ALGEBRA UNIDAD 1

UNIDAD 1

ÁLGEBRA BÁSICA

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Tema 01

Tema 02

Objetivos

Índice

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Bibliografía

Tema 03

Objetivos específicos

Al finalizar la unidad el alumno será capaz de:

• ·Utilizar el conjunto de los números reales y sus propiedades para formar expresiones algebraicas y realizar operaciones con ellos.
• Usar los monomios y polinomios para desarrollar productos notables y factorizar.

TEMA 01

Los números reales

"La matemática es la reina de la ciencia, y la aritmética la reina de la matemática"

Carl Friedrich Gauss

TEMA 01 Los números reales

Números reales

En el campo de las matemáticas se trabaja con diversos conjuntos de números que se agrupan según determinadas características.Los números naturales sirven para designar la cantidad de elementos que tiene determinado conjunto (Haeussler, 2003), es decir son números de conteo. Estos son infinitos y se identifican por la letra N. N = {1, 2, 3, 4,..., 10, 11, 12,...∞ }

Los números naturales son cardinales, es decir, sirven para contar, y también son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto. Los números naturales son los primeros que surgen en las antiguas civilizaciones, ya que las tareas de contar y ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.La siguiente categoría corresponde a los números enteros, estos contemplan al conjunto de los números naturales más los enteros negativos y el cero (Haeussler, 2003). La letra con la que se identifica este conjunto es la Z. Z = {-∞, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...,∞}

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TEMA 01 Los números reales

Al conjunto formado por fracciones, que incluye a los números enteros, se le llama el conjunto de números racionales y se identifica por la letra Q. Q = {-∞,..., -1, – 1/3, 0, 9/4, 3,..., ∞} Un número racional es aquel que puede escribirse de la forma (a/b), donde a y b son números enteros y, además b debe ser distinto de cero (Haeussler, 2003). Los números racionales pueden ser transformados a su forma decimal, al dividir el elemento a entre b. La forma decimal será infinita si los valores a la derecha del punto se repiten sin fin, por ejemplo:

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Los números que no se pueden escribir como el resultado de dividir dos números enteros se denominan números irracionales (Haeussler, 2003). Los elementos del conjunto de los números irracionales tienen representaciones decimales infinitas que no se repiten y se denotan por la letra I. I = { √5 = 2.236067..., π, e, ... }

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TEMA 01 Los números reales

Finalmente, se tiene al conjunto de los números reales que, se identifica con la letra R, engloba al conjunto de los números racionales y al conjunto de los números irracionales. R = Q ∪ I Gráficamente, el conjunto de los números reales se representa con la imagen de la derecha.

TEMA 01 Los números reales

Propiedades de los números reales

Estas propiedades se aplican para resolver diversos problemas matemáticos, observe los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Se desea obtener el resultado de la siguiente operación: Paso 1: aplicar la propiedad distributiva Paso 2: resolver las raíces: Paso 3: realizar los productos: 5(4.472135) + 5(6.708203 = 22.360675 + 33.541015 Por lo tanto, el resultado de la operación es: 55.901690

Las propiedades de los números reales consisten en una serie de reglas que nos permiten abreviar algunos cálculos (Bel & Del Punta, 2017), las propiedades básicas se describen en la siguiente tabla.

TEMA 01 Los números reales

Ejercicio 3. Encontrar el resultado de la siguiente operación: (5x – 8) + (-7x + 4) Paso 1: eliminar los paréntesis: 5x - 8 - 7x + 4 Paso 2: agrupar términos semejantes: (5x - 7x) + (- 8 + 4) En el segundo paréntesis hay que tener cuidado con las operaciones con los signos. Paso 3: resolver las operaciones dentro de los paréntesis: (5x - 7x) = - 2x (- 8 + 4) = - 4 Por lo tanto, el resultado de la operación es: (5x – 8) + (-7x + 4) = - 2x – 4

Ejemplo 2. Se tiene que calcular el resultado de la siguiente expresión: 17*(77 + 82)Paso 1: se realiza la operación que se encuentra dentro de los paréntesis: 77 + 82 = 159 Paso 2: se realiza la multiplicación señalada: 17*(159) = 2, 703No obstante, se pueden usar directamente las propiedades de los números reales. Se aplica la propiedad distributiva para obtener:17*(77 + 82) ➝ (17*77) + (17*82) ➝ 1,309 + 1,394 = 2,703 El resultado en ambos casos es 2,703

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TEMA 01 Los números reales

Operaciones con números racionales

En el caso de que se tengan que resolver operaciones que involucren números racionales se deben seguir las siguientes reglas.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Con estas reglas se cierra el tema de números reales, para ejercitar los conceptos recién estudiados, se recomienda resolver la actividad que aparece en la plataforma Moodle. Si tienes dudas, recuerda exponerlas en el foro que se encuentra en el bloque correspondiente a la primera unidad.

TEMA 02

Monomios, polinomios y sus operaciones

TEMA 02 Monomio, polinomio y sus operaciones

Monomio

Un monomio es una expresión algebraica, de un solo término, en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones (Haeussler, 2003). Las únicas operaciones que relacionan las variables que lo integran son el producto y la potencia de la parte literal. En un monomio se distinguen dos partes, la parte numérica, llamada coeficiente, y la parte variable, llamada literal. A la parte numérica se le asocia un signo, que únicamente se escribe en caso de ser negativo. A la parte literal se le asocia un exponente, que se escribe siempre que sea diferente de uno.Las siguientes expresiones son ejemplos de monomios:

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TEMA 02 Monomios, polinomios y sus operaciones

Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica compuesta por dos o más monomios, los elementos que lo integran se denominan términos del polinomio (Bel y Del Punta, 2017).

Algunos polinomios reciben nombres especiales, de acuerdo con el número de sumandos que tienen:

En general, un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

donde: an, an−1 ... a1, a0 son los coeficientes de cada término ao se denomina término independiente n es un número natural x es la variable

Video

Ejemplo

TEMA 02 Monimios, polinomios y sus operaciones

Operaciones con polinomios

Los polinomios se suman o restan de la misma forma en que se hace con los números reales. Para eso, solo hay que sumar o restar los coeficientes de los términos semejantes. A continuación se muestra la forma en que se realizan operaciones básicas con ellos. Suma de polinomiosLos pasos a seguir se describen con la ayuda del siguiente ejemplo.Resolver la siguiente operación: (9x3y - 5x + 4) + (15x3y + 31x - 14) Paso 1: Eliminar los paréntesis: 9x3y - 5x + 4 +15x3y + 31x - 14 Paso 2: Se usa la propiedad conmutativa de la suma para agrupar términos semejantes Paso 3: Se aplica la propiedad distributiva a cada par de términos semejantes Paso 4: Se forma la expresión final: 24x3y + 26x - 10

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TEMA 02 Monimios, polinomios y sus operaciones

Operaciones con polinomios

Resta de polinomiosLos pasos a seguir se describen con la ayuda del siguiente ejemplo.Resolver la siguiente operación: (21x3y + 14x - 7) - (3x3y - 9x + 18) Paso 1: Eliminar los paréntesis: 21x3y + 14x - 7 - 3x3y + 9x - 18 Paso 2: Aplicar la propiedad conmutativa de la suma para agrupar términos semejantes Paso 3: Se aplica la propiedad distributiva a cada par de términos semejantes Paso 4: Se forma la expresión final: 18x3y + 23x - 25

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TEMA 02 Monomios, polinomios y sus operaciones

Vídeo

Observa el siguiente video sobre las operaciones de suma y resta con polinomios.

Susi usi Profe] (2017, febrero 26) SUMA y RESTA de POLINOMIOS [Video]. Youtube. https://youtu.be/Yng9FbUK2MY

TEMA 02 Monimios, polinomios y sus operaciones

Operaciones con polinomios

Multiplicación de polinomiosLos pasos a seguir se describen con la ayuda del siguiente ejemplo.Encontrar el resultado del siguiente producto: (5x - 2)(3x2 + 7x - 9) Paso 1: Considerar el binomio (5x-2) como un solo término y aplicar la propiedad distributiva: (5x-2)(3x2) + (5x-2)(7x) + (5x-2)(-9) Paso 2: Realizar los productos para simplificar la expresión anterior (15x3 - 6x2 ) + (35x2 - 14x) + (-45x + 18) 15x3 - 6x2 + 35x2 - 14x - 45x + 18 Paso 3: Se realizan las operaciones de suma-resta para simplificar aún más la expresión 15x3 + 29x2 - 59x + 18

video 1

TEMA 02 Monimios, polinomios y sus operaciones

Operaciones con polinomios

División de polinomiosLos pasos a seguir se describen con la ayuda del siguiente ejemplo.Encontrar el resultado de la siguiente división:

En este caso el denominador es un monomio, solo se tienen que separar los elementos del numerador y asignarles el mismo denominador.

Considerando las propiedades de los exponentes, el resultado es: 3x2 + 4 Sin embargo, habrá ocasiones en que se tenga que dividir un polinomio entre otro. En esos casos se utiliza la llamada división larga, misma que establece que para poder ser aplicada el grado del divisor debe ser menor o igual al grado del dividendo.

Observa el siguiente video sobre la división de polinomios.

Gómez, A. atemáticas Profe Alex] (2017, noviembre 20) División de polinomios | Ejemplo 1 [Video]. Youtube. https://youtu.be/gpBEUnFBhGc

TEMA 03

Productos notables y factorización

TEMA 03 Productos notables y factorización

Productos notables

Los productos notables son multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas, que por sus características destacan de las demás multiplicaciones. Las características que hacen que un producto sea notable, es que se cumplen ciertas reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante una simple inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso.

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TEMA 03 Productos notables y factorización

ejemplo 1

Desarrollar el siguiente ejercicio: (3x + 9y)2

ejemplo 2

Desarrollar el siguiente ejercicio: (2x + 3y)3

ejemplo 3

Desarrollar el siguiente ejercicio: (4x + 7) (4x - 7)

ejemplo 4

Desarrollar el siguiente ejercicio: (2x + 5)(2x + 9)

ejemplo 5

Desarrolle el siguiente ejercicio: (2x)3 + (3y)3

TEMA 02 Monimios, polinomios y sus operaciones

Factorización

Así como los números naturales pueden ser expresados como el producto de dos o más números, los polinomios pueden ser expresados como el producto de dos o más factores algebraicos. No obstante, cuando un polinomio no se puede factorizar se le denomina irreducible.Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le llama factorización. Para factorizar se requiere identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos.

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Observa el siguiente video de apoyo

De esta manera, factorizar un polinomio significa descomponerlo en dos o más factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original. A continuación se exponen los métodos más comunes de factorización.

TEMA 03 Productos notables y factorización

Factorización por término común El procedimiento indica que se debe encontrar el factor que es común en todos los términos del polinomio, el factor común puede ser número, letra o ambos. En los coeficientes o números se toma el mayor divisor de todos los términos, y en la variables se toma la que se repite en todos los términos y tiene la menor potencia (Madrigal, 2021).

Ejemplo 1. Considere la siguiente expresión para determinar el factor común:

Video

Paso 1. Obtener el máximo común divisor (M.C.D.) de los coeficientes numéricos:

Paso 2. Determinar la(s) variable(s) en común, de menor potencia, que conforma la expresión, estas son: 𝑥𝑦

Paso 3. Determinar el factor común uniendo lo obtenido en los pasos 1 y 2, este es: 𝟒𝒙𝒚

Paso 4. Dividir cada término de la expresión entre el factor común:

Paso 5. Dar la respuesta escribiendo el factor común y los términos que se obtuvieron de la división:

TEMA 03 Productos notables y factorización

Factorización de expresiones algebraicas Los productos notables se convierten en estructuras muy fáciles de identificar, dando la posibilidad de invertir el proceso para cuando sea necesario factorizar. Observe los siguientes casos.

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 1

Ejemplo 4

Factorizar la expresión: 4x2 – 20x + 25

Factorizar la expresión: x2 + 24x + 144

Factorizar la expresión: 27x3 - 125

Factorizar la expresión: 9x2 – 16y2

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TEMA 03 Productos notables y factorización

Factorización por agrupamiento Existen polinomios cuyos términos no contienen un mismo factor común, como en el siguiente caso: Para factorizar este polinomio no se puede aplicar el procedimiento de factorización por factor común, ya que no todos los términos tienen el mismo factor común. Para lograr su factorización primero se deben  agrupar los términos que tengan el mismo factor común y así poder factorizar el polinomio por el método anterior (Universidad de Guanajuato, 2023).

Primero: note que no hay factor común para todos los términos. Sin embargo, si se agrupan los primeros dos términos y los últimos dos términos, cada grupo tiene su propio Máximo Común Divisor (MCD)

Segundo: observe que hay un MCD de 2𝑥 en la primera agrupación y un MCD de 3 en la segunda agrupación. Entonces, se puede factorizar para obtener la siguiente expresión:

Tercero: advierta que en la expresión anterior hay otro factor común, es (𝑥 + 4), este se repite en los dos términos. Se realiza el procedimiento para factor común para comprobar:

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Finalmente, la factorización queda de la siguiente manera:

BIBLIOGRAFÍA

Lovaglia, Florence. (1972). Álgebra. Cap. 2 Introducción al conjunto de los números reales; Cap. 3 Continuación del desarrollo de los números reales; Cap. 4 Técnicas y aplicaciones. México: Ed. Harla.

01

Lehmann, Charles. (1964). Álgebra. Cap. 1 Conceptos fundamentales, y Cap. 2 Operaciones algebraicas. México. Ed. LIMUSA. México.

02

Ernest Haeussler. (2003). Matemáticas para administración y economía. Cap. 0 Repaso de álgebra. México: Ed. Pearson Education.

03

Larson, R. & Hostetler, R. (2008) Precálculo. Apendice A Repaso de conceptos fundamentales de álgebra. México: Ed. Reverté.

04

Espinosa, J. (S/f) Productos notables. Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Cuajimalpa. http://campusvirtual.cua.uam.mx/material/tallerm/04_Productos_notables_html/index.html#

05

Despues de estudiar el contenido de esta lección, deber realizar las actividades que se encuentran disponibles en la plataforma. Las dudas que tengan deben ser expuestas en el foro de la unidad que se habilitó dentro del aula virtual.