Modelación matemática intermedia parte 1

Dr. Gerardo Rocha Feregrino

Modelación matemática intermedia

EMPEZAR

CONTENIDO

da clic en cada tema

5. PLANO TANGENTE

1. Funciones y curvas de nivel

2. Derivada parcial

6. Gradiente y derivada direccional

3. Regla de la cadena

7. Curvas ortogonales

4. Diferencial total

8. mÁXIMO CAMBIO

FUNCIONES Y CURVAS DE NIVEL

funciones

Evaluar una función de varias variables. Identificar el gráfico de la función.

curvas de nivel

Comprender el significado y utilidad de las curvas de nivel.

Ve las curvas de nivel aquí. Mueve el deslizador

regresar

derivada parcial

Derivada parcial

Cálculo de derivadas parciales de primer y segundo orden.

interpretación de la derivada

Interpretar física y geométricamente una derivada parcial.

teorema de clairaut

regresar

regla de la cadena

Al igual que en el caso de funciones de una variable, al trabajar con varias variables, podemos encontrarnos con funciones que son composiciones de dos o más funciones. Esto es, una función puede tener como variables a u y v, las cuales a su vez pueden depender de una o dos variables más.

ejemplo

regresar

diferencial total

ejemplo de diferencial total

Resuelve el siguiente problema

El radio de la base de un cono circular recto es 10 cm y la altura 25 cm se con un posible error de medición de hasta 0.1 cm en cada uno. Use diferenciales para estimar el error máximo en el volumen calculado del cono. (El volumen de un cono es 𝑉=1/3 𝜋𝑟^2 ℎ)

regresar

Respuesta: el error máximo en el volumen calculado es de alrededor de 20𝜋≈63 𝑐𝑚3

ejemplo regla de la cadena

ejemplo

• Observa que las razones de cambio proporcionadas son respectivamente 𝑑𝑇/𝑑𝑡=0.1 y 𝑑𝑉/𝑑𝑡=0.2.
• La presión está dada por: 𝑃=8.31 𝑇/𝑉
• De manera que, por la regla de la cadena: 𝜕𝑃/𝜕𝑡=𝜕𝑃/𝜕𝑇 𝜕𝑇/𝜕𝑡+𝜕𝑃/𝜕𝑉 𝜕𝑉/𝜕𝑡
• 𝜕𝑃/𝜕𝑇=8.31/𝑉 𝜕𝑃/𝜕𝑉=−8.31𝑇/𝑉^2
• Sustituyendo:
• 𝜕𝑃/𝜕𝑡=8.31/100 (0.1)−8.31(300)/100^2 (0.2)=−0.04155

La presión baja a razón de alrededor de 0.042 kPa/s

La presión P (en kilopascales), volumen V (en litros) y temperatura T (en grados Kelvin) de un mol de un gas ideal se relacionan por la ecuación 𝑃𝑉=8.31𝑇. Determine la razón a la que cambia la presión cuando la temperatura es de 300 K y aumenta a razón de 0.1 K/s y el volumen es 100 L y aumenta a razón de 0.2 L/s. Utilice 𝑡 para el tiempo transcurrido en segundos.

regresar

plano tangente

regresar

gradiente y derivada direccional

ejemplo

Haciendo uso del gradiente, determine la derivada direccional de la función 𝑓(𝑥, 𝑦)=𝑥2 𝑦3−4𝑦 el punto (2, –1) en la dirección del vector 𝐯=2𝐢+5𝐣.

regresar

Recuerda

curvas ortogonales

ejemplo

regresar

La temperatura en un punto arbitrario (x, y) de una placa, en donde hemos colocado un sistema coordenado cartesiano, está dada por la fórmula 𝑻(𝒙, 𝒚)=𝟒𝒙𝟐+𝒚𝟐 en °C.

Determina la ecuación de la trayectoria del flujo de calor y dibújala

solución

solución curvas ortogonales

solución

Curvas de nivel

dibujo

Esta es la ecuación de la trayectoria de mayor incremento (de temperatura)

regresar

regresar

Máximo cambio

El valor máximo de la derivada direccional 𝐃_𝐮 ⃗ 𝐟(𝐱𝟎, 𝐲𝟎 ) se obtiene cuando el vector de dirección 𝐮 tiene la misma dirección que el vector gradiente ∇𝐟(𝐱𝟎,𝐲𝟎 ).

Tal valor máximo es igual a la magnitud del vector gradiente: ‖∇𝐟(𝐱_𝟎,𝐲_𝟎 )‖.

El valor mínimo de la derivada direccional en el punto (x0,y0) es −‖∇𝐟(𝐱_𝟎,𝐲_𝟎 )‖ y ocurre cuando el vector de dirección dirección 𝐮 ⃗ tiene la dirección opuesta al vector gradiente ∇𝐟(𝐱𝟎, 𝐲𝟎 ).

ejemplo

regresar

Ejemplo:

Suponga que está subiendo una colina cuya forma está dada por la ecuación 𝑧=1100−0.005𝑥2−0.01𝑦2, donde 𝑥 , 𝑦 y 𝑧 se miden en metros y usted se encuentra en un punto con coordenadas (100, 120, 1006). El eje 𝑥 positivo apunta al este y el eje 𝑦 positivo apunta al norte.

¿En qué dirección es mayor la pendiente? ¿Cuál es la velocidad de ascenso en esa dirección? ¿En qué ángulo por encima de la horizontal comienza el camino en esa dirección?

Respuesta:

La dirección de la mayor pendiente es ∇𝑓(100, 120)=⟨−1, −2. 4⟩. Con una tasa de ascenso de|∇𝑓(100, 120)|=√((−1)^2+(−2.4)^2 )=2.6 metros verticales por cada metro horizontal. El ángulo sobre la horizontal en el que comienza el camino viene dado por tan⁡𝜃=2.6 Por lo que 𝜃=tan^(−1)⁡2.6=𝟔𝟖.𝟗𝟔°

fin

ya estás list@

¡Éxito!