PRES las ecuaciones de segundo gradoENTACIÓN PIZARRA MAGNÉTICA

Historia sobre las ecuaciones de segundo grado.

ax2+bx+c=0

Índice

ax2+bx+c=0

3. conclusiones

1. introducción

2. historia

1. Introducción

Ecuaciones de segundo grado igualdad algebraica

solución general

Ecuaciones incompleta

Siempre ha sido así

2. Babilonios. (2000-600 a.C)

Usan sistema sexagesimal. Hacen transformaciones algebraicas elementales. Los problemas encontrados, se refieren a ecuaciones del tipo: x2 +bx = c, x2 = bx + c , y x2 +c = bx. No figura x2 +bx + c = 0.

soluciones negativas

Ejemplo: “Hallar el lado de un cuadrado en el que el área menos el lado es igual a 14,30"

Tablas de arcilla que dan origen a ecuaciones de 2º grado y a sistemas de ecuaciones. En cada problema figura el enunciado y cómo se debe proceder para su resolución.

resolución

• “Toma la mitad de la unidad (0.30) y multiplicalá por sí mismo. (0;30*0;30=0;15)
• Suma este número a 14,30
• Lo que da 14,30;15, es el cuadrado de 29;30.
• Ahora suma 0;30 a 29;30, cuyo resultado es 30, que es el lado del cuadrado”.

• 0;30 =1/2
• 14;30= 870
• 29;30=√(14;30;15)
• x2

3. euclides 300ac

Teniendo en cuentaAC=2, Por Pitágoras

Los elementos de Euclide: Problema: Dividir un segmento en media y extrema razón

Proporción Áurea. Número Φ FC/AC=AC/FA =Φ

Sin Pitágoras, FA=x,

FC/AC = AC/FA (2+X)(X)=4 X2+2X-4=0

DATOS

FA=X FC=2+X AC=2

solución:

4. diofanto 200-284

Valores numéricos particulares elegidos, pero el método que utiliza es general.Una solución -----números racionales positivos. EJEMPLO: Encuentra dos números, sabiendo que su suma es 20 y el producto es 96"

• Diofanto fue llamado por los historiadores el padre de los algebristas modernos
• Su obra "Arithmetica" Diofanto. Contiene una serie de problemas sistematizados, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la elaboración de ecuaciones.
• Inició el empleo sistemático de símbolos para indicar potencias, igualdades o números negativos
• Símbolo único para la variable desconocida (στ) arithmio

Particularidad:Los números no pueden ser iguales. Un número (10+X), el otro (10-X). (10+x)(10-x)=96 --- x2=100-96=4 X=2 rechaza solución negativa Los números son 8 y 12

resolviendo con formula general

x1=8 x2=12

Álgebra normal: x(20-x)=96 ecuación completa de segundo grado. -x2+20x-96=0

5. Liu HUI (184-283 D.c)

Grandes aportaciones al libro, conocido como Jiuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.Demostró los algoritmos y proporcionó y probó nuevos. Demostró la exactitud de algoritmos no sólo en geometría sino también en aritmética y álgebra.

“Existe una puerta cuya altura y anchura son desconocidas, y existe una vara de longitud también desconocida. Sólo se sabe que la vara es 4 pies más larga que la anchura de la puerta y dos pies más que su altura y además la vara es igual de larga que la diagonal de la puerta. Se pide averiguar las tres longitudes”

Solución LIU HUI

Utilizando Teorema de Pitágoras, donde x es la longitud de la vara, X2=(X-4)2+(X-2)2 X2-12X+20=0 X1=2 X2=10

x= a+b+RC(2ab) Anchura: 2+RC(2.4.2)=2+4 = 6pies Altura: 4+RC(2.4.2)=4+4= 8 pies Vara: 2+4+RC(2.4.2)=10

6. Brahmagupta 598-670 dc

Ejemplo ax2+bx=c(18.45). Cualquiera que sea la raíz cuadrada de las rupas multiplicada por el cuadrado [y] incrementada por el cuadrado de la mitad de la incógnita, disminuya eso por la mitad de la incógnita [y] divida [el resto] por su cuadrado. [El resultado es] lo desconocido. [13]

• Astrónomo y matemático indio
• Brahmagupta ideó el concepto y el símbolo “cero y reglka de los signos.
• Fue el primero en referirse explícitamente a los número negativos, como solución de las ecuaciones
• Libro Brama Sputa Siddhanta (El sistema revisado de Brama) que contiene una regla satisfactoria para resolver ecuaciones cuadráticas, proporcionando las dos raíces, sin deshechar la negativa, dando dos soluciones equivalentes a la ecuación cuadrática general.

7. AlKhuwarizmi 780-840

• Escribió Hisab al-jabr wa-al-muqabala (o libro del áljebra) dedicado a la resolución de ecuaciones mediante procedimientos algebraicos y geométricos
• Indicó las primeras reglas del cálculo algebraico:
• al-jabr = la transposición de los términos de uno a otro miembro de una ecuación, cambio de signo
• wa-al-muqabala =la anulación de términos idénticos en ambos miembros.

• Admite coeficientes y soluciones racionales y positivas y para las ecuaciones de segundo grado el coeficiente principal era siempre 1
• Las soluciones son recetas para completar los cuadrados
• NO representación de símbolos para las incógnitas "cosa"
• Explicaba sus métodos de resolución con ejemplos concretos pero sabiendo que tenían validez general.

tipos ecuaciones Al Kuwarizmi, con resolución procedimental

Cuadrado =nº+raizax2=bx+c

Cuadrado = raiz ax2=bx

Cuadrado =nºax2=c

Cuadrado +nº =raizº ax2+c=bx

Cuadrado + raiz =nº ax2+bx=c

ax2+ bx+ c= 0

Sea cual sea el tipo de ec, el primer paso es reducir coeficiente a =1

Ejemplo: x2+bx=c

Area grande =(x+b/2)2 Area grande=x2+bx+4b2/16 (x+b/2)2=c+4(b/4)2

Solución procedimineto Al-Kuwarizmi

Solución actual

8. Abraham bar Hiyya 1070-1136

1. Matemático, astrónomo y filósofo judío de origen catalán
2. Elaboró diversos compendios científicos en hebreo, a partir de fuentes árabes, y tradujo numerosas obras árabes y hebreas al latín. Introduce en Europa conocimientos de los indues de las ecuaciones de grado 2
3. Obra más famosa es el Eibbur ha-Meshihah ve-ha-Tishboret (“Tratado sobre medidas y cálculos”),alcanzó gran reconocimiento en la Edad Media por tratar por primera vez en latín las ecuaciones de segundo grado.

9. Bhaskala (1114-1185)

1. Matemático Astrónomo indio
2. Descubrió el doble signo de los radicales cuadráticos y el carácter anormal de los mismos cuando el radicando es negativo.
3. Escribe su famoso Siddhanta Siroman en el año 1150. Este libro se divide en 4 partes, Lilavati (aritmética), Vijaganita (álgebra), Goladhyaya (globo celestial), y Grahaganita (matemáticas de los planetas).
4. Bhaskara propone ejercicios donde hay que obtener soluciones tanto positivas como negativas o donde hay que manejar números negativos para hallar la solución.
5. Afirma que x^2 = 9 tiene dos soluciones.
6. obtiene la fórmula general de segundo grado de la que obtiene siempre dos soluciones,

10. François Viète (1540 – 1603)

• Introduce utilización de letras para expresar en forma general los datos (consonantes) y las incógnitas (vocales)

• Parte de suponer que el valor de la incógnita está y establece una relación de igualdad expresando de dos formas distintas una cantidad que involucre la incógnita, Tal igualdad será cierta para el o los valores adecuados de la incógnita

• Resolución de la ecuación de segundo grado de forma más algebraica mediante una sustitución de variables, método que se sigue empleando en ecuaciones de tercer y cuarto grados.

ax2 + bx + c = 0 a z 0, iIntroduce 2 variables auxiliares mediante el cambio de variable: x = t + y. Operando y despejando se obtiene

11. Descartes (1596-1650)

1. Filósofo, matemático y físico francés.
2. Publicó en su libro «La geometría», la forma de resolver geométricamente ecuaciones de segundo grado con soluciones positivas. Las soluciones negativas se ignoraban porque se consideraban falsas.
3. Contribuye de forma muy significativa al lenguaje algebraico

¡Gracias!