FUNCIONES ELEMENTALES - MÓDULO DIDÁCTICO

Funciones Matemáticas

Definiciones y conceptos generalesFunciones elementales

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@profmgubaro

Recorrido

Conceptos generales y representaciones; funciones elementales; ejemplos

Función cuadrática

Función lineal

Conceptos generales

Función exponencial

Función logarítmica

Función de proporcionalidad inversa

Funciones: conceptos generales y representaciones

Las funciones, como modelos matemáticos, permiten describir situaciones de variada naturaleza. En los apartados siguientes veremos los conceptos y características principales de las mismas y los diferentes modos de representación. Recordaremos también funciones elementales y sus aspectos más destacados.

Una función de A en B es una relación que asocia a cada elemento x del conjunto A (conjunto de partida) con uno y sólo uno elemento y del conjunto B (conjunto de llegada), llamado su imagen.En símbolos matemáticos: la relación f: A → B es una función si y sólo si para todo x ε A, existe un único y ε B que es su imagen, esto es: .

y = f(x)

Dominio e imagen de la función

El dominio de la función (Domf) está formado por los valores de la variable independiente para los cuales la función está definida; el rango (también llamado imagen), está formado por los que toma la variable dependiente

ejemplo

Se puede decir que una función tiene tres partes: una entrada, una regla y una salida. La regla combina una entrada con su salida única. Así, cada entrada es un elemento del dominio de la función y las salidas que la regla genera componen el rango de la función

La función relaciona los lados del rectángulo con el valor de su área

Relacionamos

desafío 1

A fin de afianzar los conceptos de dominio e imagen, les propongo aplicarlos en el desafío a continuación:

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Representación de funciones

Una función se puede expresar de diversos modos. Se puede definir a través de: • Una expresión verbal • Una tabla acompañada de una explicación • Un gráfico cartesiano • Una fórmula que la define

Ejemplo: Una compañía de teléfonos cobra un abono mensual de $20,00 y por cada minuto de una comunicación interurbana cobra $0,06. Analizando la expresión verbal de esta función, encontramos: • variable independiente: minutos de comunicación • variable dependiente: costo de la factura por el servicio mensual A partir de la relación funcional entre las variables podemos generar una TABLA con valores.

Representación de funciones

Ejemplo (cont.): EXPRESIÓN VERBAL : Una compañía de teléfonos cobra un abono mensual de $20,00 y por cada minuto de una comunicación interurbana cobra $0,06.

Es posible también representar la función en un GRÁFICO en el sistema de coordenadas cartesianas

La FÓRMULA que define la función será:

y = 20,00 + 0,06 x

Material adicional

ANÁLISIS SIMULTÁNEO DE GRÁFICOS DE DOS FUNCIONES

En muchas situaciones reales, como las que se enumeran en este apunte, se necesita evaluar la evolución de las variables, comparándolas en un mismo gráfico...

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Análisis de funciones

Crecimiento y decrecimiento.

Continuidad y discontinuidad.

Signo de una función o conjuntos de positividad y negatividad.

Ceros o Raíces de una función

Máximos y Mínimos relativos y absolutos

DEFINICIONES Y EJEMPLOS

Recordamos

desafío 2

Para repasar las principales definiciones en el análisis de las de las funciones, y relacionar estos conceptos con imágenes, completamos la actividad a continuación

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Material Complementario

operaciones con funciones

Las funciones numéricas al igual que los números, se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir, etc. formándose así nuevas funciones

Completamos la actividad a continuación, ejercitando en el análisis de funciones y operaciones

Dadas dos funciones f y g definimos: 1) La función suma (f + g) como (f + g)(x) = f(x) + g(x) 2) La función diferencia (f - g) como (f - g)(x) = f(x) - g(x) 3) La función producto (f . g) como (f . g)(x) = f(x) . g(x) 4) La función cociente (f / g) como (f / g)(x) = f(x) / g(x) siempre que g(x) ≠ 0

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Función Lineal

Una función lineal o función afín es aquella cuya expresión algebraica es de primer grado con una incógnita.

f(x) = mx + b

siendo m y b números reales, y m diferente de 0.

Función Lineal

Para recordar los conceptos relacionados a este tema, puedes ingresar en el recurso "Función Lineal", haciendo click en la imagen.

Recorre las explicaciones y ejemplos, y realiza las actividades propuestas.

Función Cuadrática

Una función cuadrática o función de segundo grado es aquella cuya expresión algebraica es de la forma

f(x) = ax2 + bx + c

siendo a, b y c números reales, y a diferente de 0.

Gráfica de la Función Cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c

Su gráfica es una parábola

Simétrica respecto de la recta paralela al eje Y que pasa por el vértice (xv; yv). Esta recta es el eje de la parábola

a > 0 ramas hacia arriba, a < 0 hacia abajo

Raíces o Ceros de la función, puntos donde la gráfica corta al eje X.

Corta al eje Y en el punto (0; c)

Gráfica de la Función Cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c

Para profundizar en la información que nos brindan los parámetros a, b y c de la función cuadrática, y cómo se relacionan con la gráfica de la misma, podemos ver los videos a continuación. Para acceder, hacemos click en cada imagen

Dibujar función cuadrática cuando b=0 y no corta el eje de abscisas

Dibujar función cuadrática cuando c=0 y calcular puntos de corte con una recta

Funciones cuadráticas y puntos de corte con los ejes de coordenadas

Canal Javi LilloMath [archivo de video]. YouTube

Canal Javi LilloMath [archivo de video]. YouTube

Canal Javi LilloMath [archivo de video]. YouTube

Función Cuadrática y ecuaciones de segundo grado

Analizamos

RECURSO INTERACTIVO

En las ecuaciones cuadráticas, para determinar la naturaleza de las soluciones se analiza el discriminante. En este recurso se explica el procedimiento, se proveen ejercicios y la gráfica de la función de forma interactiva

Accede al recurso haciendo click en la imagen

Función Cuadrática y ecuaciones de segundo grado

f(x) = ax2 + bx + c

Ejercitamos

Podemos acceder a ejercicios propuestos y sus soluciones en los siguientes enlaces:

matesfacil: Ecuaciones de Segundo Grado Completas

Ecuaciones Resueltas.com: Ecuaciones de Segundo Grado o Cuadráticas

Función de Proporcionalidad Inversa

En ella las variables se relacionan de manera inversa. Mientras una aumenta su valor, la otra lo disminuye, pero en forma proporcional. El producto entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante

f(x) = k/x

siendo k constante de proporcionalidad, distinta de cero

Función de Proporcionalidad Inversa

La constante de proporcionalidad K se obtiene multiplicando las variables (x.y)

El dominio de la función está formado por todos los números reales, excepto el cero, ya que el denominador no puede tomar este valor

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La gráfica de la función se denomina hipérbola

Gráfica de la Función de Proporcionalidad Inversa

Su gráfica es una curva con dos ramas llamada hipérbola, que no corta a los ejes. • Si la constante de proporcionalidad, k, es un número positivo, la función es decreciente. • Si k es negativo, la función es creciente

Función de Proporcionalidad Inversa

Ejemplo: Dada la función de proporcionalidad inversa y = 65 / xPara cada par ordenado el producto de las variables x e y será igual a 65 ( x.y = 65 )

Esta función se representa con la tabla y el gráfico de la figura.

Función de Proporcionalidad Inversa - resolución

f(x) = k/x

Comprendemos y Ejercitamos

Podemos acceder a explicaciones y ejercicios propuestos en los siguientes enlaces:

Recurso en GeoGebra

Proporcionalidad Inversa. Red Educativa Digital Descartes

Función Exponencial y Función Logarítmica

Para estudiar las funciones exponenciales y logarítmicas, es necesario previamente recordar algunos conceptos importantes, referidos a los exponentes, los logaritmos, y sus propiedades

Propiedades de la Potenciación

Potenciación

Identidades Logarítmicas

Logaritmos

EJERCITACIÓN

Función Exponencial

A la función que asigna a la variable independiente x (x ∈ R) el valor

f(x) = ax

la llamamos función exponencial de base a, donde a > 0 y a ≠ 1.

En particular, f (x) = ex es llamada función exponencial natural

Función Exponencial

Es importante destacar la rapidez con que aumentan los valores de la función, a medida que se modifica el valor de x. El motivo es que, cuando la variable está en el exponente, un pequeño cambio en la variable puede causar un cambio muy grande en el valor de la función

Función Exponencial

La función exponencial es creciente, si la base es mayor a uno. Y es decreciente, si la base es menor a uno

Cualquiera sea su base, la función corta al eje de ordenadas en y=1, pasa por el punto (0;1)

Función Logarítmica

A la función que asigna a la variable independiente x (x ∈ R) el valor

f(x) = logax

la llamamos función logarítmica con base a, donde a > 0 y a ≠ 1.

En particular, f (x) = ex es llamada función exponencial natural

Función Logarítmica

La función logarítmica es creciente, si la base es mayor a uno. Y es decreciente, si la base es menor a uno

Cualquiera sea su base, la función corta al eje de abscisas en x=1, pasa por el punto (1;0)

Esta función tiene numerosas aplicaciones en el ámbito de las ciencias exactas y naturales.

Función Exponencial y Función Logarítmica

La función logarítmica f (x) = loga x, es la inversa de la función exponencial f (x) = ax.

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Función Exponencial y Función Logarítmica

Podemos investigar y analizar cómo varían las gráficas de las funciones al modificar sus parámetros, haciendo click en el recurso

Para finalizar...

A lo largo del recorrido examinamos los conceptos relacionados a las funciones matemáticas y su análisis. Presentamos además las funciones elementales: lineal, cuadrática, de proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica, con sus características. Para recordar y apropiarse de los aprendizajes propuestos, es necesario tener en cuenta que no será suficiente solo leer el material ofrecido, sino también reflexionar sobre cada concepto teórico desarrollado, y ejercitar cada uno de los temas. De este modo podrán asentar estos conocimientos y constituir una base sólida para construir otros nuevos

Prof. Mariana Gubaro

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Recursos / Créditos

Recursos

Créditos

Gráficos de funciones, tablas y diagramas incorporadas en la presentación, elaborados por Prof. Mariana Gubaro. Accesos a enlaces externos y recursos digitales abiertos disponibles de las fuentes detalladas a continuación:

Material elaborado en su totalidad por

Prof. Mariana Gubaro

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