Derivacion de funcion algebraica

DERIVACIOn de funciones algebraicas

¿QUé ES?

La derivada de una función f(x), o función derivada de f(x), es aquella función, denotada f'(x), que asocia a cada x la rapidez de cambio de la función original f(x) en ese punto, es decir, su tasa de variación instantánea.

Utilidad

Historicamente, las derivadas surgieron para dar respuesta a problemas de naturaleza aparentemente distinta: el cálculo de la recta tangente a una curva (función) en un punto, y el cálculo de la velocidad instantánea. Una vez sistematizado su estudio, podemos aplicarlo a:- Cálculo de la recta tangente - Cálculo de la recta normal - Representación gráfica de funciones - Variación instantánea de una magnitud respecto a otra

Derivada en el calculo de una recta tangente

Muchos problemas importantes en el Cálculo dependen de la determinación de la recta tangente de una función en un punto P específico de su gráfica.Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto P, se emplea el concepto de límite a fin de definir la pendiente de la recta tangente en el punto. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Derivada en el calculo de una recta Normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.Recordemos que la derivada en un punto a nos da la pendiente de la recta tangente. Así que la opuesta de la inversa de la derivada de la función, nos da también la pendiente de la recta normal.

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Representacion grafica de funciones

Dada la función y = f (x), para dibujarla es útil el siguiente proceso: 1) Determinar los puntos en los que no está definida f (x) . Dominio de definición. 2) Hallar la derivada f´(x). 3) Calcular las soluciones de la ecuación f´(x) = 0 (puntos singulares). 4) Marcar sobre el eje OX los puntos singulares y aquellos en los que la función no está definida. Esos puntos dividen al eje OX en varios intervalos. 5) Estudiar el signo de la derivada en cada intervalo anterior: deducir si la función es creciente o decreciente. (Basta con probar un punto de cada intervalo y ver si f´(x) es positiva o negativa). 6) Deducir (de lo anterior) dónde se dan los máximos y los mínimos, si es el caso. 7) Trazar la gráfica ajustándose a la información obtenida y dando algunos de sus puntos, entre ellos los correspondientes a los puntos singulares y a los cortes con los ejes de coordenadas.

variacion instantanea de una magnitud frente a otra aplicando derivadas

A la tasa de variación instantánea de la función, en el punto a, también se le denomina derivada de la función en el punto a, y es designada f'(a). Por otro lado, podemos generalizar esta idea para cualquier valor genérico de x. Así, dada una función cualquiera f(x), se conoce como función derivada de esta a aquella función que hace corresponder cada valor de x con el valor de la derivada de la función en ese x concreto, es decir, con el valor de la tasa de variación instantánea de f en ese punto.Matemáticamente no hay más que cambiar a por x en la definición de f'(a):