL INCOMPATILIZADOR

La ley del Incompatilizador es lo inverso de la ley del inalternador, en esta ley en negamos ambas proposiciones y en ves de separar esas proposiciones con el conectivo del conjuntor las separamos con el conectivo del Disyuntor, el símbolo lógico de este conector es una diagonal (/).

Realimentación de los Aprendizajes

Para los Alumnos que quieran ampliar sus conocimientos se les invita a hacer click en el ícono de abajo, el mismo los dirigirá hacia un Blogspot (página web) en donde encontraran información del Curso de lógica y principalmente el apartado de las Equivalencias de las leyes Lógicas.

VÍDEO

Video complementario acerca de la temática de la clase

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