CHAPITRE
La réciproque du théorème de Pythagore
Réalisé par R. Fournel
SOMMAIRE
La contraposée du théorème de Pythagore
La réciproque du théorème de Pythagore
Qu'est-ce qu'une réciproque ?
Une réciproque est-elle toujours vraie ?
Qu'est-ce qu'une contraposée ?
Qu'est-ce qu'une réciproque ?
page 1
- 1 -
VoicI une phrase (à pression atmosphérique 1):
proposition 1
proposition 2
Si l'eau est à plus de 100°C alors l'eau bout.
VoicI LA Réciproque de cette phrase :
proposition 1
proposition 2
Si l'eau bout alors
l'eau est à plus de 100°C.
Pour ecrire la réciproque d'une phrase il faut inverser les 2 propositions.
Cette réciproque est vraie !
Qu'est-ce qu'une réciproque ?
page 2
- 2 -
VoicI une phrase (on admet qu'il s'agit d'un polygône) :
proposition 1
proposition 2
Si j'ai 4 côtés alors je suis un quadrilatère.
ECRIRE LA Réciproque de cette phrase :
Cette réciproque est-ELLE vraie ?
Qu'est-ce qu'une réciproque ?
page 3
- 2 -
VoicI une phrase (on admet qu'il s'agit d'un polygône) :
proposition 1
proposition 2
Si j'ai 4 côtés alors je suis un quadrilatère.
VoicI LA Réciproque de cette phrase :
proposition 2
proposition 1
Si je suis un quadrilatère alors
j'ai 4 côtés.
Cette réciproque est vraie !
Est-ce qu'une réciproque est toujours vraie?
page 4
- 1 -
VoicI une phrase :
proposition 1
proposition 2
Si je suis un chat alors j'ai 4 pattes.
ECRIRE LA Réciproque de cette phrase :
Cette réciproque est-ELLE vraie ?
Est-ce qu'une réciproque est toujours vraie?
page 5
- 1 -
VoicI une phrase :
proposition 1
proposition 2
Si je suis un chat alors j'ai 4 pattes.
VOICI LA Réciproque de cette phrase :
proposition 1
proposition 2
je suis un chat.
Si j'ai 4 pattes alors
Cette réciproque N'est pas toujours vraie ! En EFFET, si j'ai 4 pattes je ne suis pas forcément un chat ! Je suis peut-être un chien ! Ou une giraFe !
Est-ce qu'une réciproque est toujours vraie?
page 6
- 2 -
VoicI une phrase :
proposition 1
proposition 2
Si je suis un 4e alors j'ai des cours de Maths .
ECRIRE LA Réciproque de cette phrase :
Cette réciproque est-ELLE vraie ?
Est-ce qu'une réciproque est toujours vraie?
page 7
- 2 -
VoicI une phrase :
proposition 1
proposition 2
Si je suis un 4e alors j'ai des cours de Maths .
VOICI LA Réciproque de cette phrase :
proposition 2
proposition 1
je suis en 4e.
Si j'ai des cours de Maths alors
Cette réciproque N'est pas toujours vraie ! En EFFET, si j'ai des cours de maths je ne suis pas forcément en 4e ! Je suis peut-être en 5e ! Ou en primaire !
La réciproque du théorème de Pythagore
page 8
VoicI Le théorème de pythagore :
proposition 1
proposition 2
alors
Si ABC est un triangle rectangle en A BC²=AB²+AC²
hypotènuse
ECRIRE LA Réciproque du théorème de pythagore :
A ton avis Cette réciproque EST-ELLE VRAIE ?
La réciproque du théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
proposition 1
proposition 2
alors
Si ABC est un triangle rectangle en A BC²=AB²+AC²
hypotènuse
Réciproque du théorème de Pythagore
proposition 2
proposition 1
Si BC²=AB²+AC² alors ABC est un triangle rectangle en A.
La réciproque du théorème de Pythagore sert à prouver qu'un triangle est rectangle.
page 9
La réciproque de Pythagore est vraie. En effet, déplace les points observe :
page 10
page 11
Exemple :
Le triangle FED est-il rectangle ?
Le plus grand côté est FE.
SOLUTION :
D'autre part : FD² + DE²= 4² + 3² =16 + 9 = 25
D'une part : FE² = 5² = 25
On a FE² = FD² + DE²Donc d'après la réciproque de Pythagore le triangle FED est rectangle en D.
page 12
Le triplet pythagoricien:
De l'Antiquité ...
à nos jours ...
page 13
Exemple :
Le triangle ABC est-il rectangle ?AB = 6cm, AC = 7,5cm, BC = 4,5cm.
Le plus grand côté est ...
SOLUTION :
D'autre part :
D'une part :
On a ............................Donc d'après .......................................... le triangle ... est ...................... en ...
page 14
Exemple :
Le triangle ABC est-il rectangle ?AB = 6cm, AC = 7,5cm, BC = 4,5cm.
Le plus grand côté est AC.
SOLUTION :
D'autre part : AB² + BC² =6² + 4,5² =36 + 20,25 =56,25
D'une part : AC² = 7,5² = 56,25
On a AC² = AB² + BC²Donc d'après la réciproque de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B.
Qu'est-ce qu'une contraposée ?
page 15
- 1 -
VoicI une phrase :
proposition 2
proposition 1
Si j'ai 18 ans alors je suis une adulte .
VOICI LA contraposée de cette phrase :
négation proposition 2
négation proposition 1
Si je ne suis pas une adulte alors
je n'ai pas 18 ans.
Pour ecrire la contraposéee d'une phrase il faut inverser les 2 propositions et les mettre à la forme négative.
UNE contraposée est toujours vraie !
Qu'est-ce qu'une contraposée ?
page 16
- 2 -
VoicI une phrase :
proposition 1
proposition 2
alors mon diamètres est de 4cm .
Si je suis un cercle de rayon 2cm
ECRIRE LA contraposée de cette phrase :
UNE contraposée est toujours vraie !
Qu'est-ce qu'une contraposée ?
page 17
- 2 -
VoicI une phrase :
proposition 1
proposition 2
Si je suis un cercle de rayon 2cm
alors mon diamètres est de 4cm.
ECRIRE LA contraposée de cette phrase :
négation proposition 2
Si mon diamètre n'est pas de 4cm alors
négation proposition 1
je ne suis pas un cercle de rayon 2cm.
UNE contraposée est toujours vraie !
La contraposée du théorème de Pythagore
page 18
VoicI Le théorème de pythagore :
proposition 1
proposition 2
Si ABC est un triangle rectangle en A
alors BC²=AB²+AC²
hypotènuse
ECRIRE LA contraposée du théorème de pythagore :
UNE contraposée est toujours vraie !
La contraposée du théorème de Pythagore
page 19
VoicI Le théorème de pythagore :
proposition 1
proposition 2
Si ABC est un triangle rectangle en A
alors BC²=AB²+AC²
hypotènuse
LA contraposée du théorème de pythagore EST:
négation proposition 2
négation proposition 1
Si BC²≠AB²+AC² alors
le triangle n'est pas rectangle en A.
UNE contraposée est toujours vraie !
page 20
Exemple1 :
Le triangle SUT est-il rectangle ?
Le plus grand côté est ST.
SOLUTION :
D'autre part : SU² + TU²= 2,3² + 9,2² = 5,29 + 84,64 =89,93
D'une part : ST² = 9,5² = 90,95
On a ST² ≠ SU² + TU²Donc d'après la contraposée de Pythagore le triangle SUT n'est pas rectangle en U.
page 21
Exemple 2 :
Le triangle ABC est-il rectangle ?DB = 8cm, BC = 7cm, DC = 11cm.
Le plus grand côté est ...
SOLUTION :
D'autre part :
D'une part :
On a ............................Donc d'après .......................................... le triangle ...........................................
page 22
Exemple 2 :
Le triangle ABC est-il rectangle ?DB = 8cm, BC = 7cm, DC = 11cm.
Le plus grand côté est DC.
SOLUTION :
D'autre part : BD² + BC² = 8² + 7² = 64 + 49 = 113
D'une part : DC² = 11² = 121
On a DC² ≠ BD² + BC²Donc d'après la contraposée de Pythagore le triangle BDC n'est pas rectangle en B.
Fin
4e réciproque Pythagore
roxana.manea
Created on March 9, 2022
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CHAPITRE
La réciproque du théorème de Pythagore
Réalisé par R. Fournel
SOMMAIRE
La contraposée du théorème de Pythagore
La réciproque du théorème de Pythagore
Qu'est-ce qu'une réciproque ?
Une réciproque est-elle toujours vraie ?
Qu'est-ce qu'une contraposée ?
Qu'est-ce qu'une réciproque ?
page 1
- 1 -
VoicI une phrase (à pression atmosphérique 1):
proposition 1
proposition 2
Si l'eau est à plus de 100°C alors l'eau bout.
VoicI LA Réciproque de cette phrase :
proposition 1
proposition 2
Si l'eau bout alors
l'eau est à plus de 100°C.
Pour ecrire la réciproque d'une phrase il faut inverser les 2 propositions.
Cette réciproque est vraie !
Qu'est-ce qu'une réciproque ?
page 2
- 2 -
VoicI une phrase (on admet qu'il s'agit d'un polygône) :
proposition 1
proposition 2
Si j'ai 4 côtés alors je suis un quadrilatère.
ECRIRE LA Réciproque de cette phrase :
Cette réciproque est-ELLE vraie ?
Qu'est-ce qu'une réciproque ?
page 3
- 2 -
VoicI une phrase (on admet qu'il s'agit d'un polygône) :
proposition 1
proposition 2
Si j'ai 4 côtés alors je suis un quadrilatère.
VoicI LA Réciproque de cette phrase :
proposition 2
proposition 1
Si je suis un quadrilatère alors
j'ai 4 côtés.
Cette réciproque est vraie !
Est-ce qu'une réciproque est toujours vraie?
page 4
- 1 -
VoicI une phrase :
proposition 1
proposition 2
Si je suis un chat alors j'ai 4 pattes.
ECRIRE LA Réciproque de cette phrase :
Cette réciproque est-ELLE vraie ?
Est-ce qu'une réciproque est toujours vraie?
page 5
- 1 -
VoicI une phrase :
proposition 1
proposition 2
Si je suis un chat alors j'ai 4 pattes.
VOICI LA Réciproque de cette phrase :
proposition 1
proposition 2
je suis un chat.
Si j'ai 4 pattes alors
Cette réciproque N'est pas toujours vraie ! En EFFET, si j'ai 4 pattes je ne suis pas forcément un chat ! Je suis peut-être un chien ! Ou une giraFe !
Est-ce qu'une réciproque est toujours vraie?
page 6
- 2 -
VoicI une phrase :
proposition 1
proposition 2
Si je suis un 4e alors j'ai des cours de Maths .
ECRIRE LA Réciproque de cette phrase :
Cette réciproque est-ELLE vraie ?
Est-ce qu'une réciproque est toujours vraie?
page 7
- 2 -
VoicI une phrase :
proposition 1
proposition 2
Si je suis un 4e alors j'ai des cours de Maths .
VOICI LA Réciproque de cette phrase :
proposition 2
proposition 1
je suis en 4e.
Si j'ai des cours de Maths alors
Cette réciproque N'est pas toujours vraie ! En EFFET, si j'ai des cours de maths je ne suis pas forcément en 4e ! Je suis peut-être en 5e ! Ou en primaire !
La réciproque du théorème de Pythagore
page 8
VoicI Le théorème de pythagore :
proposition 1
proposition 2
alors
Si ABC est un triangle rectangle en A BC²=AB²+AC²
hypotènuse
ECRIRE LA Réciproque du théorème de pythagore :
A ton avis Cette réciproque EST-ELLE VRAIE ?
La réciproque du théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
proposition 1
proposition 2
alors
Si ABC est un triangle rectangle en A BC²=AB²+AC²
hypotènuse
Réciproque du théorème de Pythagore
proposition 2
proposition 1
Si BC²=AB²+AC² alors ABC est un triangle rectangle en A.
La réciproque du théorème de Pythagore sert à prouver qu'un triangle est rectangle.
page 9
La réciproque de Pythagore est vraie. En effet, déplace les points observe :
page 10
page 11
Exemple :
Le triangle FED est-il rectangle ?
Le plus grand côté est FE.
SOLUTION :
D'autre part : FD² + DE²= 4² + 3² =16 + 9 = 25
D'une part : FE² = 5² = 25
On a FE² = FD² + DE²Donc d'après la réciproque de Pythagore le triangle FED est rectangle en D.
page 12
Le triplet pythagoricien:
De l'Antiquité ...
à nos jours ...
page 13
Exemple :
Le triangle ABC est-il rectangle ?AB = 6cm, AC = 7,5cm, BC = 4,5cm.
Le plus grand côté est ...
SOLUTION :
D'autre part :
D'une part :
On a ............................Donc d'après .......................................... le triangle ... est ...................... en ...
page 14
Exemple :
Le triangle ABC est-il rectangle ?AB = 6cm, AC = 7,5cm, BC = 4,5cm.
Le plus grand côté est AC.
SOLUTION :
D'autre part : AB² + BC² =6² + 4,5² =36 + 20,25 =56,25
D'une part : AC² = 7,5² = 56,25
On a AC² = AB² + BC²Donc d'après la réciproque de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B.
Qu'est-ce qu'une contraposée ?
page 15
- 1 -
VoicI une phrase :
proposition 2
proposition 1
Si j'ai 18 ans alors je suis une adulte .
VOICI LA contraposée de cette phrase :
négation proposition 2
négation proposition 1
Si je ne suis pas une adulte alors
je n'ai pas 18 ans.
Pour ecrire la contraposéee d'une phrase il faut inverser les 2 propositions et les mettre à la forme négative.
UNE contraposée est toujours vraie !
Qu'est-ce qu'une contraposée ?
page 16
- 2 -
VoicI une phrase :
proposition 1
proposition 2
alors mon diamètres est de 4cm .
Si je suis un cercle de rayon 2cm
ECRIRE LA contraposée de cette phrase :
UNE contraposée est toujours vraie !
Qu'est-ce qu'une contraposée ?
page 17
- 2 -
VoicI une phrase :
proposition 1
proposition 2
Si je suis un cercle de rayon 2cm
alors mon diamètres est de 4cm.
ECRIRE LA contraposée de cette phrase :
négation proposition 2
Si mon diamètre n'est pas de 4cm alors
négation proposition 1
je ne suis pas un cercle de rayon 2cm.
UNE contraposée est toujours vraie !
La contraposée du théorème de Pythagore
page 18
VoicI Le théorème de pythagore :
proposition 1
proposition 2
Si ABC est un triangle rectangle en A
alors BC²=AB²+AC²
hypotènuse
ECRIRE LA contraposée du théorème de pythagore :
UNE contraposée est toujours vraie !
La contraposée du théorème de Pythagore
page 19
VoicI Le théorème de pythagore :
proposition 1
proposition 2
Si ABC est un triangle rectangle en A
alors BC²=AB²+AC²
hypotènuse
LA contraposée du théorème de pythagore EST:
négation proposition 2
négation proposition 1
Si BC²≠AB²+AC² alors
le triangle n'est pas rectangle en A.
UNE contraposée est toujours vraie !
page 20
Exemple1 :
Le triangle SUT est-il rectangle ?
Le plus grand côté est ST.
SOLUTION :
D'autre part : SU² + TU²= 2,3² + 9,2² = 5,29 + 84,64 =89,93
D'une part : ST² = 9,5² = 90,95
On a ST² ≠ SU² + TU²Donc d'après la contraposée de Pythagore le triangle SUT n'est pas rectangle en U.
page 21
Exemple 2 :
Le triangle ABC est-il rectangle ?DB = 8cm, BC = 7cm, DC = 11cm.
Le plus grand côté est ...
SOLUTION :
D'autre part :
D'une part :
On a ............................Donc d'après .......................................... le triangle ...........................................
page 22
Exemple 2 :
Le triangle ABC est-il rectangle ?DB = 8cm, BC = 7cm, DC = 11cm.
Le plus grand côté est DC.
SOLUTION :
D'autre part : BD² + BC² = 8² + 7² = 64 + 49 = 113
D'une part : DC² = 11² = 121
On a DC² ≠ BD² + BC²Donc d'après la contraposée de Pythagore le triangle BDC n'est pas rectangle en B.
Fin