Método Horner

Método Horner

Para la estimación de las raíces reales de un polinomio

Datos personales

NOMBRES DE LOS INTEGRANTES:

Aguilar Trejo RicardoÁvalos Martínez Javier Gilardi Patraca Lorena Lucía Torres Palau Mariana

Profesor:

Eduardo Arturo Martínez González

Asignatura:

Álgebra superior

Índice

INTRODUCCIÓN

4. Método de Horner

1. Descripción y objetivos

5. Método de Newton

DESARROLLO

6. Método de Newton-Horner

2. ¿Qué es un polinomio?

7. Prueba de método en Excel

CONCLUSIÓN

3. ¿Qué es la raíz de un polinomio?

INTRODUCCIÓN

DESCRIPCIÓN

OBJETIVOS

El propósito es permitir la comprensión didáctica del Algoritmo/Método de Newton-Horner para la estimación de todas las raíces reales de un polinomio con coeficientes reales. Se explicará el método de Horner y el de Newton con la finalidad de llegar a la combinación de ambos (Método Newton-Horner)

• Comprensión de términos fundamentales.
• Comprensión y aplicación del método de Horner.
• Comprensión y aplicación superficial del método de Newton
• Comprensión y aplicación del Método de Newton-Horner para la correcta solución de polinomios

DESARROLLO

Es una expresión algebraica de la forma:

• Grado del polinomio y ∈ N
• Coeficientes del polinomio y ∈ R

• Variable independiente o indeterminada

¿QUÉ ES UN POLINOMIO?

Raíces de un polinomio

Todo valor de "x" que nos permita evaluar como verdadera la igualdad P(x) = 0. Estos valores de "x" son conocidos también como soluciones de la ecuación o ceros de P(x)

El teorema fundamental del álgebra nos dice que cualquier polinomio de grado n cuenta con n raíces. Si el grado del polinomio es impar, este cuenta con al menos una raíz real.

Raíces complejas

Raíces sencillas

Raíces múltiples

Método de horner

Es una forma eficiente de evaluar polinomios y sus derivados en un punto dado. Se utiliza también para una presentación compacta de la división larga de un polinomio por un polinomio lineal.

Método de horner

Solamente requiere "n" sumas y "n" multiplicaciones para evaluar xₒ en un polinomio de grado "n". Supongamos que se tienen dos polinomios P(x) y Q(x) de la forma:

Método de horner

La relación P(x) y Q(x) está dada por:

Método de horner

Se tiene que b₁=a₁, bn+₁= P(x0) (Teorema del residuo)

Método de horner

Lo anterior puede ser realizado en una tabla: Dado que: P(x)=(x-x₀)Q(x)+bn+₁ Al derivar tenemos: P’(x)= Q(x)+(x-x₀)Q’(x) Por lo tanto: P’(x₀)= Q(x₀)

Método de Newton-Raphson

• Basado en la derivada, se producen una serie de sucesiones de aproximaciones (iteraciones) para encontrar las raíces reales de una función real con variable real que sea derivable.
• Sea F [ a,b] →ℝ una función derivable de la que se sabe que tiene una raíz en dicho intervalo y se quiere encontrar una aproximación a esa raíz.

Método de Newton-Raphson

• Se selecciona x₀ en el eje de las x, asumiendo que está cerca de la solución de 𝑓(𝑥) = 0

Método de Newton-Raphson

• Calculamos la ecuación punto-pendiente de la recta tangente a la función (𝑥₀, 𝑓(𝑥₀)):

• Esta recta debe intersecar al eje de las 𝑥 en un punto 𝑥₁más cercano a la raíz buscada.

Método de Newton-Raphson

• Así, el punto (𝑥₁, 0) satisface a la ecuación punto pendiente mencionada anteriormente y sustituyendo tenemos:

Método de Newton-Raphson

• Si 𝑓′(𝑥₀) ≠ 0, entonces, despejando 𝑥₁ en la ecuación anterior tenemos:

Método de Newton-Raphson

• Repetimos el mismo razonamiento seguido para 𝑥₀, pero ahora comenzando con 𝑥₁, por lo que obtenemos un valor 𝑥₂ más cercano a la raíz buscada

Método de Newton-Raphson

• Iterando cada vez con el número obtenido, se construye una secuencia x₀, x₁, x₂,… ,xn,… de números cada vez más próximos a la raíz, tales que:

• La aproximación entonces será mejor entre más términos se pueden calcular

Método de Newton-Raphson

• Podemos mencionar que existe una variación del Método de Newton (Newton-Raphson) para un cálculo eficiente de raíces múltiples que viene siendo

Método de Newton-Raphson

• Podemos mencionar que existe una variación del Método de Newton (Newton-Raphson) para un cálculo eficiente de raíces múltiples que viene siendo

Método de Newton-Raphson

• Sea f:[a,b]→ℝ de clase C², es decir, con segunda derivada en [a,b].

• Donde f(a)∙f(b)<0 esto quiere decir que f(a) y f(b) sean de signos diferentes.

• Con f ’(x) ≠ 0 ∀x∈(a,b) y f ’’(x) ≠ 0 ∀x∈(a,b)

• Como extra también podemos mencionar el Teorema de Convergencia del Método de Newton, el cual nos dice:

Método de Newton-Raphson

• Si tomamos un valor inicial c₀ tal que f(c₀)∙f^'' (c₀)>0 las sucesivas aproximaciones del Método de Newton-Raphson convergen en la raíz.
• El error cometido en la iteración n-ésima viene dado por

Método de Newton-Raphson

• Aunque es posible un cálculo más sencillo para obtener el porcentaje de error relativo en la iteración n-ésima:

Método de Newton-Raphson

• El error absoluto solo puede calcularse si contamos con el valor real de la raíz y viene determinado por:

Método de Newton-Horner

Supongamos que tenemos un polinomio P(x)

Siendo P:[a,b]→ℝ y derivable de la cual sabemos que hay una raíz en ese intervalo.

No se cuenta con la gráfica de la función

Se cuenta con la gráfica de la función

Se utiliza el método de Gauss:

1. Hallar los divisores exactos p del termino independiente (factores enteros del termino independiente) y los divisores exactos q del término coeficiente principal.
2. Formar con ellos fracciones irreducibles ±p/q que son las posibles raíces.

VS

Podemos seleccionar x₀ en el eje de las x como un valor cercano a la aparente raíz.

Método de Newton-horner

P(x₀)=b(n+1) (Residuo de la división sintética)

Una vez seleccionado nuestro valor x_0 es necesario evaluarlo en P(x) mediante el Método de Horner De tal manera nos será posible obtener

Aplicando la fórmula del Método de Newton que es y sustituyendo por nuestros valores tendremos:

P'(x₀)= Q₀ (x₀) (realizar otra división sintética entre Q₀(x) y x-x₀ para obtener Q₀ (x₀) siendo Q₀ (x) el cociente que se da de la división sintética de

Método de Newton-horner

Para nuestra segunda iteración utilizaremos nuestro valor 𝑥₁, lo evaluaremos mediante el Método de Horner

• P(x₁) = b n+₁.

(Residuo de la división sintética)

• P’ (x₁)= Q₁ (x₁)

(Realizar otra división sintética entre Q₁ y x-x₁ para obtener Q₁(x₁) siendo Q₁(x) el cociente que se da de la división sinética de

De tal manera nos será posible obtener

Método de Newton-Horner

Aplicando la fórmula del Método de Newton que es x𝑛+1= xnpor nuestros valores tendremos: y sustituyendo por nuestros valores tendremos:

Por lo tanto, la fórmula a seguir en las iteraciones que seguiremos será: Siendo Q n-₁(x) el cociente que se da de la de la división sintética de

Método de Newton-Horner

Continuaremos con las iteraciones hasta encontrar una raíz. Una vez encontrada esta raíz aplicaremos el Método de Horner (división sintética) entre nuestra 𝑃(𝑥) actual (quedenotaremos como 𝑃 (𝑥)) y nuestra raíz (𝑥 − 𝑥ᵣ ) para obtener un polinomio nuevo con un grado menor que contendrá las raíces que aún no hemos hallado. Esto es llamado Método de deflación:

Nuestra x₀ se mantendrá con el mismo valor y realizaremos todo el proceso anteriormente mencionado, pero con 𝑃 (𝑥) como nuestro “polinomio principal” y sobre el cuál encontraremos la siguiente raíz a buscar. El proceso terminará una vez que hayamos encontrado todos los factores de 𝑃 n(𝑥)

CONCLUSIÓN

Conclusiones

El método de Newton-Horner es un método muy útil al operar con números reales que permite encontrar las raíces de los polinomios de forma rápida con un índice de error mínimo.

Así también podemos ver como el método de Newton explota al máximo el algoritmo de Horner para el cálculo de raíces de funciones polinomiales.