Présentation - Atelier 2 - Cycle 2 - résolution de problèmes

On est là ce matin pour réfléchir à comment amener vos élèves à résoudre des problèmes en modélisant leurs procédures Lors du précédent atelier, vous aviez évoqué vouloir mettre en place des situations de résolution de problèmes reprenant la mise en recherche, la représentation du nb, la verbalisation, le passage à l’abstraction - Modéliser et schématiser les pprocdéures

Atelier 2Résoudre des problèmes

Cycle 2

Plan de formation densifiée en mathématiquesCirconscription de Bordeaux-centre

L'atelier de ce matin est prévu en différentes phases.

Index

Dans les programmes

Les types de problèmes

Représenter / modéliser

Concevoir une situation pédagogique

Nous allons commencer par vous faire travailler : pour vous, résoudre des problèmes, qu'est ce que c'est, qu'est ce que ce n'est pas > POSTIT

Résoudre un problème, qu'est-ce que c'est ?

Résoudre un problème, ce n'est pas ...

Résoudre un problème, c'est ...

Pour résumer voici ce qu'on peut noter

Résoudre un problème, qu'est-ce que c'est ?

Résoudre un problème, ce n'est pas ...

Résoudre un problème, c'est ...

- Ecrire la phrase réponse - Donner une solution - Raconter une histoire...

- Comprendre et se représenter ce qu'on connait et de qu'on cherche - Expliquer comment on a fait pour trouver la réponse...

On va maintenant regarder ce qui est indiqué dans les programmes du cycle 2

Dans les programmes

du cycle 2

Au cycle 2, les programmes placent la résolution de problèmes au centre de l’activité mathématique des élèves » et « précisent que les problèmes « permettent d’aborder de nouvelles notions, de consolider des acquisitions, de provoquer des questionnements. La résolution de pb reposer sur un travail régulier et structuré. On a donc un triple objectif : -apprendre à résoudre des pb -aborder de nouvelles notions (sens des opérations, langage mathématiques, numération décimale) et consolider ces acquisitions -développer les capacités des élèves à chercher, raisonner et communiquer, c’est-à-dire à acquérir des compétences transférables

"au centre de l'activité mathématiques"

- aborder de nouvelles notions - consolider des acquisitions - provoquer des questionnements

Je vais vous passer deux vidéos. Vous allez devoir définir quelles sont les implicites en terme de résolution de problèmes? que reste-t-il à la charge de l'élève ?VIDEOSExpliciter les attentes Vidéo Lumni : 13’14 à 14’25 Vidéo Canopé : 20’’ à 1’30 Compétences à retrouver sur la diapo suivante

Expliciter les attentes

Dans les 2 extraits vidéos, quelles sont selon vous, les implicites en terme de résolution de problèmes ? Que reste-t-il à la charge de l'élève ?

Vidéo Canopé

Voici les compétences mobiliées en résolution de problèmes

Compétences mathématiques mobilisées en résolution de problèmes

Construction d'un raisonnement organisé

Je cherche

Je communique

Je calcule

Je modélise

Je représente

A l'écrit à l'aide d'un schéma en barres, puis (ou) d'une opération

(étape transitoire et optionnelle) : à l'aide d'un dessin puis d'un schéma libre

(plutôt à l'écrit) on transmet sa solution au problème. On garde la mémoire de cette résolution pour qu'elle serve dans d'autres contextes.

Oralement, en collectif, à l'aide de reformulation) : quelles quantités sont en jeu ? lesquelles sont connues ? inconnues ? la plus grande ? etc.

On effectue l'opération de manière libre (mentalement , en ligne, en colonne, par étapes...)

Attendus de fin d'année

Attendus de fin de CE1

Attendus de fin de CE2

Attendus de fin de CP

Résoudre des problèmes du champ additif en une ou deux étapes. Modéliser à l'aide de schémas ou d'écritures mathématiques. Connaître le sens des signes - et +. Résoudre des problèmes du champ multiplicatif (itération d’addition). Connaître le sens du signe × Résoudre des problèmes multiplicatifs Résoudre des problèmes à deux étapes mixant additions, soustractions et/ou multiplications. Résoudre des problèmes de partage

Résoudre des problèmes du champ additif et/ou multiplicatif en une, deux ou trois étapes. Modéliser à l'aide de schémas ou d'écritures mathématiques. Connaître le sens des signes –, +, x et : Résoudre des problèmes de partage et de groupement Résoudre des problèmes nécessitant l’exploration d’un tableau ou d’un graphique

Résoure des problèmes du champ additif (addition et soustraction) en une ou deux étapes. Modéliser ces problèmes à l’aide de schémas ou d’écritures mathématiques. Connaitre le sens des signes - et +. Résoudre en s’aidant de manipulations, des problèmes du champ multiplicatif en une étape

+ INFO

+ INFO

+ INFO

Le but pour vous va être de connaitre les types de problèmes pour mieux appréhender les difficultés des élèves et ajuster les gestes d’enseignement

Les types de problèmes

Les connaître pour appréhender les difficultés des élèves et ajuster les gestes d'enseignement

Problèmes selon la typologie de Vergniaud Donner documents Quizz : https://play.kahoot.it/v2/?quizId=75b4ff62-ff40-4358-ad84-0a1e69c89560 Atre manière de voir les problèmes en diapo suivante

Des problèmes

Quatre exemples de catégories de problèmes pour engager les connaissances concernant les problèmes additifs et soustractifs selon Vergniaud :

Problèmes de composition Problèmes de transformation Problèmes de comparaison + Problèmes de composition de transformation

Quizz

Les problèmes basiques - Problèmes à deux données où il s’agit d’en déterminer une troisième, - ou des problèmes qui peuvent être résolus à partir de données fournies explicitement dans l’énoncé, à l’aide d’un seul type d’opération : énoncé court, syntaxe simple, sans information superflue, contexte facile à comprendre  proposer une grande variété de ces problèmes en vue d’analyser avec eux leurs ressemblances.  A terme : résolution aisée attendue  Eléments simples constitutifs du raisonnement et mobilisé lors de problèmes complexes Exemple sur le + Les problèmes complexes - Agrégats de problèmes basiques, avec plusieurs étapes - Catherine Houdement note que « la complexité des problèmes peut venir de la distance dans l’énoncé, entre des informations qui devront être connectées pour élaborer la réponse »  Permet au PE de s’assurer plus solidement des connaissances et des compétences acquises par les élèves, permet de tester la disponibilité de ces connaissances et favorise un retour sur les problèmes basiques  Aller-retour entre problèmes basiques /complexes Les problèmes atypiques - Appelés aussi « pour apprendre à chercher » - Visent l’inventivité stratégique et la prise de risque - « caractère non routinier ; les élèves ne disposent pas de stratégies connues à priori pour les résoudre » - Phase de recherche plus marquée, stratégies spécifiques Attention les frontières entre les catégories ne sont pas figées (un pb de partage atypique en CP peut devenir un pb basique en CE2).

Les problèmes complexes

Les problèmes atypiques

Les problèmes basiques (élémentaires)

Problèmes à deux données où il s"agit d'en ddéterminer une troisième> problèmes arithmétiques à une étape

Résolution qui nécessite plusieurs étapesConstruction et connexion des informations à la charge de l'élève

"pour apprendre à chercher"

Vers l’abstraction : Abstraire correspond à l’opération mentale qui consiste à isoler une ou plusieurs propriétés d’un objet afin de la (les) considérer pour elle(s)-même(s). Cela nécessite de se détacher du réel, du contexte dans lequel on a manipulé et/ou représenté l’objet. L’abstraction prend appui sur 3 étapes essentielles. La manipulation, la représentation et la verbalisation.

Vers l'abstraction

De la manipulation à la représentation symbolique en passant par la verbalisation

Processus

Manipulation : agir sur des objets tangibles (cubes) ou symboliques (nombres) = action, apprendre par le faire. Exemple manipulation passive/active (sur le +). Le matériel change progressivement de statut : de matériel pour constater, observer, il devient matériel pour valider ce qu’on est capable d’anticiper. De la manipulation à la représentation symbolique : Représentation imagée qui amène à se représenter quelque chose sans l’avoir sous les yeux. Représenter par une image, un dessin, une photo, un pictogramme… Action transformée en image mentale Les deux premières étapes s’accompagnent obligatoirement d’étapes de verbalisation incontournables permettant d’accéder aux concepts mathématiques et à l’abstraction. La verbalisation permet de mettre en mots et d’expliciter l’action, sans la produire ou la représenter. La verbalisation concerne à la fois le PE et les élèves. Cliquer sur le +

de l'accès à l'abstraction

Verbalisation

Manipulation

Abstraction

Mettre en mots et expliciter l'action, sans la produire ou la réaliser

Représentation

Agir sur des objets tangibles ou symboliques

Représentation imagée qui amène à se représenter quelque chose sans l’avoir sous les yeux

Objectif pour les PE : faire évoluer les procédures des élèves. Un même problème peut donner lieu à des stratégies diverses, induisant différentes procédures de la part des élèves (dénombrement, sur comptage, calcul en ligne…)

Faire évoluer les procédures

La modélisation aide les élèves à résoudre les problèmes mais il faut différencier représenter et modéliser > diapo suivante

Modéliser

pour aider à résoudre des problèmes

Représenter : c’est traduire par un dessin ou un schéma la situation. Le fait de représenter la situation permet de l’appréhender et de favoriser l’entrée dans la résolution. Certaines représentations ne sont pas traduisibles par un calcul. Modéliser : c’est traduire mathématiquement la situation. La modélisation amène ensuite à la procédure et au calcul. Elle rend la réalité calculable. Il s’agit d’un processus qui peut prendre appui sur diverses représentations.

Représenter

Modéliser

Traduire mathématiquement la situation

Traduire la situation par un dessin ou un schéma

Les deux notions apparaissent dans les programmes Pour faire évoluer les procédures des élèves, il faut déjà analyser leurs stratégies. C’est une démarche que vous pourrez réaliser avec vos élèves.

Représenter

Modéliser

- Utiliser les maths pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne- Reconnaitre et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité - Reconnaitre des situations réelles pouvant être modélisées par des relations géométriques (alignement, parallélisme...) - Utiliser des propriétés géométriques pour reconnaitre des objets

- Utiliser des outils pour représenter un problème (dessins, schémas, diagrammes, graphiques...)- Produire et utiliser diverses représentations des fractions simples et des nombres décimaux - Analyser une figure plane sous différents aspects - Reconnaitre et utiliser des premiers éléments de codages d'une figure plane ou d'un solide - Utiliser et produire des représentations de solides et de situations spatiales

Je vais vous montrer des réalisations d’élèves et vous observerez quelle stratégie a été utilisée. Lire le problème. Quel type de problème selon la typologie de Vergniaud ? > transformation + Problème basique ? complexe ? atypique ? Observer les réalisations des élèves. Quelle stratégie mise en œuvre ? Élève 1 : stratégie de type 1

Stratégie(s) mise(s) en oeuvre ?

Statégie 1 : dénombrement plutôt élémentaireStatégie 2 : dénombrement s'appuyant sur des représentations symboliques des collections Stratégie 3 : calcul ou proche du calcul, plus ou moins explicitées ou formalisées

Elève 2 : stratégie de type 3 qui associe représentation imagée encore figurative et le calcul

Stratégie(s) mise(s) en oeuvre ?

Statégie 1 : dénombrement plutôt élémentaireStatégie 2 : dénombrement s'appuyant sur des représentations symboliques des collections Stratégie 3 : calcul ou proche du calcul, plus ou moins explicité ou formalisé

Elève 3 : stratégie de type 1 où les données sont représentées et organisées en paquet de 2

Stratégie(s) mise(s) en oeuvre ?

Statégie 1 : dénombrement plutôt élémentaireStatégie 2 : dénombrement s'appuyant sur des représentations symboliques des collections Stratégie 3 : calcul ou proche du calcul, plus ou moins explicitées ou formalisées

Elève 4 : stratégie hybride de types 2 et 3 qui associe représentation imagée et approche du calcul

Stratégie(s) mise(s) en oeuvre ?

Statégie 1 : dénombrement plutôt élémentaireStatégie 2 : dénombrement s'appuyant sur des représentations symboliques des collections Stratégie 3 : calcul ou proche du calcul, plus ou moins explicitées ou formalisées

Enrichir la mémoire = faire des analogies

On le voit depuis le début. Travailler la résolution de problème, c’est créer chez vos élèves des habitudes et des attitudes de recherche à transférer. Il faut donc enrichir leur mémoire de toute sorte de problèmes différents pour leur permettre de faire des analogies avec des problèmes déjà résolus.

Faire des analogies = faire des liens sur les structures de problèmes - à l'oral de manière systématique "ça nous fais penser à...", "c'est comme..." - à l'écrit : affiche pour aider à se souvenir des structures, sous forme de schémas

exemple de trace écrite / affichage mémoire

Des exemples de schématisation tirés de méthodes ou expérimentations

Observer des schématisations proposées dans les méthodes de maths : exemples

Des exemples de schématisation tirés de méthodes ou expérimentations

Observer des schématisations proposées dans les méthodes de maths : exemples

Recherche nationale ACE qui repose sur les derniers résultats de la recherche

Des exemples de schématisation tirés de méthodes ou expérimentations

Observer des schématisations proposées dans les méthodes de maths : exemples

Schéma en barres du guide : Pour enseigner les nombres, le calcul et la résolution de problèmes

Proposition pour faire construire un schéma

Je vous propose maintenant de réfléchir à une progression pour faire construire un schéma aux élèves  Partir de la manipulation d’objets type cubes et travailler sur des problèmes de type additif : les élèves pourront ainsi manipuler des cubes représentant les objets en jeu dans le problème proposé  2 exemples : quelles sont les actions à réaliser avec les cubes ? réunir deux collections pour trouver un tout – scinder une collection en 2 pour trouver une partie Quelles activités proposer ensuite ? en CP ? CE1 ? CE2 ? quelles étapes ?

- Utiliser du matériel commun : cubes, réglettes cuisenaires... > faire le lien avec la numération et le calcul - Problème de type additif

Manipuler > verbaliser > abstraire Travailler la modélisation pour aider à résoudre des problèmes Etape 1 : manipuler pour résoudre le problème Etapes suivantes : - Faire dessiner le résultat de la manipulation - Comparer les représentations - Epurer le dessin pour le faire évoluer vers un schéma qui met en évidence la structure du problème - Imaginer/anticiper les manipulations en construisant des représentations imagées des cubes et des barres de 10/100 - Accompagner les schémas de l’expression symbolique donnant le calcul à effectuer et le résultat de ce calcul, expliciter le lien entre matériel/schéma/écriture mathématique - Remplacer le schéma des cubes et barres par un schéma plus abstrait et plus rapide à réaliser, s’appuyant sur la numération chiffrée et le modèle en barres par exemple Evolution en fonction des : - Variables didactiques : choix du matériel proposé aux élèves (favoriser les cubes emboitables, matériel multibase, réglettes pour travailler les aspects additifs, les propriétés de décomposition ou le sens des opérations) + taille des nombres dans les énoncés - Connaissances mobilisables en calcul

Imaginer les étapes suivantes Manipuler > Verbaliser > Abstraire ...avec la modélisation pour aider à résoudre des problèmes > passer du dessin figuratif au schéma

Exemple d'affichages

Exemples d'affichages pour institutionnalisation

Timeline Pour les temps de co-enseignement, prévoir une situation de résolution de problème de type additif lors duquel les élèves manipulent, dessinent, représentent la situation (en groupe ? individuel ? sur feuille A3 ?) + mise en commun Analyse des stratégies des élèves Commencer par des petits nombres pour familiarisation avec les représentations, augmenter la taille des nombres pour rendre nécessaire les premières représentations schématiques > discuter, échanger, convaincre les autres  Dépasser le schéma figuratif et le comptage un à un PE : préciser qu’il faut réaliser des dessins qui peuvent prendre des formes variées, qu’il n’est pas nécessaire qu’ils soient beaux mais qu’ils doivent contenir les informations importantes pour parvenir à la résolution du problème  Phases de synthèse pour faire évoluer ces représentations et les stratégies associées à un travail régulier d’analyse de ces représentations  Créer des affichages support reprenant ces étapes et faisant apparaitre cubes, schémas, écritures mathématiques Atelier 3 : Retour sur les séances mises en place, analyse des stratégies des élèves

Timeline

Observations croisées

Atelier 3 9 février ?

Atelier 430 mars ?

14/01 (AM)

21/01 (AM)

18/01 (AM)

Observations croisées / co-enseignement avec Antoine à Billie Holiday

Observations croisées / co-enseignement avec Pauline, Salwa et Manon à Montaud

Observations croisées / co-enseignement en interne à l'EE Montaud

Difficultés des élèves - remédiations

Analyse de pratiquesModélisation par le schéma en barres