Zusammenfassung Dreiecke

Von Brian

Dreiecke

Berechnung:

Dreiecksarten:

Umfang: u= a + b + c Flächeninhalt: A= 1/2 * g * h G= Grundseite | H= Höhe des Dreiecks Satz des Pythagoras: a^{2}+b^{2}=c^{2}

1. gleichseitiges Dreieck
2. gleichschenkliges Dreieck
3. unregelmäßiges Dreieck
4. spitzwinkliges Dreieck
5. rechtwinkliges Dreieck
6. stumpfwinkliges Dreieck

Eigenschaften: -Ein Dreieck hat drei Seiten, die meistens mit a, b und c bezeichnet werden. -Die Eckpunkte hingegen werden oft mit A, B und C gekennzeichnet. -Es entstehen drei Winkel im Dreieck, die meistens Alpha, Beta und Gamma genannt werden. -Die Summe dieser drei Winkel - auch Innenwinkel genannt - beträgt 180 Grad.

Das Standartdreieck

• a= 90° a= 5cm
• ß= 45° b= 3cm
• c= 45° c= 4cm

• a = Hypotenuse
• b = Kathete
• c = Kathete

Gleichseitiges Dreieck

Eigenschaften:-Alle Seiten des Dreiecks sind gleich lang. -Alle Winkel des Dreiecks sind gleich 60°

• a= 60° = 6,1 cm

• ß= 60° = 6,1 cm

• c= 60° = 6,1 cm

Es gibt keine Hypothenuse etc, da alle Seiten gleich lang sind.

Berechnen: Umfang: u= a + b + c Flächeninhalt: A = 1/2 *g*h Satz des Pythagoras:

a^{2}+b^{2}=c^{2}

GLeichschenkliges Dreieck

• a= 70° a= 7cm
• a= 70° a= 7cm
• y= 30° c= 6,5 cm

Berechnen: Umfang: u= a + b + c Flächeninhalt: A = 1/2 *g*h Satz des Pythagoras:

a^{2}+b^{2}=c^{2}

Eigenschaften: -Beide Schenkel (Seite, a|a) sind gleich lang und haben gleich große Winkel.

Unregelmäißges Dreieck

• a = 50° a = 2,5cm
• ß = 60,7° b = 2,8cm

• y = 69,4° c = 3cm

Eigenschaften: - Alle drei Seiten unterschiedlich lang. - Alle drei Winkel unterschiedlich lang.

Berechnung: Umfang: u= a + b + c Flächeninhalt: A = 1/2 *g*h Satz des Pythagoras:

a^{2}+b^{2}=c^{2}

Spitzwinkinkliges Dreieck

Berechnung: Umfang: u= a + b + c Flächeninhalt: A = 1/2 *g*h Satz des Pythagoras:

• a = 39°
• ß = 60°
• c = 81°

a^{2}+b^{2}=c^{2}

Eigenschaften: - Alle Winkel sind kleiner als 90°.

Rechtwinkliges Dreieck

• a = __ a = __
• ß = __ b = __
• y = __ c = __

• a = Kathete
• b = Kathete
• c = Hypotenuse

Berechnung: Umfang: u= a + b + c Flächeninhalt: A= 1/2 *a*b Satz des Pythagoras:

Eigenschaften: - Es gibt nur ein Winkel mit einem Rechten Winkel.

a^{2}+b^{2}=c^{2}

Stumpfwinkliges Dreieck

Berechnung: Umfang: u= a + b + c Flächeninhalt = A= 1/2 *g*h Satz des Pythagoras:

• a = __ a = __
• ß = __ b = __
• y = __ c = __

a^{2}+b^{2}=c^{2}

Eigenschaften:-Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist einer der drei winkel größer als 90°.

Kongruenzsätze

Als Kongruenzsatz bezeichnet man in der ebenen Geometrie eine Aussage, anhand derer sich einfach die Kongruenz von Dreiecken nachweisen lässt. Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in Form und Flächeninhalt gleich sind.

• SSS-Satz (erster Kongruenzsatz)
• Zwei Dreiecke, die in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen, sind kongruent.
• SWS-Satz (zweiter Kongruenzsatz)
• Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent.
• WSW-Satz (dritter Kongruenzsatz)

Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent.

• Dies schließt über den Satz von der Summe der Innenwinkel im Dreieck auch den folgenden Satz mit ein:
• SWW-Satz

Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge, einem dieser Seite anliegenden Winkel und dem dieser Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen, sind kongruent.

• Bemerkung: Nicht zwingend kongruent sind jedoch zwei Dreiecke, die in zwei Winkeln und in einer Seitenlänge übereinstimmen, wenn nicht bekannt ist, welche der gegebenen Winkel an der gegebenen Seite anliegen. Aus Angaben zu einer Seite und zwei Winkeln können somit drei im Allgemeinen nicht kongruente Dreiecke konstruiert werden, je nachdem ob der erste, zweite oder beide Winkel der Seite anliegen.
• SSW-Satz (vierter Kongruenzsatz)Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind kongruent.
• Hierbei wird die Einschränkung gegenüber einem nicht allgemein existierenden SSW-Satz durch eine entsprechende Schreibweise oder Kennzeichnung (etwa SsW, Ssw oder SSWg, siehe die Abbildung unten) zum Ausdruck gebracht.

Beispiele:

Von links nach rechts: SSS, WSW, SWS, SSW.

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras in Worten lautet also: „Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Katheten.

Formel: a^2+b^2= c^2

Umkreis (Mittelsenkrechte) und Inkreis (Winkelhalbierende) konstruieren

MERKE!:

Inkreis eines Dreiecks Merke Der Inkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der alle Seiten des Dreiecks von innen einmal berührt. Die Seiten des Dreiecks sind in diesem Fall also Tangenten des Kreises. Der Mittelpunkt des Kreises ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Konstruktion:

Eines Inkreises Um einen Inkreis zu konstruieren, gehen wir folgendermaßen vor: 1. Schritt: Winkelhalbierende einzeichnen Die Winkelhalbierende ist eine Halbgerade (oder auch Strahl), die im Scheitelpunkt eines Winkels entspringt und den Winkel in zwei gleich große Teile teilt. Da Dreiecke drei Winkel besitzen, können wir also insgesamt drei Winkelhalbierende einzeichnen. Zur Konstruktion der Winkelhalbierenden benötigst du einen Zirkel. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man Winkelhalbierende einzeichnet, kannst du es in unserem Erklärtext zur Konstruktion einer Winkelhalbierenden nachlesen. Um den Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden zu bestimmen, genügt es zwei der drei Halbgeraden einzuzeichnen. Dreieck mit zwei Winkelhalbierenden Dreieck mit zwei Winkelhalbierenden

2. Schritt: Schnittpunkt markieren Den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden können wir nun einfach ablesen und haben somit den Mittelpunkt (M) des Kreises.

Schnittpunkt der Winkelhalbierenden 3. Schritt: Ein Lot von einer Seite des Dreiecks durch den Schnittpunkt zeichnen Den Mittelpunkt des Inkreises haben wir nun schon eingezeichnet. Um den Kreis konstruieren zu können, fehlt uns nur noch der Radius. Dazu fällen wir ein Lot von einer Seite des Dreiecks (in diesem Fall c) durch den Mittelpunkt. Der Abstand zwischen Lotfußpunkt (L) und Mittelpunkt (M) ist der Radius des Inkreises. In unserem Erklärtext zum Thema Lot fällen kannst du noch einmal nachlesen, wie du ein Lot einzeichnest.

4. Schritt: Inkreis einzeichnen Wir haben nun sowohl den Mittelpunkt als auch den Radius gegeben und können den Kreis einzeichnen.

Umkreis

Umkreis eines Dreiecks Merke!:

Der Umkreis eines Dreiecks geht durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Umkreis, Konstruktion

1. Schritt: Mittelsenkrechten einzeichnen Ein Dreieck besitzt drei Mittelsenkrechten, die jeweils senkrecht auf den Seiten des Dreiecks stehen. Um die Mittelsenkrechten zu konstruieren, benötigst du einen Zirkel.

2. Schritt: Schnittpunkt einzeichnen Den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten können wir einfach ablesen. Er entspricht dem Mittelpunkt des Umkreises und kann inner- oder außerhalb des Dreiecks liegen.

Mittelpunkt des Umkreises 3. Schritt: Kreis einzeichnen Wie schon beim Inkreis, fehlt uns nun noch der Radius des Kreises. Glücklicherweise können wir diesen auch einfach ablesen. Der Radius des Umkreises ist der Abstand des Mittelpunkts zu den drei Eckpunkten. Wir zeichnen den Kreis also einfach durch einen der Eckpunkte des Dreiecks.

Besondere Fälle, je nach Art des Dreiecks lassen sich verschiedene Spezialfälle unterscheiden: -Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Umkreises immer innerhalb des Dreiecks. -Bei rechtwinkligen Dreiecken ist der Mittelpunkt des Umkreises gleichzeitig der Mittelpunkt der Hypotenuse. - Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Umkreises immer außerhalb des Dreiecks.