DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

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DETERMInaNTE DE Una MATRIZ

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Tipos de determinantes

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Historia de la determiante de una matriz

El determinante tiene un sinfín de aplicaciones; por ejemplo, el control en la estimación de parámetros en sistemas tipo caja negra, que requiere para ello de la inversa o de la pseudoinversa. En economía, se utiliza para encontrar los puntos de equilibrio de un sistema financiero descrito matricialmente; en ingeniería, para optimizar procesos; en geometría computacional, para el cálculo de cascos convexos y diagramas de Voronoi. Y en general, en matemáticas se utiliza para saber si un sistema de ecuaciones tiene solución, en el cálculo de áreas y volúmenes (Figura 3), así como en la formulación de ecuaciones de objetos geométricos como rectas, círculos, elipses, parábolas, planos, esferas, etc.

Aportaciones en Asia

La primera cultura de la que se tiene registro que incursionó en el planteamiento de sistemas de ecuaciones y su solución fue la china, ya que en ella se desarrolló el interés por describir y resolver sistemas de ecuaciones relacionadas con la obtención de cuadrados mágicos. De ello dejaron registro en cañas de bambú encontradas en diferentes lugares con una tabla de cálculo con los coeficientes de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales; restando filas y columnas, desarrollaron así una forma sencilla de resolver un sistema de ecuaciones.

El japonés Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma época que el alemán Leibniz.

Aportaciones en Europa

En Europa, los determinantes aparecieron en la literatura matemática más de un siglo antes que las matrices. El término matriz fue usado por primera vez por James Joseph Sylvester (1814-1897). El 28 de abril de 1693, el diplomático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) escribió una carta a Guillaume François Antoine (1661-1704), marqués de l’Hôpital, en la que resolvía el sistema de ecuaciones.

Puede decirse que los sistemas de ecuaciones lineales fueron iniciados por Leibniz en 1678; de hecho, en 1693 usó índices en los coeficientes de un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas y eliminando las variables obtenía una expresión como determinante. Se afirma que la primera aparición del determinante en Europa se dio en una carta de Leibniz a L'Hôpital, en 1683, e incluso usó el término "resultante'' para sumas combinatorias de términos de un determinante. Algo similar a la regla de Cramer se encuentra en algunos de sus trabajos. También estudió sistemas de coeficientes de formas cuadráticas, que lo empujaron hacia las matrices.

DEFINICIÓN

El determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.

El determinante de una matriz cuadrada (matriz con el mismo número de filas que de columnas) se obtiene de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal de la matriz y la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria de la misma matriz.

PROPIEDADES

SI A, B SON MATRICES CUADRADAS DE IGUAL ORDEN, EL DETERMINANTE DEL PRODUCTO ES EL PRODUCTO DE LOS DETERMINANTES

EL DETERMIANANTE DE UNA MATRIZ ES IGUAL AL DE SU TRASPUESTA

propiedades

El determinante de una matriz singular Smxn (no invertible) es 0.

El determinante inverso de una matriz Zmxn invertible es igual al determinante de una matriz Zmxn inversa:

|Zmxn|, donde m=n, multiplicado por una constante h cualquiera es:

Propiedades

El determinante del producto de dos matrices Zmxn y Xmxn, donde m=n, es igual al producto de determinantes de Zmxn y Xmxn

TIPOS DE DETERMIANTE DE UNA MATRIZ

DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEN 2

Puede ayudar el siguiente diagrama:

Sea una matriz de dimensión 2x2, es decir, una matriz de la forma

Por ejemplo

Entonces, su determinante es

TIPOS DE DETERMIANTE DE UNA MATRIZ

DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEN 3

Sea una matriz de dimensión 3x3, es decir, de la forma

entonces su determinante es

La regla de Sarrus Y GAUUS JORDAN EN SISTEMA DE 3X3

La regla de Sarrus nos sirve para resolver de manera muy sencilla el determinante de una matriz de 3×3.

El método de Gauss Jordan consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado.

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El determinante de una matriz siempre es igual al de su matriz traspuesta. El determinante de una matriz será siempre cero (nulo) si la matriz contiene dos filas o columnas iguales, si los elementos de una fila o columna son todo ceros o si los elementos de una fila o columna son una combinación lineal de las demás.

Equipo

Cristopher Alexander Pacheco Palacios

Ronaldo Steven Rosales Espinoza

Diana Carolina Lapo Macas

César Augusto Campoverde Plaza

¡Gracias!