MÉTODO DE RUNGE KUTTA

Metodos numericos

Presentación

MÉTODO DE RUNGE KUTTA

Empezar

Somos el Grupo #6

Axel Grave Ramos

Daniel Josue Taquirá Hernández

1990-20-24247

1990-20-10222

Walter Josué Ruiz Gálvez

1990-20-10484

Santiago Junajpu Conos Sipac

Hugo Leonel Ortiz

1990-20-5697

1990-20-5697

7- Cuarto Orden

1- Metodo de Runge Kutta

2- Métodos Pertenecientes

5- Primer Orden

3- Métodos Lineales a un Paso

4- Teoria en Extension

6- Segundo Orden

ÍNDICE

14- Aplicacion en Excel

12- Teorema

13- Aplicacion en Matlab

8- Grafica del error/h

10- Convengencia

11- Tableros de Butcher

9- Adaptación

INTRODUCCIÓN

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

C. Runge

M. W. Kutta.

MéTODOS PERTENECIENTES

a este famoso conjunto

Métodos Pertenecientes

Método de Fehlberg

Método de Dormand - Prince

Método de Euler

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Métodos Pertenecientes.

Metodos no lineales

Tablero de Butcher

Método lineal multipaso

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+ info

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MéTODOS LINEALES A UN PASO

lOS MULTIPASOS

Métodos lineales a un paso

Los métodos lineales a un paso se utilizan para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Conceptualmente, los métodos numéricos comienzan tras la elección de un punto inicial y a continuación realizan un paso de aproximación para encontrar el siguiente punto que permita seguir acercándose a la solución. El proceso continúa con los siguientes pasos para reconocer la solución.

x +1=x +F(x ,t ,h) x =x(0)

Métodos lineales a un paso

F: R R

n+2

Método Lineal Multipaso

Método no lineales

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teoría en extenSión

Linealmente implicitos

Teoría en extensión

Los métodos de Runge-Kutta methods son un caso particular o una especialización de los métodos numéricos a un paso. Lo que caracteriza a un método de Runge-Kutta es que el error tiene la forma

E =Ch

El número de etapas del método Runge-Kutta es el número de veces que se evalúa la función en cada paso i, este concepto es importante porque la evaluación de la función requiere un costo computacional por eso, son preferidos métodos con un número tan mínimo de etapas como sea posible.

Primer Orden

El método de Eule

El método de Eule (Runge-Kutta de orden 1)

Decir que es de primer orden significa que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error global es proporcional al tamaño del paso. El método de Euler regularmente sirve como base para construir métodos más complejos.

Ilustración del método de Euler. La curva desconocida está en azul, y su aproximación poligonal en rojo.

+hf

=x

(x ,t )

n+1

Segundo Orden

Regla del punto médio

Regla del punto médio (Runge-Kutta de orden 2)

Una ecuación diferencial de segundo orden es equivalente a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, por lo que aplicaremos el mismo esquema. Sucede que se tienen cuatro incógnitas, pero tres ecuaciones, con lo que queda un grado de libertad en la solución del sistema dado en (13). Se trata de usar este grado de libertad para hacer que los coeficientes de h3 en las expresiones (10) y (12) coincidan.

,t

(x ,t )

+hf

=x

(x

n+1

n,

Cuarto Orden

Runge kutta ESTANDAR "el clasico"

Runge kutta estandar de orden 4(Runge-Kutta de orden 4)

La idea general de los métodos de Runge-Kutta es sustituir el problema del valor inicial: Por la ecuación integral equivalente: para proceder a aproximar esta última integral mediante un método numérico adecuado (recordemos que y(x) es desconocida). Si nuevamente planteamos el problema “paso a paso” tendremos:

y'=f(x,y) y(x0)= y0

y0ydy= x0xf(x,y(x))dx→ y= y0+ x0xf(x,y(x))dx

yn+1=yn+ xnxn+1f(x,y(x))dx

Runge kutta estandar de orden 4(Runge-Kutta de orden 4)

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta usado ampliamente es el de cuarto orden. A menudo es referenciado como “RK4”.Teniendo en cuenta la definición anterior, el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación. Donde:

yn+1= yn + 16(k1+2k2+2k3+ k4)

k1=f(xn, yn) k2=f(xn+ 12h, yn+ 12k1h) k3= f(xn+12h, yn+ 12k2h) k4=f(xn+h, yn+ k3h)

Runge kutta estandar de orden 4(Runge-Kutta de orden 4)

Así, el siguiente valor yn+1 es determinado por el presente valor yn más el producto del tamaño del intervalo h por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde k1 es la pendiente al principio del intervalo, k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto xn+ h2 usando el Método de Euler. k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y; k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Pendiente= k1+2k2+2k3+ k46

Runge kutta estandar de orden 4(Runge-Kutta de orden 4)

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden, lo cual significa que el error por paso es del orden de O(h5), mientras que el error total acumulado tiene el orden O(h4). Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de O(h4) razón por la cual es usado en los métodos computacionales.

Gráfica del error/h

Adoptamos la siguiente definición de un método de Runge-Kutta

Método de Runge-Kutta

Un método de Runge-Kutta con s etapas y orden p es un método numérico de la forma: Con: Y el error verifica la condición:

b k

=x +h

n+1

i=1

a ,k ,t + hc

=f(x +

ji

j=1

Max|x(t )-x |≤Cht

Convengencia

de los metodos de Runge Kutta

Convergencia de los métodos de Runge-Kutta

Sea F una función Lipschitz en x Entonces donde L es la constante de Lipschitz de F y K es el error de truncación local.

K(e -1)

Lb

Max|x(t )-x |≤

tablero de butcher

Para los métodos de Runge-Kutta .

Tablero de Butcher

Dado un método de Runge-Kutta, construimos un tablero como sigue

También es posible escribir como tablero de Butcher

Donde:

A ∈ M , b ∈ R , C ∈ R

sxs

Tablero de Butcher

Por ejemplo, el talero de Butcher para el método de Euler es

Para el punto médio de orden 2

Tablero de Butcher

Y para el Runge-Kutta estandar de orden 4

Tablero de Butcher

Un método de Runge-Kutta, se dice que es consistente si el error de truncación gloval tiende a cero cuando el tamaño de paso tiende a cero. Se puede demostrar que una condición necesaria y suficiente para la consistencia de un método de Runge-Kutta es que la suma de los bi sea igual a 1 es decir si se satisface que: Además el método es de orden 2 si se cumple que

1= b

i=1

1=2 a b

i j

i=1

j=1

Tablero de Butcher

Métodos de Runge-Kutta explícitos

En un método de Runge-Kutta explícito, en la definición de los ki no aparece como función de ellos mismos, es decir , la matriz del tablero de Butcher del método es "casi triangular inferior", porque es triangular inferior excepto por los elementos en la diagonal, los cuales también son cero.

teorema

Un método de Runge-Kutta explícito con s etapas no puede tener orden mayor que s.

Teorema

Se sabe que no hay métodos de Runge-Kutta explícitos con s etapas con orden s para s mayor o igual que 5. También se sabe que no hay métodos de Runge-Kutta explícitos con s etapas con orden s-1 para s mayor o igual que 7. Con más generalidad, tenemos la siguiente tabla

Matlab

En este apartado veremos en video la aplicacion del Metodo de Runge Kutta en el programa llamado Matlab

Excel

En este apartado veremos en video la aplicacion del Metodo de Runge Kutta en el office de Excel

¡Gracias!

QUIZ

MARCIANITOS

MARCIANITOS

DEL PLANETA KUTTA

NIVEL 1

DE 5

¿EN QUE AÑO FUE DESARRILLADO EL METODO DE RUNGE KUTTA?

1900

1830

1990

NIVEL 2

DE 5

¿CUAL ES EL METODO PRINCIPAL Y MAS IMPORTANTE?

TERCER ORDEN

PRIMER ORDEN

CUARTO ORDEN

NIVEL 3

DE 5

¿PARA QUE SIRVE EL METODO DE RUNGE KUTTA?

RESUELVE ECUACIONES DIFERENCIALES.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

MODERA EL CAMBIO DE VARIABLE

NIVEL 4

DE 5

EL PRIMER ORDEN ES...

METODO DE FEHLBERG

METODO DE EULER

METODO BUTCHER

NIVEL 5

DE 5

EL ERROR TIENE LA FORMA...

Xo=X(0)

F:R ➡R

n+2

E =Ch

NEW HIGH SCORE

999999

¡ENHORABUENA!

GRACIAS POR JUGAR

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GAME OVER

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Sí

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