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Chap 9 : Arithmétique 5ème

monacosinus

Created on December 16, 2021

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Chapitre 9 : Arithmétique

Nouvelle Partie

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Par M. MARGUET, Collège Charles III, Monaco

Challenger Démacien, tu as déjà prouvé ta valeur lors de précédents défis. Le monde de Runeterra a encore besoin de toi.Notre héroine, Kayle, semble avoir perdu la raison.Sa soeur, Morgana, l'exilée, a promis de venir se venger. Leurs pouvoirs sont immenses et nous craignons une lutte qui détruirait le monde. Il est vrai que Kayle a forcé Morgana à partir, mais il semble que ce soit parfaitement mérité, Kayle est la main de la justice, elle sait ce qu'elle fait. Certains parlent de trahison envers sa famille. Le peuple de Démacia se déchire. Le camp de Kayle et des traditions, ou celui de Morgana et de la vérité ?

Morgana1
=
on

PVMorg
=
0

PVKayle
=
0

Morgana2
=
on

Morgana3
=
on

Kayle1
=
on

Kayle2
=
on

Kayle3
=
on

Morgana a été contrainte par sa soeur à quitter le royaume de Démacia car elle y refusait les traditions guerrières qu'elle pense barbares. En quittant la région, elle a juré de devenir la plus puissante des mages, afin d'éradiquer les personnes qui vouent un culte à la guerre en un seul coup.Sa soeur, Kayle, a reçu l'immortalité de la part des dieux guerriers de Démacia. Qui sait ce qu'elle pourrait en faire ...Tu vas devoir faire un choix décisif. Soutenir Kayle et détruire ceux qui refusent de se joindre à son camp ou bien soutenir Morgana et choisir la vérité et la vengeance ...

Qui vas-tu soutenir ?

Kayle

Morgana

Rappels

Division euclidienne

Critères de divisibilité

Multiples / Diviseurs / Nombres premiers

Décomposition en facteurs premiers

Epreuve

Rappels

Division euclidienne

Critères de divisibilité

Multiples / Diviseurs / Nombres premiers

Décomposition en facteurs premiers

Epreuve

La route vers la Justice est semée d'embûches. Tu ne dois pas abandonner à la moindre difficulté. Moi, Kayle, la vertueuse, vais te guider dans ta quête.

Tables de multiplication pour apprendre les tables de division de tête.

Vocabulaire de la division.

Tu vas devoir maîtriser la méthode de la division posée si tu ne peux pas tout faire de tête.Pas d'inquiétude, la méthode est automatique !

Dans le cas présent, on part de la gauche mais 2 est plus petit que 4 donc il faut prendre 26. Puis on divise 26 par 4, on obtient 6. On le note au quotient et on regarde ce qu'il nous reste ici.On abaisse ensuite le 1 pour recommencer une nouvelle étape. Dans 21, j'ai 5 fois la valeur 4 et il reste 1. J'abaisse enfin le 6.Comme 4x4=16, on place 4 au quotient et il ne reste plus rien.

Résultat final : 2616 ÷4=654

Premier exercice pour voir si tu as compris.Je te laisserai poursuivre uniquement si tout est parfait !Sur ton cahier, partie exercices, pose les divisions suivantes et indique les quotients dans les cases réponses.

FAUX !

4560 ÷ 3 =

2827 ÷ 11 =

VALIDER

41251 ÷ 7 =

Parfait, nous allons pouvoir continuer notre apprentissage. Je ne te laisserai aucun répit tant que tu n'auras pas atteint l'excellence et la perfection que j'estime être nécessaire. Tu viens de débloquer la seconde partie. Il y a, en tout, 5 parties d'apprentissage dans toute cette partie.Je sens que tu es capable, ne me déçois pas !

Division Euclidienne.

C'est un principe mathématique que l'on attribue à Euclide. C'est un des grands mathématiciens du 4è siècle avant JC. Il est l'un des fondateurs des mathématiques que l'on utilise aujourd'hui. Il n'en est pas l'inventeur mais plutôt celui qui l'a popularisé, notamment par ses explications, compréhensibles par tout le monde. Attention, cette notion est piégeuse, car il ne s'agit pas à proprement parler d'une division mais plutôt d'une décomposition d'un nombre. Nous allons voir de quoi il s'agit.

Mais comment obtenir cette décomposition ? Et bien, c'est très simple.Il suffit de poser la division jusqu'à obtenir un reste entier (inférieur au diviseur, c'est obligatoire). Ainsi, on obtient bien la décomposition :Dividende = Diviseur x Quotient + Reste C'est la raison pour laquelle cette décomposition porte le nom de "division" euclidienne. Il faut poser la division pour obtenir les 4 valeurs nécessaires à cette décomposition.

On va vérifier si tu as bien compris. Pose les divisions euclidiennes suivantes et indique les résultats obtenus : 42517÷12 Quotient : Reste : Dividende : Diviseur : Division euclidienne :

FAUX !

VALIDER

Intéressant. Tu sembles avoir vite compris cela. Ne te sens pas encore pousser des ailes, ton apprentissage est encore bien long. Mais cette étape de passée m'autorise à te laisser continuer. Tu vas pouvoir poursuivre tout cela.

Critères de divisibilité :

On dit qu'un nombre a est divisible par un autre nombre b si le reste de la division de a par b est égal à 0. Afin d'éviter de parfois faire le calcul, on dispose que quelques règles pour savoir à l'avance, sans faire le calcul, si un nombre est divisible par un autre (cela se fait pour 2, 3, 5, 9 et 10, entre autre).

Bon, tu vas devoir aussi savoir si un nombre est divisible par 4.La méthode est un peu différente. Pour n'importe quel nombre, on ne s'occupe que du couple "dizaine unité". Si ce couple est dans la table de 4, alors le nombre est bien divisible par 4.

Tu vas maintenant passer le test du tableau. Remplis ce tableau de divisibilité avec "oui" ou "non". Attention, tu n'as pas le droit à l'erreur !

FAUX !

VALIDER

Impressionnant ! Je ne te pensais pas aussi sûr de toi, mais c'est bien mieux ainsi.Je compte sur toi pour terminer cet apprentissage en beauté. Ce ne sera pas facile, nous allons voir des techniques de division différentes. Accroche-toi !

Multiples et diviseurs :

Tables de multiplication pour apprendre les tables de division de tête.

FAUX !

Pour que je t'autorise à continuer, tu vas devoirfaire l'exercice suivant : Liste tous les diviseurs de 60.Ils sont au nombre de 12. Trouve-les tous !

VALIDER

Parfait ! Il n'y a pas de méthode pour trouver la liste des diviseurs d'un nombre. Il faut parfaitement connaître ses tables.Il existe des nombres qui n'ont que 2 diviseurs, le nombre 1 et eux-même. On les appelle des nombres premiers. Ils sont fascinants ! Nous allons les découvrir dès maintenant. La suite peut se montrer plus technique, donc plus difficile. Accroche-toi !

Il existe une méthode pour lister les nombres premiers. Nous allons la travailler maintenant. Cette méthode s'appelle le Crible d'Eratosthène.

Cette méthode a été trouvée au 2è siècle avant JC. C'est une méthode ancestrale. Elle se travaille de manière automatique, à la main. Cela prend du temps mais n'est pas très technique.Nous pouvons également tester la primalité d'un nombre sur Scratch.

Appliquons le Crible d'Eratosthène à la liste des 100 premiers nombres entiers :

Regardons ces 100 nombres

Barrons les multiples de 2

Barrons les multiples de 3

Barrons les multiples de 5

Barrons les multiples de 7

Barrons les multiples de 11

Base d'Anne-Laure Perreu, Merci !

Pour passer à la suite, tu vas devoir créer un programme sur Scratch pour tester si un nombre est premier ou non. Il existe un bloc qui permet de regarder le reste d'une division euclidienne : Ce bloc porte le nom de "Modulo".Si tu calcules 10 modulo 3, le résultat est 1, car le reste de la division euclidienne de 10 par 3 est égal à 1. Si ton programme est juste, ton professeur t'autorisera à passer à la suite. Le mot de passe pour passer à la suite est le nom du mathématicien qui a trouvé la méthode vue précédemment.

FAUX !

VALIDER

L'étude des nombres premiers est un domaine fascinant des maths. Pour cette année, on s'arrêtera à cette partie mais ce n'est pas tout.Tu dois connaître la liste des nombres premiers compris entre 0 et 30. La liste est la suivante : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ... On pourrait la poursuivre infiniment. Mais cette liste n'est pas régulière ...On va aussi apprendre à se servir de cette liste très bientôt !

Décomposition en facteurs premiers :

Tu as déjà entendu parler de cela il y a quelques mois il me semble. Souviens-toi, lorsque tu as parlé de simplification de fractions. Ton ami, GP, te disait que tu entendrais à nouveau parler de cette méthode. Et bien, ce moment est venu ! Bienvenue en enfer, Moussaillon !

Voyons si tu as compris ces 2 exemples.Tu vas devoir décomposer ce nombre en produit de facteurs premiers.La méthode est à faire sur ton cahier, puis tu dois indiquer le résultat de ta décomposition dans la case réponse ci-dessous.Si tu préfères utiliser la méthode de l'arbre de décomposition vue en début d'année, elle fonctionne de la même manière. Le résultat sera le même. Tu as donc libre choix de la méthode ici. Décompose 3150 en produit de facteurs premiers :

FAUX !

VALIDER

Comme on l'a vu précédemment, cette méthode te servira particulièrement à simplifier au maximum des fractions. c'est utile pour les rendre donc irréductibles. Mais ce n'est pas tout, cela pourra te servir plus tard pour déterminer des partages équitables, des calculs dans les probabilités, dans la géométrie dans l'Espace ...Bref, c'est extrêmement utile et efficace ! Cette méthode doit être acquise et maîtrisée sur le bouts des doigts !

Fantastique. Tu es prêt à entrer dans le royaume de l'immortalité ! Mais ne compte pas sur ce pouvoir pour le moment. Je dois d'abord me débarrasser de ma soeur. Sa trahison ne mérite aucun pardon, je ne peux tolérer qu'elle veuille souiller le sol de Demacia de sa présence. Le combat va commencer incessamment sous peu ...

Morgana1
=
on
0

Morgana2
=
on
1

Morgana3
=
on
2

Nous voilà face à Morgana.Elle veut en découdre. Nous devons à tout prix l'empêcher de nous nuire ! Nous allons devoir être forts et rapides. Si nous la laissons accumuler des forces, nous n'aurons aucune chance ! Je compte sur toi pour être irréprochable !Il en va du salut de ce monde tout entier !

Morgana1
=
on
0

Combat Final

Morgana2
=
on
1

Morgana3
=
on
2

PVMorg
=
3
3

"Même avec l'immortalité, je te combattrai, toi et tes idées stupides sur l'excellence de l'humanité ... Ce monde est perdu !"

Exercice 1 : Complète ce tableau à l'aide de "oui" ou "non".

FAUX !

VALIDER

Morgana1
=
cache

PVMorg
+
1

Morgana1
=
on
0

Un exercice terminé nous rapproche de la victoire et de la rédemption de ce monde ...

Ce n'est pas terminé, ne te déconcentre pas !

"Ce monde semble condamné, plus rien ne semble pouvoir le sauver. Le pardon n'est plus une option maintenant ..."

FAUX !

Exercice 2 : Simplifie la fraction suivante en utilisant une décomposition en facteurs premiers

1) Décomposer 693 en produit de facteurs premiers :

693 =

2) Décomposer 3168 en produit de facteurs premiers :

VALIDER

3168 =

3) En déduire la forme irréductible de la fraction 693 =

3168

Morgana2
=
cache

PVMorg
+
1

Morgana2
=
on
0

Bien joué ! La victoire se rapproche ! Je sens son pouvoir diminuer et ses faiblesses émerger ...

La fin est proche ! Garde tes forces et ta détermination !

"Tu ne peux rien contre moi ! Ma quête de la vérité touche au but. Ma soeur, je te demande pardon. Pardon pour tout le mal que je vais te faire !"

Exercice 3 : Nombres premiers

FAUX !

Dérouler le crible d'Eratosthène pour les nombres entiers compris entre 1 et 150.Il y a 35 nombres premiers dans cette liste. Tu dois les trouver et les lister (dans l'ordre croissant)

VALIDER

Morgana3
=
cache

PVMorg
+
1

Morgana3
=
on
0

La fin est proche !

Morgana est à l'agonie !

C'est le moment ! Morgana est plus faible que jamais ! Tu as fais un travail extraordinaire. Je t'en félicite. A moi de la punir, à tout jamais !

Tu pensais pouvoir m'atteindre ? Aucune chance, j'ai aussi fait le choix de l'immortalité. Pour sauver ton peuple et toute l'humanité, nous allons devoir faire la paix. Je ne peux te battre mais tu n'as pas le pouvoir pour me défaire. Faisons plutôt alliance. La Justice et la Vérité, pour créer un monde meilleur que jamais !Qu'en penses-tu ?

Et c'est ainsi que les soeurs décidèrent d'enterrer la hache de guerre.Ta mission pour sauver le monde est une réussite.Mais une rumeur lointaine t'annonce la naissance d'un nouveau monstre dans les bas-fonds du Néant. Il se pourrait même qu'il y en ait plusieurs ...Les habitants de la Runeterra ont à nouveau besoin de toi ...

Tu as choisi de suivre la voie de la Vérité. Ce n'est sans doute pas la voie la plus simple mais tu as le mérite d'essayer. Je vais t'aider dans ta quête. Moi, Morgana, la Déchue, serai ton guide !

Tables de multiplication pour apprendre les tables de division de tête.

Vocabulaire de la division.

Tu vas devoir maîtriser la méthode de la division posée si tu ne peux pas tout faire de tête.Pas d'inquiétude, la méthode est automatique !

Dans le cas présent, on part de la gauche mais 2 est plus petit que 4 donc il faut prendre 26. Puis on divise 26 par 4, on obtient 6. On le note au quotient et on regarde ce qu'il nous reste ici.On abaisse ensuite le 1 pourrecommencer une nouvelle étape. Dans 21, j'ai 5 fois la valeur 4 et il reste 1. J'abaisse enfin le 6.Comme 4x4=16, on place 4 au quotient et il ne reste plus rien.

Résultat final : 2616 ÷4=654

Premier exercice pour voir si tu as compris.J'espère que mon aide te sera bénéfique !Sur ton cahier, partie exercices, pose les divisions suivantes et indique les quotients dans les cases réponses.

FAUX !

7560 ÷ 3 =

3927 ÷ 11 =

VALIDER

48251 ÷ 7 =

Bien, tu as bien compris ce qui était à savoir lors de tes années de primaire. C'est très encourageant. On va continuer. Cet apprentissage compte 5 parties en tout. Tu viens d'en passer une, je t'en félicite. Mais le chemin reste encore bien long avant de supposer que ton pouvoir est suffisant.Kayle, ma soeur, est immortelle. Il nous faudra bien plus que de petites connaissances pour en venir à bout et sauver ce monde.

Division Euclidienne.

On va vérifier si tu as bien compris. Pose les divisions euclidiennes suivantes et indique les résultats obtenus : 58516÷12 Quotient : Reste : Dividende : Diviseur : Division euclidienne :

FAUX !

VALIDER

Intéressant. Tu sembles avoir vite compris cela. Bon, c'est bien mais ce n'est pas terminé. Il va falloir persévérer. Parfois des difficultés pourront apparaître mais l'abandon n'est pas une option.Toi et moi, on forme une équipe, on se soutient !

Critères de divisibilité :

On dit qu'un nombre a est divisible par un autre nombre b si le reste de la division de a par b est égal à 0. Nous sommes alliés, je vais t'apprendre à savoir quand un nombre est divisible par un autre sans avoir à poser la division. Il suffit d'apprendre et d('utiliser quelques règles pour savoir à l'avance, sans faire le calcul, si un nombre est divisible par un autre (cela se fait pour 2, 3, 4, 5, 9 et 10, entre autre).

Tu vas devoir aussi savoir si un nombre est divisible par 4.Il existe une méthode automatique ! Pour n'importe quel nombre, on ne s'occupe que du couple "dizaine unité". Si ce couple est dans la table de 4, alors le nombre est bien divisible par 4.

On va vérifier que tu as tout bien compris. Rappelle-toi, on ne pose pas les calculs, on vérifie juste chaque critère. Tu vas y arriver !

FAUX !

VALIDER

Formidable ! Tu mérites tellement cette réputation de Challenger ! Tes connaissances semblent bien au delà de ce que je pensais.Je compte sur toi pour terminer cet apprentissage en beauté. Ce ne sera pas facile, nous allons voir des techniques de division différentes. Parfois simples, parfois plus difficiles ! Accroche-toi !

Multiples et diviseurs :

Tables de multiplication pour apprendre les tables de division de tête.

FAUX !

Pour que je t'autorise à continuer, tu vas devoirfaire l'exercice suivant : Liste tous les diviseurs de 72.Ils sont au nombre de 12. Trouve-les tous !

VALIDER

Il existe une méthode pour lister les nombres premiers. Nous allons la travailler maintenant. Cette méthode s'appelle le Crible d'Eratosthène.

Appliquons le Crible d'Eratosthène à la liste des 100 premiers nombres entiers :

Regardons ces 100 nombres

Barrons les multiples de 2

Barrons les multiples de 3

Barrons les multiples de 5

Barrons les multiples de 7

Barrons les multiples de 11

Base d'Anne-Laure Perreu, Merci !

FAUX !

VALIDER

Décomposition en facteurs premiers :

FAUX !

VALIDER

Enfin ! Nous touchons au but. Kayle, ma soeur, mon ancienne soeur, va enfin payer pour ce qu'elle a fait durant toutes ces années. Sa prétendue Justice n'est basée que sur sa folie. Elle a complètement perdu la tête.A nous de lui faire reprendre raison ! Le combat final approche, tiens-toi prêt, mon ami !

Kayle1
=
on
0

Kayle2
=
on
1

Kayle3
=
on
2

Kayle se dresse face à nous.Un frisson parcourt tout notre corps à la vue de cette beauté. Ne nous laissons pas intimider. Nous avons suffisamment progressé pour la vaincre !

Combat Final

PVKayle
=
3
3

Kayle3
=
on
2

Kayle2
=
on
1

Kayle1
=
on
0

"Je suis immortelle ! Pourquoi continuer à te battre ? Tu n'as aucune chance ! Ce combat est vain ..."

Exercice 3 : Complète ce tableau à l'aide de "oui" ou "non".

FAUX !

VALIDER

Kayle1
=
cache

Kayle1
=
on
0

Un exercice terminé nous rapproche de la victoire et de la survie de ce monde ...

PVKayle
+
1

Ce n'est pas terminé, ne te déconcentre pas !

"Que comptes-tu faire de ce monde ? Tu n'as même pas réussi à te sauver toi-même !"

FAUX !

Exercice 2 : Simplifie la fraction suivante en utilisant une décomposition en facteurs premiers

1) Décomposer 693 en produit de facteurs premiers :

693 =

2) Décomposer 3168 en produit de facteurs premiers :

VALIDER

3168 =

3) En déduire la forme irréductible de la fraction 693 =

3168

Kayle2
=
on
0

PVKayle
+
1

Kayle2
=
cache

Bien joué ! La victoire se rapproche ! Je sens son pouvoir diminuer et ses faiblesses émerger ...

La fin est proche ! Garde tes forces et ta détermination !

"Tu ne peux rien contre moi ! Ma quête de la vérité touche au but. Ma soeur, je te demande pardon. Pardon pour tout le mal que je vais te faire !"

Exercice 3 : Nombres premiers

FAUX !

Dérouler le crible d'Eratosthène pour les nombres entiers compris entre 1 et 150.Il y a 35 nombres premiers dans cette liste. Tu dois les trouver et les lister (dans l'ordre croissant)

VALIDER

Kayle3
=
cache

PVKayle
+
1

Kayle3
=
on
0

Elle semble commencer à s'épuiser !

Pouvons-nous donner le coup de grâce ?

C'est le moment ! Kayle est plus faible que jamais ! Tu as fais un travail extraordinaire. Je t'en félicite. A moi de la punir, à tout jamais !

Quel pouvoir ! Heureusement que je suis immortelle !J'accepte de renoncer à mon idéal de Justice. Morgana, tu sembles avoir raison, j'ai perdu la tête. Allions-nous, sois ma guide, mon pilier, pour construire ce nouveau monde, basé sur la Vérité. Je m'en remets à toi !La Justice, et la Vérité, à nouveau réunies ...

PVMorg
+
1

Morgana1
=
cache

Morgana1
=
on
0

VALIDER

compteur

Chap 9 : Arithmétique 5ème

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