CURVAS CÓNICAS

Curvas

CÓNICAS

HIPÉRBOLA

ELIPSE

Son figuras planas generadas al seccionar una superficie cónica de revolución por un plano. La posición del plano determina la sección.

+ CASOS

PARÁBOLA

+Info

Curvas

CÓNICAS

HIPÉRBOLA

ELIPSE

Son figuras planas generadas al seccionar una superficie cónica de revolución por un plano. La posición del plano determina la sección.

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PARÁBOLA

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Elipse

Curva cerrada y plana, es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos fijos llamados focos es constante e igual al eje mayor. AO = OB = a CO = OD = b FO = OF' = c

F'

TANGENCIAS

SECCIONES

Elipse

Curva cerrada y plana, es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos fijos llamados focos es constante e igual al eje mayor. AO = OB = a CO = OD = b FO = OF' = c

F'

TANGENCIAS

SECCIONES

(F)

TANGENCIAS

Elipse

CF

- Las rectas tangentes son normales a la bisectriz de los radios vectores en T - La circunferencia focal (CF) es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco contrario (F) respecto de las rectas tangentes a la curva (t) - La circunferencia principal (CP) es el lugar geométrico de los pies de las tangentes (P y P') que pasan por los focos- T está en la recta que une (F) con F' FP = P(F) FPT = TP'F' = 90º

P'

F'

CP

SECCIONES

CF

CF'

Elipse

- Una recta secante r corta a la elipse en dos puntos I y J - Estos puntos de corte pertecenen a la vez a la recta r y a la cónica - Por definición, las curvas cónicas son el lugar geométrico de los puntos que son centros de circunferencias que, pasando por un foco, son tangentes a la circunferencia focal contraria

F'

T'

Parábola

Curva abierta y plana, es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco y de la directriz .AV = VF AF = parámetro

TANGENCIAS

SECCIONES

Parábola

Curva abierta y plana, es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco y de la directriz .AV = VF AF = parámetro

TANGENCIAS

SECCIONES

TANGENCIAS

Parábola

CP

CF

- Las rectas tangentes pasan por la bisectriz de los radios vectores en T - La recta directriz (equivalente a la CF) es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco contrario (F'∞) respecto de las rectas tangentes a la curva (t) - La recta tangente en el vértice (equivalente a la CP) es el lugar geométrico de los pies de las tangentes (P y P') que pasan por el foco - T está en la recta que une (F) con F'∞ FP = P(F) FPT = TP'F' = 90º

(F)

SECCIONES

Parábola

CF

- Una recta secante r corta a la parábola en dos puntos I y J - Estos puntos de corte pertecenen a la vez a la recta r y a la cónica - Por definición, las curvas cónicas son el lugar geométrico de los puntos que son centros de circunferencias que, pasando por un foco, son tangentes a la circunferencia focal contraria - En la parábola, CF se convierte en la directriz al tener su centro F' en el infinito sobre el eje.

T'

Hipérbola

Curva abierta y plana formada por dos ramas simétricas, es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos fijos llamados focos es constante e igual al eje real AB. AO = OB = aCO = OD = bFO = OF' = c

F'

ASÍNTOTAS

TANGENCIAS

SECCIONES

Hipérbola

Curva abierta y plana formada por dos ramas simétricas, es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos fijos llamados focos es constante e igual al eje mayor. AO = OB = aCO = OD = bFO = OF' = c

F'

ASÍNTOTAS

TANGENCIAS

SECCIONES

ASÍNTOTAS

Hipérbola

F'

Las asíntotas pasan por el centro de la curva y por los cuatro puntos de intersección entre: - La circunferencia de radio OF con centro O - Las rectas normales al eje real por los vértices A y B

TANGENCIAS

Hipérbola

CF

CP

P'

- Las rectas tangentes pasan por la bisectriz de los radios vectores en T - La circunferencia focal (CF) es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco contrario (F) respecto de las rectas tangentes a la curva (t) - La circunferencia principal (CP) es el lugar geométrico de los pies de las tangentes (P y P') que pasan por el foco - T está en la recta que une (F) con F' FP = P(F) FPT = TP'F' = 90º

F'

(F)

SECCIONES

Hipérbola

CF'

CF

- Una recta secante r corta a la hipérbola en dos puntos I y J - Estos puntos de corte pertecenen a la vez a la recta r y a la cónica - Por definición, las curvas cónicas son el lugar geométrico de los puntos que son centros de circunferencias que, pasando por un foco, son tangentes a la circunferencia focal contraria

F'

T'

Casos límite

Casos límite

Circunferencia

Se genera al cortar la superficie cónica por un plano perpendicular al eje de revolución

Casos límite

Recta

Se genera al cortar la superficie cónica por un plano tangente a la superficie que pasa por el vértice

Casos límite

Punto

Se genera al cortar la superficie cónica por un plano que pasa por el vértice sin tocar la superficie

Casos límite

Triángulos

Se generan al cortar la superficie cónica por un plano que contiene al eje de revolución

Superficie cónica

Superficie cónica

Generatriz

Recta secante al eje de revolución que genera la superficie cónica a medida que rota en torno a él

Superficie cónica

Directriz

Marca la trayectoria de cada punto de la generatriz en su giro

Superficie cónica

Eje de revolución

Es el eje de simetría de la superficie cónica, sobre él se encuentra el vértice

Superficie cónica

Vértice

Es el punto de corte entre la generatriz y el eje

Superficie cónica