PROBABILIDADES

Introducción a la probabilidad.

Presentación

Contenido de la fase

• Enfoque de Probabilidad
• Reglas para calcular probabilidades: Adición, Multiplicación, Complemento Tabla de contingencia
• Distribución de probabilidad
• Distribución de probabilidad y sus características.
• Tipo de variables Media Varianza Desviación estándar

Probabilidades

Es similar a : Probable. Posible Eventual y Contingencia

Son acontecimientos cuya verificacion es incierta, se pueden presentar pero no es posible conocer con certeza cuando se van a dar

Probabilidad de un valor numerico

Valor entre 0 y 1 inclusive que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento

Probabilidad

• Es común que una probabilidad sea expresada en forma decimal, como 0.70, 0.27 o 0.50.
• No obstante, también se da en forma de fracción, como 7/10, 27/100 o 1/2.

Palabras Claves en probabilidades

Evento

Resultado

Experimento

Proceso que induce a que ocurra una y sólo una de varias posibles observaciones.

Conjunto de uno o más resultados de un experimento.

Resultado particular de un experimento.

Probabilidad que ocurra es 1

Probabilidad que No ocurra es 0

Lanzamiento de una moneda

Espacio Muestral

• Posibles resultados al lanzar una moneda
• P(C)=1/2; P(E)=1/2
• CC
• CE
• EC
• EE

Ejemplo: Lanzamiento de un dado

Lanzamiento de un Dado

Evento

Resultado

Se observa un número par Se observa un número mayor que 4 Se observa un 3 o un número menor

Se observan las caras de los dados.

EXPERIMENTO

Enfoques para asignar probabilidades

Probabilidad clásica

Es en donde los resultados de un experimento son igualmente posibles. De acuerdo con el punto de vista clásico

Colectivamente Exhaustivo

Mutiamente excluyentes

El hecho de que un evento se presente significa que ninguno de los demás eventos puede ocurrir al mismo tiempo.

Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se lleva a cabo un experimento.

+ 45k

Ejemplo: Probabilidad clásica

Considere el experimento de lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad del evento “cae un número par de puntos”?

Enfoques para asignar probabilidades

Probabilidad empírica

ELa probabilidad de que un evento ocurra representa una fracción de los eventos similares que sucedieron en el pasado, y se basa en la llamada ley de los grandes números.

Ley de los Grandes Números

En una gran cantidad de intentos, la probabilidad empírica de un evento se aproximará a su probabilidad real..

Ejemplo: Probabilidad Empirica

El 1 de febrero de 2003 explotó el transbordador espacial Columbia. Éste fue el segundo desastre en 113 misiones espaciales de la NASA. Con base en esta información, ¿cuál es la probabilidad de que una futura misión concluya con éxito?

Este resultado sirve como aproximación de la probabilidad. En otras palabras, por experiencia, la probabilidad de que una futura misión del transbordador espacial concluya con éxito es de 0.98.

Enfoques para asignar probabilidades

Probabilidad subjetiva:

Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. En esencia, esto significa que un individuo evalúa las opiniones e información disponibles y luego calcula o asigna la probabilidad.

CONCEPTO SUBJETIVO DE PROBABILIDAD

Posibilidad (probabilidad) de un evento en particular que asigna un individuo a partir de cualquier información que encuentre disponible.

Ejemplo: Probabilidad subjetiva

1. Calcular la posibilidad de que los Patriotas de Nueva Inglaterra jueguen el Súper Tazón el año que viene.2. Calcular la posibilidad de que usted contraiga matrimonio antes de los 30 años. 3. Calcular la posibilidad de que el déficit presupuestario de Estados Unidos se reduzca a la mitad en los siguientes 10 años.

Reglas de la adición

Regla especial de la adición

Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de la adición establece que la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de sus probabilidades. Esta regla se expresa mediante la siguiente fórmula:

P(AoB)=P(A)+P(B)

Ejemplo de Regla especial de la adición

Una máquina automática llena bolsas de plástico con una combinación de frijoles, brócoli y otras verduras. La mayoría de las bolsas contiene el peso correcto, aunque, como consecuencia de la variación del tamaño del frijol y de otras verduras, un paquete podría pesar menos o más. Una revisión de 4 000 paquetes que se llenaron el mes pasado arrojó los siguientes datos:

¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en particular pese menos o pese más?

El resultado “pesa menos” es el evento A. El resultado “pesa más” es el evento C. Al aplicar la regla especial de la adición se tiene:

P(A o C) =P(A) + P(C) = .025 + 0.75 = .10

Observe que los eventos son mutuamente excluyentes, lo cual significa que un paquete de verduras mixtas no puede pesar menos, tener el peso satisfactorio y pesar más al mismo tiempo. Éstos también son colectivamente exhaustivos; es decir, que un paquete seleccionado debe pesar menos, tener un peso satisfactorio o pesar más.

Reglas de la adición

Regla del complemento

Se emplea para determinar la probabilidad de que un evento ocurra restando de 1 la probabilidad de un evento que no ha ocurrido. Esta regla es útil porque a veces es más fácil calcular la probabilidad de que un evento suceda determinando la probabilidad de que no suceda y restando el resultado de 1.

P(A)=1-P(A)

Diagrama de Venn

Usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos.

Ejemplo de Regla del Complemento

Recuerde que la probabilidad de que una bolsa de verduras mixtas pese menos es de 0.025 y la probabilidad de que pese más es de 0.075.

Aplique la regla del complemento para demostrar que la probabilidad de una bolsa con un peso satisfactorio es de 0.900. Muestre la solución en un diagrama de Venn.

La probabilidad de que la bolsa no tenga un peso satisfactorio es igual a la probabilidad de que tenga mayor peso más la probabilidad de que pese menos. Es decir que P(A o C)= P(A) + P(C) P(A o C)= 0.025 + 0.075= 0.100. La bolsa tiene un peso satisfactorio si no tiene menos peso ni más peso; así que: P(B)= 1 [P(A) + P(C)] P(B)= 1 -[0.025 + 0.075]= 0.900. El diagrama de Venn que representa este caso es el siguiente:

Reglas de la adición

Regla general de la adición

Los resultados de un experimento pueden no ser mutuamente excluyentes

PROBABILIDAD CONJUNTA

Probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos sucedan simultáneamente.

Esta regla para dos eventos designados A y B se escribe:

P(AoB)=P(A)+P(B)-P(AyB)

Ejemplo: Regla general de la adición

Florida Tourist Commission seleccionó una muestra de 200 turistas que visitaron el estado durante el año. La encuesta reveló que 120 turistas fueron a Disney World y 100 a Busch Gardens, cerca de Tampa. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada haya visitado Disney World o Busch Gardens?

Para responder cuál es la probabilidad de elegir a una persona que haya visitado Disney World o Busch Gardens. 1) Sume la probabilidad de que un turista haya visitado Disney World y la probabilidad de que haya visitado Busch Gardens. 2) Reste la probabilidad de que haya visitado ambas atracciones turísticas. Por consiguiente:

Solucion:

Para responder cuál es la probabilidad de elegir a una persona que haya visitado Disney World o Busch Gardens. 1) Sume la probabilidad de que un turista haya visitado Disney World y la probabilidad de que haya visitado Busch Gardens. 2) Reste la probabilidad de que haya visitado ambas atracciones turísticas. Por consiguiente:

Reglas de la multiplicación

Regla especial de la multiplicación

La regla especial de la multiplicación requiere que dos eventos, A y B, sean independientes, y lo son si el hecho de que uno ocurra no altera la probabilidad de que el otro suceda.

Si un evento ocurre, no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de que otro evento acontezca

INDEPENDENCIA

P(AyB)=P(A)*P(B)

En el caso de tres eventos independientes, A, B y C, la regla especial de la multiplicación que se utiliza para determinar la probabilidad de que los tres eventos ocurran es:

P(AyByC)=P(A)*P(B)*P(C)

Ejemplo: Reglas de la multiplicación

Una encuesta que llevó a cabo la American Automobile Association (AAA) reveló que el año pasado 60% de sus miembros hicieron reservaciones en líneas aéreas. Dos de ellos fueron seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hicieran reservaciones el año pasado?

Solucion:

La probabilidad de que el primero haya hecho una reservación el año pasado es de 0.60, que se expresa como P(R1)=0.60, en la que R1 representa el hecho de que el primer miembro hizo una reservación.

P(R1 y R2) =P(R1)P(R2)= (0.60)(0.60) =0.36

Reglas de la multiplicación

Regla general de la multiplicacion

Sirve para determinar la probabilidad conjunta de dos eventos cuando éstos no son independientes

Probabilidad de que un evento en particular ocurra, dado que otro evento haya acontecido.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

P(AyB)=P(A)*P(B/A)

Ejemplo: Regla general de la multiplicación

Un golfista tiene 12 camisas en su clóset. Suponga que 9 son blancas y las demás azules. Como se viste de noche, simplemente toma una camisa y se la pone. Juega golf dos veces seguidas y no las lava. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos camisas elegidas sean blancas?

TEORIA DEL CONTEO

Teoría del Conteo

Son utilizadas en Probabilidad y Estadística para determinar el número total de resultados y para enumerar eventos difíciles de cuantificar.​

Regla de la Multiplicación

Si un evento A se puede realizar de «m» formas diferentes y luego se puede realizar otro evento B de «n» formas diferentes, el número total de formas en que pueden ocurrir A y B es igual a m x n. Es decir, ambos eventos se realizan, primero uno y luego el otro. El «y» indica multiplicación.

Regla especial de la multiplicación P(A y B) = P(A)P(B)

Permutaciones

Combinaciones

Sirven para encontrar el espacio Muestral

Ejemplo de la Regla de la multiplicación

Supongamos que un restaurant ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De cuántas formas un cliente puede ordenar una comida?

Entradas

Postres

Plato principal

Se aplica el principio de multiplicación, por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas diferentes de ordenar una comida: 40 formas.

40

Permutaciones

Es una disposición de dichos elementos teniendo en cuenta el orden.El nro de permutaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k”

Ejemplo 1 regla de permutación

Eduardo, Carla y Sergio se han presentado a un concurso de pintura. El concurso otorga $200 al primer lugar y $100 al segundo. ¿De cuántas formas se pueden repartir los premios de primer y segundo lugar?

En este caso, si importa el orden, ya que no es lo mismo quedar en primer lugar que en segundo, además, los premios son diferentes. El número total de arreglos o formas lo calculamos con la fórmula:

Combinaciones

Es una selección de dichos elementos sin tener en cuenta el orden. El nro de combinaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k”

Ejemplo nro 1 de combinatoria

Un chef va a preparar una ensalada de verduras con tomate, zanahoria, papa y brócoli. ¿De cuántas formas se puede preparar la ensalada usando solo 2 ingredientes?

En este caso, no importa el orden

Tablas de Contingencia

Tablas de contingencias

Tabla que se utiliza para clasificar observaciones de una muestra, de acuerdo con dos o más características identificables.

En una clase de 35 alumnos hay 4 chicos zurdos, 20 chicas, y un total de 26 diestros. ¿Cuál es la probabilidad de ser chica, y diestra?

4 chicos

20 chicas

Variable 1: Alumnos Chicos y chicas P(A)=15/35 Variable 2: Condición: zurdos y diestros

Ejemplo

En la tabla se recoge el éxito en un examen de los alumnos dependiendo del tiempo dedicado al estudio Calcula las siguientes probabilidades

• Probabilidad de que un alumno apruebe
• Probabilidad de que un alumno le dedique poco tiempo y repruebe
• Probabilidad de que un alumno que le ha dedicado poco tiempo repruebe
• Probabilidad de que un alumno le dedique suficiente tiempo y repruebe
• Probabilidad de que un alumno que ha repruebe le haya dedicado suficiente tiempo

• Probabilidad de que un alumno apruebe
• Probabilidad de que un alumno le dedique poco tiempo y repruebe
• Probabilidad de que un alumno que le ha dedicado poco tiempo repruebe
• Probabilidad de que un alumno le dedique suficiente tiempo y repruebe
• Probabilidad de que un alumno que ha repruebe le haya dedicado suficiente tiempo

Ejemplo de tabla de contingencia

Se entrevistó a una muestra de ejecutivos respecto de su lealtad a la compañía. Una de las preguntas fue: si otra compañía le hace una oferta igual o le ofrece un puesto un poco mejor de que tiene ahora ¿permanecería con la compañía o aceptaría el otro puesto? A partir de las respuestas de los 200 ejecutivos que participaron en la encuesta se hizo una clasificación cruzada según el tiempo de servicio a la compañía ​

Solución del Ejemplo 1

Solución del Ejemplo 1

+ Info

Distribución de Probabilidad

¿Qué es una distribución de probabilidad?

Lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada a cada uno de ellos.

CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

• 1. La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1, inclusive.
• 2. Los resultados son eventos mutuamente excluyentes.
• 3. La lista es exhaustiva. Por lo tanto, la suma de las probabilidades de los diversos eventos es igual a 1.

Ejemplo de una distrubucion de probabilidad

Suponga que le interesa el número de caras que aparecen en tres lanzamientos de una moneda. Tal es el experimento. Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras y tres caras. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de caras?

Hay 8 posibles resultados. En el primer lanzamiento puede aparecer una cara, una cruz en el segundo y otra cruz en el tercero. O puede obtener cruz, cruz y cara, en ese orden. Estos resultados se listan en seguida.

Distribución de probabilidad de los eventos relativos a cero, una, dos y tres caras en tres lanzamientos de una moneda

Variables aleatorias

En cualquier experimento aleatorio, son los resultados se presentan al azar, no sabemos su comportamiento

• Si cuenta el número de empleados ausentes en el turno matutino del lunes, el número puede ser 0, 1, 2, 3,… El número de ausencias es una variable aleatoria.

• • Si pesa cuatro lingotes de acero, los pesos pueden ser de 2 492 libras, 2 497 libras, 2 506 libras, etc. El peso es una variable aleatoria.

• • Si lanza dos monedas y cuenta el número de caras, puede caer cero, una o dos caras.
• Como el número de caras que resulta de este experimento se debe al azar, el número de caras que caen es una variable aleatoria

DISCRETA: que adopta sólo valores claramente separados. Ejemplo: las calificaciones de los jueces por destreza técnica y formas artísticas en una competencia de patinaje artístico son valores decimales, como 7.2, 8.9 y 9.7.

Variable aleatoria

CONTINUA: Por otra parte, si la variable aleatoria es continua, es una distribución de probabilidad continua. Ejemplo: Los tiempos de los vuelos comerciales entre Atlanta y Los Ángeles son de 4.67 horas, 5.13 horas, etc. La variable aleatoria es la cantidad de horas.

Media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta

Media

La media de una distribución de probabilidad también recibe el nombre de valor esperado. Se trata de un promedio ponderado en el que los posibles valores de una variable aleatoria se mponderan con sus correspondientes probabilidades de ocurrir.La media de una distribución de probabilidad discreta se calcula con la fórmula:

Varianza y desviación estándar

Es el grado de dispersión (variación) en una distribución. La varianza sí lo hace. La fórmula de la varianza de una distribución de probabilidad es:

Los pasos para el cálculo son los siguientes:

Ejemplo

John Ragsdale vende automóviles nuevos en Pelican Ford. Por lo general, John vende la mayor cantidad de automóviles el sábado. Desarrolló la siguiente distribución de probabilidades de la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado.1. ¿De qué tipo de distribución se trata? 2. ¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal? 3. ¿Cuál es la varianza de la distribución?

1. ¿De qué tipo de distribución se trata?

Se trata de una distribución de probabilidad discreta de la variable aleatoria denominada número de automóviles vendidos. Observe que John sólo espera vender cierto rango de automóviles; no espera vender 5 automóviles ni 50. Además, no puede vender medio vehículo. Sólo puede vender 0, 1, 2, 3 o 4 automóviles. Asimismo, los resultados son mutuamente excluyentes: no puede vender un total de 3 y 4 automóviles el mismo sábado

2. ¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal?

La media de la cantidad de automóviles vendidos se calcula al multiplicar el número de automóviles que vendió por la probabilidad de vender dicho número, y sumar los productos de acuerdo con la fórmula

3. ¿Cuál es la varianza de la distribución?

Recuerde que la desviación estándar, es la raíz cuadrada positiva de la varianza. En este ejemplo es automóviles. ¿Cómo interpretar una desviación estándar de 1.136 automóviles? Si la vendedora Rita Kirsch también vendió un promedio de 2.1 automóviles los sábados y la desviación estándar de sus ventas fue de 1.91 automóviles, concluiría que hay más variabilidad en las ventas sabatinas de Kirsch que en las de Ragsdale (pues 1.91 es mayor 1.136).

¡Muchas Gracias!