Función lineal y sus características

Presentación

Función lineal y sus características

Características de una función lineal

Para estudiar en profundidad las características de la función lineal vamos a analizar su dominio, gráfica en el plano cartesiano, valores característicos y distintos tipos de rectas.

Dominio

El dominio es el intervalo de valores que puede tomar la variable independiente, normalmente denominada X. En el caso de la función lineal el dominio es el conjunto de los números reales, es decir que la variable X puede tomar valores desde menos infinito a más infinito. Entonces, dado un valor de X perteneciente al conjunto de los números reales, encontraremos su valor f (X) correspondiente multiplicando a X por la pendiente y sumando la ordenada al origen.

Gráfica en el plano cartesiano de una función lineal : La gráfica de f (X) en el plano cartesiano es una línea recta. Podemos trazarla fácilmente encontrando dos puntos de la función y luego, utilizando una regla, trazar la línea que une ambos puntos. También puedes armar una TABLA de VALORES para graficarla.

fg. 1: Ejemplo de la gráfica de una función lineal en el plano cartesiano.

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Características de una función lineal

Pendiente de una función lineal El coeficiente que multiplica a X en la expresión genérica de la función lineal se lo conoce como «pendiente» y es el que establece si la función es creciente o decreciente y en qué magnitud. Si la pendiente es positiva la función es creciente y si la pendiente es negativa la función es decreciente. Si la pendiente vale 0, el término que contiene X se anula y sólo nos queda f (X) = b, la función lineal vale lo que su ordenada al origen en todo el dominio, en este caso tenemos una recta horizontal (paralela al eje X). Si sólo disponemos de la gráfica de una función lineal, podemos calcular la pendiente como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje horizontal. También podemos encontrar la pendiente utilizando el Teorema de Pitagoras.

Ordenada al origen Este punto característico de la función lineal es el valor de la función cuando X = 0. De manera gráfica, es el punto donde la función lineal corta el eje vertical (conocido como eje de ordenadas). El punto (0,b) se lo conoce como ordenada al origen. En la gráfica de la figura 1 vemos que la ordenada al origen es el punto (0,1).

Abscisa al origen Análogamente al caso anterior, la abscisa al origen es el punto en el cual la función corta el eje horizontal o eje de abscisas. En este punto Y = 0. Una función lineal podría no tener abscisa al origen si se trata de una recta paralela al eje x y con desplazamiento vertical. La abscisa al origen puede encontrarse haciendo 0 = f (X) y luego reemplazando f (X) por la expresión lineal, por ejemplo en el caso de la figura 1 tenemos: 0 = (1/2) . X + 1. Despejando X de la ecuación anterior obtenemos el valor de X en el cual f (X) es igual a 0. En la función lineal de la figura 1 la abscisa al origen es el punto (-2,0).

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Representar trayectorias Una de las cosas más básicas que se puede hacer con una función lineal es hacer que los objetos se muevan en una trayectoria recta, la función lineal nos relaciona dos magnitudes que podríamos elegir como queramos, por ejemplo la variable independiente podría ser una coordenada X en el espacio y la variable independiente puede ser la coordenada Y en el espacio, luego con cierto ritmo de ejecución podemos hacer que un objeto describa dicha trayectoria. Por ejemplo en la figura 2 vemos una escena en Unity en la que las esferas van siguiendo una trayectoria que se describe como su posición en x es igual a su posición en y.

Características de una función lineal

Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Ejemplo de dos rectas paralelas: f (X) = 2 . X – 1 g (X) = 2 . X + 3

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de una de ellas es igual a la pendiente invertida y opuesta de la otra. En el siguiente ejemplo vemos dos rectas que son perpendiculares. f (X) = 3 . X + 2 g (X) = – ( 1/3 ) . X + 5

La pendiente de g es menos un tercio, el cual es el inverso y opuesto de 3. Algunos ejemplos de aplicación de la función lineal en programación La función lineal es una de las funciones matemáticas más útiles y su campo de aplicación es muy variado. Vamos a dar algunos ejemplos de posibles aplicaciones.

Fig. 2: Las esferas van avanzando en la dirección positiva del eje X, su altura Y se determina por el cálculo de la función y = x. El mismo concepto y con distintas combinaciones de planos se puede aplicar para otros casos como movimientos de vehículos, trayectoria de proyectiles, etc.

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Determinación de la pendiente 4.- Elige una función lineal y comprueba que la pendiente de la recta asociada es el cociente entre la ordenada y la abscisa de cualquier punto distinto del origen de coordenadas. (Puedes mover el punto amarillo arrastrándolo con el puntero del ratón.) m = y/x Puntos que no están en la recta. 5.- Comprueba que los puntos que están fuera de la recta tienen el cociente entre su ordenda y su abscisa distinto de la pendiente. Pruébalo con distintas rectas. (Puedes mover el punto amarillo arrastrándolo con el puntero del ratón). Rectas con pendiente entre 0 y 1 Hay una zona del plano en la que se encuentran las rectas que tienen por pendiente un número comprendido entre 0 y 1. 6.- Cambia el valor de la pendiente entre 0 y 1 y observa qué rectas se obtienen. Escribe en tu cuaderno las conclusiones. Valor de la pendiente mayor que 1 7.- Cambia el valor de la pendiente con valores mayores que 1 y observa qué rectas se obtienen. Escribe en tu cuaderno las conclusiones. Simetrías 8.- Compara las funciones lineales que tienen pendientes opuestas 1 y -1; 2 y -2; 3,5 y -3,5, etc. ¿Qué simetrías presentan?

Las principales características mas comunes son:

Un punto común Hay un punto por el que pasan todas las rectas que representan funciones lineales. 1.- Cambia la pendiente y observa el punto común. Un punto - una recta Cada punto del plano, distinto del origen de coordenadas, determina una única función lineal. 2.-Busca la recta que le corresponde al punto A. (Mueve el punto naranja arrastrándolo con el puntero del ratón.) Mueve el punto A a los distintos cuadrantes y busca la recta correspondiente. Observa, en cada caso, la función lineal asociada. Signo de la pendiente La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero. 3.- ¿Cómo es la pendiente de una función lineal que pasa por el punto (4,6)? ¿positiva o negativa? Idem con (7,6); (-3,-4); (-5,9); (4,-8); (4,-100); (10,10); (-7,-7); (0,3); (0,-5)... Escribe en tu cuaderno cuándo es positiva la pendiente, cuándo es negativa y cuándo es cero.

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