Trabajo Matemáticas

Matemáticos en la Historia

Pablo Álvarez Gutiérrez

Índice

ISAAC NEWTON

Límites, continuidad y derivadas

EUDOXO DE CNIDOS

DESCARTES

JAMES SYLVESTER

Rectas y planos

KARL WEIERSTRASS

PIERRE DE FERMAT

Matrices

ARTHUR CAYLEY

LEONHARD EULER

OLGA TAUSSKY-TODD

Aplicaciones de las derivadas y optimización

KANTOROVICH

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY

KOOPMANS

EUCLIDES

Determinantes

KARL GUSTAV JACOB JACOBI

Propiedades métricas

BERNHARD RIEMANN

CARL FRIEDRICH GAUSS

JANOS BOLYAI

EDOUARD GOURSAT

Estudio de funciones

VIÈTE

Sistemas de ecuaciones

LEONHARD EULER

MARY CARTWRIGHT

KOLMOGOROV

Estadística y probabilidad

DANIEL BERNOULLLI

WILLIAM ROWAN HAMILTON

Vectores en el espacio

CAVALIERI

Integrales y aplicaciones

LAPLACE

BARROW

HERMANN GÜNTHER GRASSMANN

MATRICES

El origen de las matrices es muy antiguo, estudiándose ya en China en el año 650 a.C., siendo el matemático Jiu Zhang Suan Shu el primero que utilizó el método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones. También los matemáticos árabes, en el siglo VII, conocían las matrices por los estudios de matemáticos y astrónomos de la India Ya en el siglo XVII matemáticos como Seki Kowa, Cramer, Gauss y Wilhelm Jordan estudiaron las matrices, al igual que el filósofo y matemático Leibniz.

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JAMES SYLVESTER

Pero quien utiliza por primera vez el término “matriz” es el matemático inglés JAMES SYLVESTER en 1850 para referirse a ciertas estructuras en forma de rectángulo de elementos que pueden sumarse y multiplicarse y que permiten presentar sistemas de ecuaciones lineales. Sylvester realizó sus estudios en Cambridge junto al también matemático inglés Arthur Cayley, aunque a diferencia de éste, no pudo graduarse por ser judío.

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ARTHUR CAYLEY

ARTHUR CAYLEY nació en 1821 y en 1857 desarrolló el álgebra de matrices, estableciendo las reglas sobre cómo se suman y multiplican las matrices. Fue educado en el Trinity College de Cambridge donde se graduó como abogado en 1842 y donde obtuvo el premio Smith. Pese a ser abogado, trabajó intensamente en las matemáticas, siendo alumno de William Rowabn Hamilton en Dublín. En 1863 acepta la cátedra Sadlerian en Cambridge, dedicando todos sus esfuerzos al estudio de las matemáticas y abandonando la abogacía. Cayley desarrolló la teoría de matrices introduciendo el concepto de matriz y estudiando sus propiedades, y también fue pionero en geometría analítica, teoría de determinantes, teoría de curvas y superficies, teoría de funciones elípticas y teoría de invariantes, entre otras, convirtiéndose en uno de los matemáticos de la Historia que más publicaciones realizó; al mismo tiempo era un gran lector de novelas, pintor de acuarela y estudioso de la botánica y la naturaleza. Murió en 1895.

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OLGA TAUSSKY-TODD

El 30 de agosto de 1906 nace en la República Checa OLGA TAUSSKY-TODD, experta en teoría de Números y Teoría de Matrices. Estudió Matemáticas en la Universidad de Viena y trabajó en la Universidad de Gotinga, trasladándose posteriormente a EEUU donde estudió dos años. Tras regresar a Viena se vio obligada a huir de los nazis por su origen judío, incorporándose en 1937 a la Universidad de Londres. Trabajó como ingeniera de aviones donde investigó el fenómeno fluttering de la aeroelasticidad y en 1947 emigra a EEUU, siendo la primera mujer en ser nombrada profesora de matemática en el Instituto Tecnológico de California, convirtiéndose en figura clave de la computación. Falleció en 1995 en California.

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DETERMINANTES

Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, antes que las matrices, aunque en el año 200 a.C. el matemático chino Junzhang Suanshu fue el primero en utilizar la tabla de ceros y el algoritmo que, desde el siglo XIX, se conoce como Eliminación de Gauss-Jordan. Ya en el siglo XVII Kowa Seki da el primer ejemplo de determinante. Casi al mismo tiempo lo hace en Europa Leibniz (conocido junto a Newton como uno de los creadores del cálculo moderno) utilizando el término “determinante” en una carta dirigida en 1683 al marqués de L´Hopital. También estudió el sistema de coeficientes de formas cuadráticas y matrices.

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AUGUSTIN LOUIS CAUCHY

Cauchy nació el 21 de agosto de 1789. Tras trabajar como ingeniero militar estudia Matemáticas en París. En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Define y precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual y hoy se utiliza su nombre para referirse a numerosos términos matemáticos, como el teorema integral de Cauchy, la teoría de las funciones complejas, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y Secuencias de Cauchy y fue uno de los primeros matemáticos que, en los 789 artículos que escribió, enunció y demostró teoremas de forma rigurosa. Redactó la fórmula de Cauchy - Binet que permite calcular el determinante del producto de dos matrices tales que el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda, y el número de columnas de la segunda es igual al número de filas de la primera Tras permanecer varios años en Suiza, se traslada a Italia y Praga, retornando a París en 1838, retomando en 1848 su cátedra de Astronomía en la Universidad de la Sorbona. Falleció el 23 de Mayo 1857 en Sceaux.

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KARL GUSTAV JACOB JACOBI

Nacido en Postdam (Alemania) en 1804, estudia en la Universidad de Berlín, siendo nombrado profesor con veinte años. En 1842 viaja a Italia y a su regreso a Alemania se mete en política. Murió en Berlín en 1851 a consecuencia de la viruela. Jacobi formula la teoría de las funciones elípticas y destaca por sus estudios sobre formas cuadráticas, matrices jacobianas, mecánica cuántica y dinámica y geometría, impulsado la Teoría de los Números y el concepto de integral. Formuló el Determinante de Jacobi, también llamada Matriz Jacobiana, para calcular funciones matemáticas multidimensionales por aproximación y para transformar integrales.

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CARL FRIEDRICH GAUSS

Carl Gauss nació en 1777 en Alemania y murió en 1855. Fue un matemático precoz, y ya con tres años leía y hacía cálculos matemáticos. Estudió lenguas antiguas y con 17 años inició sus estudios de Matemáticas. Se doctoró en matemáticas por la Universidad de Gotinga con un trabajo en el que formuló el Teorema fundamental de álgebra. Para él, “la matemática es la reina de las ciencias, y la aritmética, la reina de las matemáticas”, interesándose también por la geodesia y la astronomía ideando un sistema cálculo de las órbitas de los cuerpos celestes Desarrolló el teorema de los números primos, la Curva de Gauss, el Teorema de la divergencia, y el Método de Gauss que facilita el cálculo de determinantes usando las propiedades de éstos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes. Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones: permutar 2 filas ó 2 columnas, multiplicar o dividir una línea por un número no nulo, y sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.

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SISTEMAS DE ECUACIONES

Ya los matemáticos griegos, en el año 300 a.C. desarrollaron métodos para resolver ecuaciones , como hizo Diofanto, estableciendo las bases del álgebra geométrica, pero ya en el año 1650 a.C. los egipcios plasmaron en papiros la resolución algebraica de problemas relacionados con la vida cotidiana. Será Viète (1540-1603) quien marque el inicio de una etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye a convertir el álgebra en la ciencia de las ecuaciones.

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VIÈTE

VIÈTE fue un matemático francés al que se atribuye el inicio de la formulación de la Teoría de ecuaciones utilizando letras para representar variables y coeficientes, desarrollando un lenguaje simbólico para reflejar de manera simple una expresión polinómica. El uso de las letras se irá extendiendo y perfeccionando en Europa, siendo retomado el sistema de Viète por Fermat y Descartes.

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MARY CARTWRIGHT

MARY CARTWRIGHT nació en Inglaterra en 1900 y falleció en Cambridge en 1998. Estudió Matemáticas por causalidad ya que era una apasionada de la Historia. En 1919 se matricula en la Universidad de Oxford donde conoce al matemático Vernon Morton que le aconseja estudiar los avances matemáticos de la época. Tras incorporarse a las clases de Godfrey Hardy, hace su tesis sobre integrales bajo la dirección de éste. Defendiendo su tesis conoce a John Edensor Littlewood, siendo capaz de resolver un problema sobre funciones que éste había planteado, aplicando el llamado Teorema de Cartwright. Colaborando con Littlewood realizan importantes avances en problemas de ecuaciones, estudiando durante diez años las soluciones a un sistema de ecuaciones relacionado con el comportamiento caótico, aunque sus resultados no serían valorados hasta 1950. En 1947 es elegida miembro de la Royal Society de Londres y desde 1961 a 1963 preside la London mathematical Society, siendo la primera mujer en presidirla. Sus trabajos han sido decisivos en el estudio de las ondas de radio y radar.

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VECTORES EN EL ESPACIO

Los vectores tienen gran importancia en la resolución de problemas, sobre todo en aplicaciones del ámbito científico y tecnológico. Además muchas magnitudes, como peso, fuerza o velocidad, se caracterizan mediante vectores.

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WILLIAM ROWAN HAMILTON

WILLIAM ROWAN HAMILTON, fue un matemático irlandés nacido en 1805 y fallecido en 1865. En 1827 fue nombrado astrónomo real de Irlanda y llegó a ser profesor de astronomía del Trinity College de Dublín. Hamilton realizó cálculos que intentaban aportar a los vectores formas de medir puntos en un plano complejo, descubriendo y desarrollando los llamados cuaterniones para interpretar de manera tridimensional una realidad física. Hamilton considera que para ello no basta considerar el ángulo entre vectores sino que también hay que tener en cuenta el plano en el que se inscribe el ángulo El uso de los cuaterniones resultó fundamental en robótica y en visión, gráficas y juegos por ordenador.

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HERMANN GRASSMANN

Otro autor fundamental en el desarrollo de los vectores en el espacio fue HERMANN GÜNTHER GRASSMANN. Nació en Polonia en 1809. Estudió Teología y Literatura en la Universidad de Berlín, siendo autodidacta en su formación en Matemáticas. Sus obras más importantes fueron Teoría del Flujo y Reflujo y Reglas de la Expansión, obra ésta que contiene las ideas fundamentales del cálculo vectorial. Sus teorías fueron inicialmente rechazadas por los matemáticos de su época, pero poco a poco fueron aceptadas, reconociendo, incluso, que, resultados obtenidos por Hamilton, eran consecuencia de los cálculos de Grassmann. Grassmann realizó sus descubrimientos desde un punto de vista geométrico, considerando que la Geometría no era, únicamente, una rama de las Matemáticas. A Grassmann se debe la formulación de las reglas del producto exterior de vectores.

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RECTAS Y PLANOS

La Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir') es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. Elaborada por Euclides en el siglo III a. C., representa una aportación grandiosa del antiguo pensamiento griego a la cultura de la humanidad, siendo el saber geométrico es el conocimiento de las propiedades del espacio geométrico. El sabio griego Eudemo de Rodas atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, centrándose en cálculo de áreas y volúmenes, ya que necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras. En los matemáticos de la cultura griega los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel, separándose en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística". Sin duda los dos grandes en esta materia fueron René Descartes (1596-1650) y Pierrede Fermat (1601-1655), con ellos, en el siglo XVII renace la geometría analítica.

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HERMANN GÜNTHER GRASSMANN

René Descartes nació el 31 de marzo de 1596 en la Haye (Francia). Siendo un niño enfermizo, pasaba mucho tiempo en cama, invirtiendo su tiempo en leer y estudiar. A los 20 años se traslada a París donde comienza a profundizar en el estudio de las matemáticas. En 1628 se traslada a Holanda, donde escribirá sus obras más importantes, atreviéndose a cuestionar los pensamientos científicos predominantes y apostando por la razón, la experimentación y la observación. Su Tratado más famoso fue el Discurso del método, que contiene un apéndice denominado Geometrie donde relaciona por primera vez álgebra y geometría, ando lugar a lo que se denomina Geometría analítica o cartesiana. En ella Descartes proporciona instrucciones geométricas para resolver ecuaciones aplicando el álgebra a los problemas geométricos. Identifica los puntos del plano con pares de números, en un sistema de coordenadas en el que cada par nos da la posición de un punto con respecto a dos rectas perpendiculares fijadas, llamadas ejes de coordenadas. Cada par de coordenadas especifica un punto único del plano, y cada punto viene dado por un único par de coordenadas. además describe lineas dibijadas en el plano mediante ecuaciones con dos variables y viceversa. Aunque el mayor logro de Descartes fue el desarrollo de su geometría, también hizo importantes aportaciones en la óptica, formulando la Ley de refracción; en física, donde formuló el principio de que el movimiento rectilíneo es el natural; y en astronomía, revelando el movimiento de planetas y estrellas. Hoy en día, Descartes es considerado un destacado filósofo, matemático y físico.

RENÉ DESCARTES

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PIERRE DE FERMAT

Pierre de Fermat nació en Francia el 17 de agosto de 1601. Considerado uno de los mejores matemáticos del siglo XVII junto a descartes, Newton y Leibniza, contribuyó decisivamente a la creación de la Geometría analítica como rama independiente de las Matemáticas. Estudió en la Universidad de Toulouse y viajó a Burdeos donde se formó en álgebra. En 1631 se licencia en Derecho por la Universidad de Orleans y accede al cargo de consejero del Parlamento de Toulouse, llegando en 1652 a convertirse en asesor de la Corte Suprema. Fermat estableció el Método para determinar máximos y mínimos y trazar tangentes a líneas curvas, aunque siempre se negó a publicar sus trabajos como le pedían otros matemáticos de la época. Fermat entabló polémica con descartes al criticar y señalar errores en los trabajos de Descartes sobre refracción. Además de sus aportaciones a la geometría estudiando la intersección de las superficies espaciales por planos, Fermat destacó por formular el gran teorema de Fermat sobre teoría de los números, por los números primos que llevan su nombre y por sus aportaciones al cálculo de probabilidades.

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LEONHARD EULER

Los trabajos de Descartes y fermat sobre Geometría analítica fueron sistematizados en 1748 por Leonhard Euler, quien expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas y clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones Nacido en Suiza en 1707, estudió en la Universidad de Basilea, graduándose como Doctor a los 17 años con una tesis sobre la comparación entre el sistema cartesiano y el newtoniano. En 1727 se traslada a Rusia donde obtiene una Cátedra de Filosofía en San Petersburgo. Premiado por la Academia de París en varias ocasiones, en 1741 se traslada a Berlín donde publicó numerosos trabajos. En 1766 regresa a Rusia, donde muere en 1783. Su trabajo como matemático fue muy amplio, con estudios en Geometría, Cálculo y Teoría de Números. También contribuyó al desarrollo de la hidrostática y la astronomía, y escribió sobre música y cartografía.

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Límites, continuidad y derivadas

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Rectas y planos

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PIERRE DE FERMAT

Matrices

ARTHUR CAYLEY

LEONHARD EULER

OLGA TAUSSKY-TODD

Aplicaciones de las derivadas y optimización

KANTOROVICH

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY

KOOPMANS

EUCLIDES

Determinantes

KARL GUSTAV JACOB JACOBI

Propiedades métricas

BERNHARD RIEMANN

CARL FRIEDRICH GAUSS

JANOS BOLYAI

EDOUARD GOURSAT

Estudio de funciones

VIÈTE

Sistemas de ecuaciones

LEONHARD EULER

MARY CARTWRIGHT

KOLMOGOROV

Estadística y probabilidad

DANIEL BERNOULLLI

WILLIAM ROWAN HAMILTON

Vectores en el espacio

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Integrales y aplicaciones

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PROPIEDADES MÉTRICAS

La geometría, Ciencia que se ocupa de los conocimientos prácticos sobre longitudeds, áreas y volúmenes, es uno de los saberes más antiguos. Ya los babilonios y los egipcios estudiaron la geometría, desarrollándose con la invención de la rueda, el descubrimiento del número pi, el desarrollo del sistema sexagesimal y el cálculo de áreas. Será Euclides, en el siglo III a.C. el que configuró la geometría estableciendo reglas que se aplicarían durante años. Ya en la Edad Moderna Descartes desarrolló al mismo tiempo el álgebra de ecuaciones y la geometría, representando las figuras geométricas con funciones y ecuaciones. Matemáticos como Bolyai, Obatchevsky, Euler, Gauss y Riemann revisaron las reglas de la Geometría de Euclides, que continuará desarrollándose con la creación de la Topología.

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EUCLIDES

Euclides, considerado "el padre de la geometría", fue un matemático y geómetra griego que vivió en Alejandría entre los años 325 y 265 a.C. dónde fundó una escuela de estudios matemáticos. De su obra destaca su Tratado de geometría “Los Elementos”, una de las obras científicas más importantes de todo el mundo en la que trata de compilar todo el conocimiento matemático, con más de 1.000 ediciones desde que se imprimió por primera vez en 1482, y en la que recoge los cinco enunciados que denomina “postulados”: 1. Por dos puntos distintos sólo cruza una línea recta. 2. Un segmento puede prolongarse en una recta ilimitada. 3. Se puede trazar una circunferencia a partir de un punto central y un radio cualquiera. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Si una recta corta a otras dos formando ángulos interiores en un lado, siempre que la suma de los mismos sea inferior a la de dos ángulos rectos; esas dos rectas se cortarán en dicho lado.

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BERNHARD RIEMANN

Bernhard Riemann fue un matemático alemán nacido el 17 de septiembre de 1826 y fallecido en Italia en 1866. Hijo de un ministro luterano, estudió en las Universidades de Gotinga y Berlín, doctorándose en Matemáticas con su obra “Fundamentos para una teoría general de funciones variables complejas”. Su obra fue incorporada por Einstein en su teoría de la relatividad y gravitación. Riemann estudió, desarrolló y revisó la geometría euclidiana, formulando la llamada “Geometría de Riemann” que estudia las variedades diferenciales con métricas de Riemann , de manera que a cada punto de la variedad le asigna una forma cuadrática definida en su espacio tangente.

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JANOS BOLYAI

Janós Bolyai fue un matemático húngaro nacido en 1802 y fallecido en 1860. Fue el creador junto con el matemático ruso Lobatchevsky de la llamada Geometría Hiperbólica. Únicamente publicó el Tratado “El Appendix” con una extensión de 24 páginas, aunque dejó manuscritos más de 20.000 folios, estando su obra íntimamente ligada a los trabajos de su padre Wolfgang Farkas Boylai, gran amigo de Gauss. Janós mostró desde pequeño grandes dotes para las matemáticas, los idiomas y la música. En 1820 Bolyai comienza a construir una teoría absoluta de la geometría aplicando el método deductivo de Euclides y en 1823 año 1823 descubre una fórmula mediante la cual se puede obtener el ángulo de paralelismo (a) en función de una constante K.

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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

La probabilidad es el cálculo matemático que evalúa las posibilidades que existen de que una cosa suceda cuando interviene el azar, y se utiliza no ólo en matemáticas sino también en estadística, física, economía, ciencias sociales, … Ya en el siglo XVI el matemático y astrólogo italiano Girolamo Cardano realizó estudios sobre el azar, pero el origen de la doctrina de la probabilidad se sitúa en las obras de Pierre de fermat y Blaise Pascal en el siglo XVII, siendo Christiaan Huygens y Juan Caramuel quienes, también en el siglo XVII, le dieron tratamiento cientifico. A lo largo de la Historia han sido muy numerosos los investigadores que han realizado estudios y trabajos sobre la probabilidad, pudiendo mencionar, entre otros, a Roger Cotes, Pierre-Simon Laplace, Daniel Bernoulli y Thomas Simpson en el siglo XVIII, Adrien Marie Legendre, Gauss, John Herschel, James Ivory, Sylvestre Lacroix y Robert Adrian en el siglo XIX, y Kolmogorov, Crofton y Artemas Martin en el siglo XX.

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KOLMOGOROV

Considerado el padre de la moderna Teoría de la probabilidad, Andrei Nikolaevich Kolmogorov nació en 1903 en Moscú. Estudio en la Universidad de Moscú donde llegó a ser profesor, doctorándose en 1935 en Física y Matemáticas. Fue miembro de la Academia de Ciencias y Ciencias Pedagógicas de la Unión Soviética, de la Academia de Ciencias de USA, del Instituto Francés, de la Royal Society en Londres, y de la Academia Internacional de Historia y Ciencias. Escribió muchos libros y más de 200 artículos sobre Teoría de Funciones, Lógica Matemática, Teoría de las Probabilidades y aplicaciones, Problemas de Estacionalidad, Educación e Historia de las matemáticas. Es en 1924, estando en la Universidad, cuando Andrei Nikolaevich Kolmogorov comienza a interesarse por la Teoría de la probabilidad, analizando los métodos de aplicación de la teoria métrica de las funciones y las series de las variables aleatorias, colalborando con Khinchin con quien formulará el teorema y el criterio de Kolmogorov-Khinchin. En 1925 Kolmogorov empieza a estudiar los grandes números sobre la base de los trabajos realizados por J. Bernouilli, y en 1930 presenta su Ley fuerte de los grandes números. En vísperas de la segunda guerra mundial realizó diferentes trabajos sobre la teoría balística y una profunda investigación sobre la eficiencia en los sistemas de tiro. Ya en los años sesenta Kolmogorov realiza estudios de teorìa de la información y de la probabilidad, desarrollando nuevos algoritmos, siendo en esa época nombrado Director de Laboratorio de Métodos estadísticos de la Universidad de Moscú.

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DANIEL BERNOULLI

DANIEL BERNOULLI fue un físico, matemático y médico, que destacó por sus trabajos en Hidrodinámica, Energía hidráulica y eólica siendo considerado el artífice del principio de empuje de la hélice y su posible uso en el impulso de los barcos. También destacó Bernoulli en el campo de las matemáticas puras y aplicadas y en las matemáticas mixtas. Realizó importantes estudios en cálculo de probabilidades, magnitudes medias y uso de los métodos infinitesimales, destacando por la formulación de la llamada Distribución de Bernoulli, que consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que ocurra (éxito) y q=1-p, el que no ocurra (fracaso) Bernoulli nació en Holanda, pero siendo niño su familia se trasladó a Suiza, donde estudió Matemáticas, Filosofía e Idiomas. Formó parte de la Academia de las Ciencias de Francia y de la Academia de las Ciencias de San Petersburgo fundada por Catalina la Grande. En Rusia ejerció como profesor de Física. En 1750 fue elegido miembro de la Royal Society de Londres. Fue un hombre muy generoso que ayudó a jóvenes estudiantes e investigadores pagando sus estudios. Murió en 1782 en Basilea (Suiza), ocupando su nombre un lugar destacado en la Historia de la Ciencia.

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SIMON LAPLACE

Simon Laplace (1749-1827) fue un astrónomo, físico y matemático francés, seguidor de las teorías de Newton sobre la Mecánica. Fue decisiva su aportación a la Estadística y la Probabilidad, disciplinas en las que sentño las bases de la teoría analítica de la probabilidad, que vinculó con la astronomía en su estudio sobre el origen del sistema solar. Laplace afirmaba que las cuestiones más importantes de la vida eran problemas de probabilidad y que, por tanto, era posible aplicar a la vida diaria sus teorías. En 1812 publicó su Teoría analítica de las probabilidades y en 1814 el Ensayo filosófico sobre la probabilidad, formulando la regla de los casos favorables entre los casos posibles. En 1810, Laplace desarrolló una derivación alternativa del método de los mínimos cuadrados, y estableció que los errores en astronomía, como en los estudios estadísticos de la población, deberían distribuirse según la ley de los errores, sirviendo de referencia a todos los astrónomos y matemáticos del siglo XIX. Hijo de una granjera y un obrero, llegó a ser Presidente de la academia Francesa de las Ciencias, miembro de la Academia Francesa de la Lengua y Ministro con Napoleón, a quien después se opuso.

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LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS

Los conceptos de límites, continuidad y derivadas son fruto de varios siglos de evolución, Los problemas que dan origen al llamado “Cálculo Infinitesimal” comenzaron a plantearse ya en la antigua Grecia con astrónomos como Eudoxo de Cnido, aunque los métodos ordenados de resolución se formularán dos mil años después, siendo en el siglo XVII cuando se desarrolla de manera definitiva el cálculo diferencial, con matemáticos como Fermat, Newton y Leibniz.

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Las derivadas tienen su origen en los estudios de Isaac Newton y de Gottfried Leibniz, matemáticos que llegaron a las mismas conclusiones al mismo tiempo, enfrentándose por sus teorías. Newton empezó a sentar sus bases del cálculo infinitesimal en 1669. Pero era reacio a publicar sus trabajos. Será en 1671 cuando publica su obra De methodis serierum et fluxionum en la que introdujo el concepto de fluente y de fluxión de la fluente, que sería nuestra aceleración, que es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Es aquí donde aparece el concepto de derivada que hace que consideremos a Newton como uno de los padres del cálculo. Sin embargo las fluxiones de fluentes de Newton, no son las derivadas que usamos hoy en día, sino que utilizamos la versión desarrollada por Leibniz, que trabajó en el campo del cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, llamando a su cálculo “differentia”. De ahí nace el concepto de Cálculo Diferencial.

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Astrónomo y matemático griego, discípulo de Platón, es considerado el fundador de la astronomía matemática. Se cree que nació en el año 408 a.C. en la ciudad de Cnido. Realizó importantes aportaciones en Geometría y fue el primero en exponer una teoría matemática sobre los movimientos del Sol y los planetas, afirmando que el límite del Universo está formado por la esfera de las estrellas, atribuyéndosele el descubrimiento de que el año solar tiene 6 horas más de los 365 días.

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KARL WEIERSTRASS

Karl Weierstrass (1815-1897), es considerado como el padre del análisis matemático. Nació el 31 de octubre de 1815 en Ostenfelde (Prusia, actualmente Alemania). Hijo de una familia de comerciantes, estudió en la Universidad de Bonn en 1834, decidiéndose a estudiar Matemáticas, destacando por sus estudios sobre las funciones abelianas y consiguiendo resolver el problema de Jacobi sobre la inversión de integrales hiper elípticas. Fue nombrado miembro de la Academia de las Ciencias de Berlín y obtuvo la plaza de profesor en la Universidad de Berlín. Como rector, consiguió que la Universidad de Berlín se convirtiera en un centro de gran prestigio para los estudios de matemáticas.

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APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Y OPTIMIZACIÓN

La llamada optimización de funciones, es la consecución de los máximos y mínimos relativos de una función, sometida a unas restricciones. Una vez que tengamos la función a optimizar, obtendremos los extremos relativos mediante la derivada de la función, e igualándola a cero. Los problemas de optimización ya fueron estudiados por matemáticos griegos de la Antigüedad, como Apolonio, si bien el momento decisivo en la teoría de la optimización lo reprsentan las obras de Kantorovich y Koopmans, Premios Nobel de Economía de 1975.

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Leonid Vitaliyevich Kantorovich, economista, ingeniero y matemático ruso, obtuvo el Premio Nobel de Economía en 1975, compartido con T. Koopmans, por sus contribuciones a la teoría de la óptima localización de recursos. Nació en Leningrado en 1912, donde estudió en la Universidad, llegando a ser nombrado Director del Instituto de Matemáticas de la Academia de Ciencias de la Unión Soviética y del Instituto de Control de la Economía Nacional y fue miembro de la Academia de Ciencias de la Unión Soviética desde 1964 En 1939 presentó el método matemático de la programación lineal, aplicable para maximizar la eficacia de la productividad, las materias primas y el trabajo, siendo utilizadas sus teorías para mejorar la planificación económica y la distribución de recursos en la Unión Soviética.

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Nació en Holanda, estudiando matemáticas y Física en las Universidades de Utrecht y Leiden. Sus primeros trabajos fueron sobre teoría de probabilidad y estadística en Economía, disciplina que estudió en la Universidad de Amsterdam. En 1940 se traslada a Estados Unidos donde trabaja como profesor de Estadística en las Universidades de Princeton, Nueva York y Chicago. En sus trabajos aplicó métodos de programación lineal al análisis de producción , siendo la base para compartir el Premio Nobel con Kantorovich. Su obra más importante fue Three Essays (1957) donde afirma que todas las teorías económicas tiene una misma estructura lógica y analiza la relación entre el análisis lógico y las soluciones a los problemas económicos, buscando el crecimiento económico óptimo y el uso óptimo de los recursos naturales agotables.

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ESTUDIO DE LAS FUNCIONES

El estudio de las funciones constituye el objeto de una rama de las Matemáticas denominado Análisis Funcional y que tiene su origen en el estudio de las ecuaciones. El primer matemático en utlizar el término “Función” fue Volterra, que la define como una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto; las funciones son relaciones entre los elementos de dos conjuntos. En 1837, el matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet formula la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo. Las funciones se representan con la notación f(x), utilizada por primera vez por alexis Claude Clairaut,). Muchos matemáticos han dedicado sus esfuerzos al estudio de las funciones, pudiendo destacar los nombres de Descartes, Leibniz, Goursat o Euler.

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EDOUARD GOURSAT

Edouard Goursat fue un matemático francés nacido en 1858 en la región de Lot (Francia) y que murió en París en 1936. Conocido por su versión del teorema de Cauchy-Goursat que establece que la integral de una función alrededor de un contorno cerrado simple es cero si la función es analítica dentro del contorno, destacó desde muy joven por su alta capacidad para el estudio de las Matemáticas. Fue profesor en la Universidad de París donde se doctoró en matemáticas, siendo su obra más conocida Cours d'analyse mathématique que introdujo muchos nuevos conceptos de análisis y en la que establece el nombre de Regla de L’Hopital para denominar a la que permite encontrar el límite de una función racional cuyo denominador y numerador tienden a cero en un punto. Goursat recibió numerosos e importantes premios, siendo elegido Presidente de la Sociedad Matemática Francesa en 1895 y miembro de la academia de las Ciencias de París en 1919, y nombrado Caballero de la Legión de Honor.

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Aplicaciones de las derivadas y optimización

KANTOROVICH

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY

KOOPMANS

EUCLIDES

Determinantes

KARL GUSTAV JACOB JACOBI

Propiedades métricas

BERNHARD RIEMANN

CARL FRIEDRICH GAUSS

JANOS BOLYAI

EDOUARD GOURSAT

Estudio de funciones

VIÈTE

Sistemas de ecuaciones

LEONHARD EULER

MARY CARTWRIGHT

KOLMOGOROV

Estadística y probabilidad

DANIEL BERNOULLLI

WILLIAM ROWAN HAMILTON

Vectores en el espacio

CAVALIERI

Integrales y aplicaciones

LAPLACE

BARROW

HERMANN GÜNTHER GRASSMANN

LEONHARD EULER

El matemático y físico suizo Leonhard Euler, nacido en Suiza en 1707 y fallecido en 1783 en Rusia, fue uno de los más prolíficos autores de las Matemáticas, con descubrimientos en una amplia gama de campos, como geometría, cálculo infinitesimal, trigonometría, álgebra, teoría de números, teoría de funciones, ….. Hijo de un clérigo, desde muy joven tuvo contacto con las matemáticas, siendo su padre amigo de Bernouilli. Estudió en la Universidad de Basilea donde se graduó como Doctor en Matemáticas a los 17 años. con un estudio comparativo de los sistemas cartesiano y newtoniano. Decidió trasladarse a Rusia, siguiendo los pasos de Bernoulli, al que sucedió como catedrático en la Universidad de San Petersburgo. Fue miembro de la Academia de París y permaneció durante 25 años en Berlín donde desarrolló importantes trabajos sobre física, astronomía e ingeniería. Tras regresar a Rusia, queda ciego. Pese a ello continúa publicando trabajos que dictaba a sus hijos y alumnos. Dedicó gran parte de su tiempo al estudio de las funciones y las ecuaciones diferenciales que llevan su nombre. A él le debemos la notación f(x) y en 1744 fue el primero en expresar una función algebraica por medio de una serie de este tipo. Euler contribuyó al conocimiento en muchas ramas de la Ciencia en las que siempre empleó métodos y conocimientos matemáticos, llegando incluso a escribir sobre música y cartografía.

Índice

ISAAC NEWTON

Límites, continuidad y derivadas

EUDOXO DE CNIDOS

DESCARTES

JAMES SYLVESTER

Rectas y planos

KARL WEIERSTRASS

PIERRE DE FERMAT

Matrices

ARTHUR CAYLEY

LEONHARD EULER

OLGA TAUSSKY-TODD

Aplicaciones de las derivadas y optimización

KANTOROVICH

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY

KOOPMANS

EUCLIDES

Determinantes

KARL GUSTAV JACOB JACOBI

Propiedades métricas

BERNHARD RIEMANN

CARL FRIEDRICH GAUSS

JANOS BOLYAI

EDOUARD GOURSAT

Estudio de funciones

VIÈTE

Sistemas de ecuaciones

LEONHARD EULER

MARY CARTWRIGHT

KOLMOGOROV

Estadística y probabilidad

DANIEL BERNOULLLI

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CAVALIERI

Integrales y aplicaciones

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BARROW

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INTEGRALES Y APLICACIONES

“Integral” es un concepto fundamental del cálulo y análisis matemático. Una integral es una generalización de la suma continua de infinitos sumandos. El cálculo integral forma parte del llamado “cálculo infinitesimal”, que es una rama de las Matemáticas aplicada en la ingeniería y la Ciencia para el cálculo de áreas y volúmenes. El término “integral” fue utilizado ya por Arquímedes y desarrollado por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Kepler, Cvalieri y Barrow.

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CAVALIERI

Bonaventura Cavalieri fue un jesuita italiano nacido en Milán en 1598 y falleció en Bolonia en 1647. Considerado uno de los precursores del cálculo infinitesimal moderno, fue alumno del matemático benedictino Castelli, quien lo inició en el estudio de los trabajos de Galielo Galilei. Profesor en la Universidad de Pisa, en 1626 se traslada a Roma y posteriormente a Milán donde llega a convertirse en asistente del Cardenal. En 1629, Cavalieri fue nombrado catedrático de Matemáticas en Bolonia, apoyado por Galileo. Estudioso de los trabajos de Arquímedes y Kepler, formuló una teoría para el cálculo rápido de áreas y volúmenes, dando lugar a los llamados Principios de Cavalieri, según los cuales “Si dos piezas planas están incluidas entre un par de líneas paralelas, y si las longitudes de los dos segmentos cortados por ellas en cualquier línea paralela a las líneas incluidas son siempre iguales, entonces las áreas de las dos piezas planas son también iguales. Si dos sólidos están incluidos entre un par de planos paralelos, y si las áreas de las dos secciones cortadas por ellos en cualquier plano paralelo a los planos de inclusión son siempre iguales, entonces los volúmenes de los dos sólidos son también iguales” Cavalieri también destacó por sus estudios sobre los logaritmos y la trigonometría, óptica, astronomía, astrología,… y mantuvo correspondencia con matemáticos y científicos como Galileo o Torricelli, entre otros.

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BARROW

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BARROW

Isaac Barrow nació en Londres en 1630. Además de matemático, fue un teólogo cristiano. Fue profesor de geometría en 1660 y de griego en 1662 en la Universidad de Cambridge. En 1663 obtuvo la Cátedra de Matemáticas en la Universidad de Cambridge, a la que renunció en 1669 en favor de su alumno isaac Newton. Barrow destaca por sus aportaciones al cálculo y la óptica, especialmente por su Teorema Fundamental del Cálculo según el cual la derivación y la integración son operaciones inversas. Tras revisar dicho Teorema, Barrow formula su Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, llamado Regla de Barrow, que permite el cálculo de integrales definidas a partir de alguna de sus primitivas, siendo la aplicación más conocida el cálculo del área delimitada por la gráfica de una o varias funciones.

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WEBGRAFÍA

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