La résolution de problèmes mathématiques au cours moyen

RMC Limoux et Carcassonne 1&3

PLAN

• Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

• Qu'est-ce que résoudre un problème ?

• Identifier les obstacles à la résolution de problèmes pour les élèves

• Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

• De l'école au collège

Quels problèmes apprendre à résoudre au cours moyen ?

Une catégorisation en trois types de problèmes

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Les problèmes en une étape

les problèmes additifs il va falloir additionner ou soustraire deux nombres, ou plus, de l'énoncé.

les problèmes multiplicatifs il va falloir multiplier ou diviser deux nombres de l'énoncé.

• Les problèmes de parties-tout

• Les problèmes de comparaison

• Les problèmes dans lesquels une même grandeur apparait un certain nombre fois

• Les problèmes mettant en jeu une comparaison multiplicative

• Les problèmes mettant en jeu un produit cartésien

• Les problèmes mettant en jeu un produit de deux grandeurs

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Les problèmes en plusieurs étapes

Ce sont les problèmes qui vont se traiter comme une succession de problème à une étape, chacune déterminant des éléments intermédiaires qui vont permettre d'aboutir à la solution recherchée.

La difficulté des problèmes en plusieurs étapes n’est pas la simple somme des difficultés des sous-problèmes en une étape qui les composent. En effet, à cette somme s’ajoute la difficulté de la mise en relation de ces différents sous-problèmes élémentaires.

Les problèmes en plusieurs étapes, étant donné leur variété, obligent les élèves à élaborer leur propre stratégie conduisant à renforcer leurs habiletés de résolution de problèmes qui s’appuient notamment sur les connaissances développées en résolvant des problèmes en une étape : comprendre l’énoncé, chercher pour modéliser (faire des analogies, faire un schéma, faire des essais, expérimenter, essayer en remplaçant certaines valeurs numériques par d’autres plus simples, etc.), calculer et répondrepes va permettre de renforcer les habiletés de résolution de problèmes en une étape.

Les problèmes en plusieurs étapes permettent aussi au professeur de mieux évaluer les compétences développées par les élèves, en limitant les faux positifs, c’est-à-dire les bonnes réponses obtenues par hasard ou encore en s’appuyant sur autre chose que la compréhension de la situation

La résolution des problèmes en plusieurs étapes va permettre de renforcer les habiletés de résolution de problèmes en une étape.

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Les problèmes atypiques

Les problèmes algébriques

Les problèmes d'optimisation

Les problèmes préparant à l'utilisation d'algorithmes

Les problèmes de dénombrement

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Qu'est-ce que résoudre un problème ?

Un processus en quatre phases qui ne se succèdent pas de manière stricte, mais qui sont en interaction permanente.

. Comprendre . Modéliser . Calculer . Répondre

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COMPRENDRE

L'élève doit comprendre l'histoire que raconte le problème. A cela s'ajoute une compréhension spécifique aux problèmes mathématiques: comprendre la question, identifier précisément ce qui est cherché.

La question

Compréhension fine

Qu’est-ce que l’on cherche ? Quelle est la nature de ce que l’on cherche ?

Cohérence locale

Cohérence globale

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Modéliser

L'élève doit traduire la situation comprise, l'histoire qui se situe dans le monde réel, dans un format pertinent sur le plan mathématique (par exemple un tout composé de parties) permettant de déduire des opérations mathématiques à effectuer pour répondre à la question posée.

Chercher

représenter

Modèle mathématique retenu pour résoudre l'énoncé

Situation comprise à partir d'un énoncé

Un exemple

Modéliser

raisonner

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Modéliser

Un exemple

représenter

Chercher

Un garçon veut acheter deux bouteilles de jus de fruit mais n’a pas assez d’argent; le prix des deux bouteilles peut être déterminé par l’addition 1,87 zed + 3,79 zeds, et la sommed’argent supplémentaire dont Julien a besoin (vue comme un écart ou comme un reste après un retrait selon la représentation de la situation que se fait l’élève), peut être calculée en soustrayant 4 zeds à la somme obtenue.Un schéma en barres correspondant à la situation de comparaison proposée :

Une bouteille de jus de pomme coûte 1,87 zed. Une bouteille de jus d’orange coûte 3,29 zeds. Julien a 4 zeds. Combien de zeds Julien doit-il avoir en plus pour acheter les deux bouteilles ?

Modéliser

raisonner

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Calculer

Il s'agit de la réalisation des calculs correspondant à la suite d'opérations découlant de la modélisation.

Identifier les nombres en jeu dans l'énoncé quelle que soit leur écriture

Disposer des connaissances et compétences techniques pour effectuer les calculs attendus

Ces calculs peuvent être réalisés soit mentalement, soit en ligne, soit en posant les calculs.

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répondre

Souvent réduite à la demande d'écriture d'une phrase respectant les canons usuels, la réflexion sur la cohérence de la réponse est régulièrement négligée.

Considérer les calculs effectués

Interpréter le ou les résultats trouvés

Communiquer la réponse de façon compréhensible par tous

Régulation par rapport à la situation comprise initialement

- la réponse apportée répond bien à la question posée - la réponse est cohérente avec le contexte du problème (ordre de grandeur, réalisme de la solution)

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Identifier les obstacles à résolution de problème pour les élèves

la structure mathématique du problème

le texte de l'énoncé du problème

le champ numérique

Pour construire des séquences et des séances d’enseignement de la résolution de problèmes, le professeur prend en compte ces trois sources de difficultés pour organiser :— la progressivité des apprentissages des élèves ; — la différenciation des tâches proposées ; — l’accompagnement des élèves en difficulté.

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Identifier les obstacles à résolution de problème pour les élèves

la structure mathématique du problème

- les problèmes atypiques sont plus difficiles à traiter pour les élèves que les problèmes à étapes.

- plus les étapes sont nombreuses plus la difficulté est importante.

- le nombre d'étapes n'est toutefois pas le seul facteur de difficulté

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Identifier les obstacles à résolution de problème pour les élèves

le texte de l'énoncé du problème

- le degré de familiarité de l'élève avec l'environnement du problème.

- la longueur et la forme de l'énoncé

- la présence ou non d'illustrations

-la présence d'éléments superflus

-le lexique et enparticulier celui spécifique aux mathématiques

-les mots clés de l'énoncé (plus, moins, fois, etc) concordant ou non avec la modélisation

-l'inscription ou non dans le champ de validité de la conception intuitive des opérations

-un scénario, évoqué par l'énoncé, facilitant ou non la perception des relations mathématiques en jeu

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Identifier les obstacles à résolution de problème pour les élèves

le champ numérique

- nature ou écriture des nombres

- nombre de chiffres que comporte l'écriture de ces nombres

- les nombres sont des mesures données dans des unités différentes

- rapports des nombres entre eux (problèmes multiplicatifs)

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Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

Apprendre aux élèves à ne pas être déstabiliséspar des problèmes nouveaux, non rencontrésprécédemment, et développer chez eux des habilités en résolution de problèmes : il s’agit de leur permettre d’aborder ces problèmes nouveaux en ayant confiance en leur aptitude à les résoudre, en inhibant certains réflexes inadaptés qui les conduiraient à une réponse erronée et en apprenant à tirer parti de l’ensemble des problèmes résolus antérieurement.

Faire acquérir aux élèves des stratégies efficacesde résolution de problèmes, adaptées à des formes de problèmes bien identifiées rencontrées au cours moyen, et des quasi-automatismes permettant de mobiliser aisément et à bon escient ces stratégies en s’appuyant sur la mémoire des problèmes résolus précédemment.

Fixer collectivement des objectifs - Quels problèmes? - Quelles stratégies?

Construire une progression partagée - liste de problèmes - des objectifs précis - les attendus concernant la compétence "représenter"

Points de vigilance et propositionspour construire une séquence en résolution de problèmes

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Points de vigilance et propositionspour construire une séquence en résolution de problèmes

--> Rendre visibles les objectifs de la séquence dès la première séance

--> Laisser les élèves résoudre des problèmes tout en les accompagnantLimiter les échanges sur le problème en amont de sa résolution

Eviter les séances centrées sur des sous-tachesEviter d'être surmobilisé par les élèves les plus en réussiteEviter les prises de parole trop fréquentes sur les temps dédiés à la résolution individuelleEviter les temps de mise en commun trop longs

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Points de vigilance et propositionspour construire une séquence en résolution de problèmes

--> Développer des quasi-automatismes féconds tout en apprenant à inhiber ceux qui sont contre-productifs

--> Tirer profit des outils numériques

--> Différencier pour permettre à tous les élèves de progresser

Agir sur la structure mathématique sous-jacente, le texte du problème, le champ numérique

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Points de vigilance et propositionspour construire une séquence en résolution de problèmes

--> S’appuyer sur l’institutionnalisation Veiller à ce que ces problèmes types proposés en institutionnalisation restent en nombre limité pour que l’outil soit véritablement opérationnel

--> Faire apparaître des structures mathématiques partagées entre les problèmesL’usage des schémas renforce cette possibilité de mise en évidence des structures communes

--> S’appuyer sur l’évaluation pour renforcer les apprentissages

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Questions que l'on se pose sur l’organisation de l’enseignement de la résolution de problèmes

Combien de problèmes faut-il traiter chaque semaine ?

Faut-il des séances spécifiques pour la résolution de problèmes dans l’emploi du temps ?

À quelle fréquence doit-on travailler la résolution de problèmes ?

Doit-on faire créer des problèmes aux élèves ?

Faut-il un cahier spécifique pour la résolution de problèmes ?

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Doit-on proposer aux élèves de travailler en groupes en résolution de problèmes ?

La manipulation est-elle obligatoire au CM? Quel matériel utiliser ?

Quelles traces garder des activités de résolution de problèmes ?

Où peut-on trouver des banques de problèmes ?

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Enseigner explicitement des méthodes de représentation efficaces pour modéliser

Les stratégies de recherche pour résoudre un problème et en particulier pour le modéliser peuvent être variées : commencer en traitant un problème plus simple, faire des essais et vérifier ce que cela donne, essayer de lister toutes les solutions possibles, etc. Cependant une aide importante peut être obtenue, dans la plupart des cas, en effectuant un schéma.

Les schémas proposant un déplacement sur une droite numérique ou une ligne du temps

Les schémas en barres

Continuité avec ce qui est proposé dans le guide Les nombres, le calcul et la résolution de problèmes au CP, et de faire le lien avec les manipulations menées.

Les schémas s’appuyant sur une ligne numérique sont particulièrement efficaces pour soutenir la résolution de problèmes liés à des évolutions d’une grandeur dans le temps ou à des déplacements dans l’espace, ou de façon plus générale des problèmes avec des transformations.

Pour en savoir plus sur la modélisation en barre Ressource 1

Ressource 2

Les arbres

Les arbres peuvent également se révéler intéressants lors de la résolution de problèmes pour lesquels on cherche à dresser une liste exhaustive des solutions possibles,par exemple pour des arrangements ou des combinaisons des éléments d’un ensemble.

Les tableaux

Des tableaux peuvent être utilisés pour illustrer des problèmes où une même quantité est répétée à l’identique plusieurs fois.

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de l'école au collège : la liaison CM2-6ème

La résolution de problèmes continue d’occuper une place centrale dans l’enseignement des mathématiques au collège. Le travail mené en résolution de problèmes au cours moyen permet de faire acquérir aux élèves les connaissances et compétences nécessaires pour aborder sereinement les problèmes qu’ils devront résoudre en dernière année de cycle 3, puis au cycle 4. Les stratégies acquises et les outils que les élèves ont appris à utiliser, notamment pour effectuer des représentations permettant de soutenir la résolution de problèmes, continueront à leur être utiles tout au long du collège, en particulier pour accompagner et renforcer le travail mené en algèbre.

Utilisation des schémas en barres pour des problèmes de fractions, de pourcentages ou de ratios

Utilisation des chémas en barres pour illustrer des problèmes algébriques

Exemples d'utilisation au collège des représentations schématiques introduites au cours moyen

Exemples de problèmes pouvant avoir été résolus au cours moyen

Utilisation de tableaux

Utilisation d'arbres

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