Posiciones relativas de rectas en el plano

Posiciones relativas de rectas en el plano

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Posiciones relativas de rectas en el plano

• Rectas paralelas coincidentes: Dos rectas son coincidentes cuando son la misma recta. Para ello deben tener igual pendiente m e igual coeficiente de posición n.

Figura 1

Posiciones relativas de rectas en el plano

• Rectas paralelas no coincidentes: Dos rectas en el plano son paralelas no coincidentes si tienen la misma pendiente m y distinto coeficiente de posición n.

Figura 2

Posiciones relativas de rectas en el plano

• Rectas secantes: Dos rectas son secantes si se intersecan en un solo punto, lo que implica que tienen distinta pendiente. Pueden ser perpendiculares u oblicuas. (Las rectas oblicuas son aquellas que se cruzan en algún punto, formando cuatro ángulos que no son rectos como la figura 3 y las perpendiculares forman ángulos rectos)

Figura 3

Posiciones relativas de rectas en el plano

• Rectas perpendiculares: Dos rectas secantes son perpendiculares si se intersecan en algún punto y forman ángulos rectos. Además el producto de sus pendientes es igual a -1.

Figura 4

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

Determinar la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas equivale a determinar los valores (x,y) que satisfacen a ambas ecuaciones, es decir, geométricamente, equivale a encontrar el punto de intersección de las rectas. Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones lineal en dos incógnitas, como el siguiente Lo que estamos haciendo es encontrar el punto P donde se intersectan las rectas, ver figura x.

Figura 5

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

Sin embargo las rectas no siempre se van a intersecar en un solo punto, es decir, no siempre van a tener una única solución, sino que también pueden puede tener infinitas soluciones o no tener solución. Recordemos que al resolver un sistema de ecuaciones de la forma, tenemos tres situaciones:

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

• Sistema compatible determinado:

Esto ocurre cuando las pendientes de las rectas son distintas, geométricamente, las rectas son secantes por lo tanto habrá un único punto de intersección entre las rectas. Es decir, el sistema de ecuaciones tendrá una única solución tanto para “x” como para “y”. Además, cuando las rectas secantes son también perpendiculares entonces al multiplicar sus pendientes siempre nos da -1.

Figura 6

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

Para determinar si las rectas ax+by = c y a'x+b'y = c' son secantes tenemos que observar los coeficientes de las ecuaciones de las rectas y verificar si se cumple lo siguiente:

Figura 8

Figura 7

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

Ejemplo: Determina si las siguientes rectas son secantes y haya su punto de intersección

Solución:

Figura 9

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

Solución:

Figura 10

Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas es (37/9 , 14/9)

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

• Sistema compatible indeterminado:

Esto ocurre cuando las rectas tienen igual pendiente e igual coeficiente de posición, geométricamente, las rectas son paralelas coincidentes, por lo tanto los puntos de intersección de las rectas son infinitos. Es decir, el sistema tendrá infinitas soluciones tanto para “x” como para “y”.

Figura 11

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

Para determinar si las rectas ax+by = c y a'x+b'y = c' son secantes tenemos que observar los coeficientes de las ecuaciones de las rectas y verificar si se cumple lo siguiente:

Figura 13

Figura 12

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

Ejemplo: Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y determina si tiene una única solución, infinitas solución o no tienen solución.

Solución:

Figura 14

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

Solución:

Figura 15

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

• Sistema incompatible:

En este caso las rectas tienen igual pendiente y distinto coeficiente de posición, geométricamente las rectas son paralelas no coincidentes, por lo tanto no tendrán puntos de intersección. Es decir, el sistema no tendrá solución.

Figura 16

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

Para determinar si las rectas ax+by = c y a'x+b'y = c' son secantes tenemos que observar los coeficientes de las ecuaciones de las rectas y verificar si se cumple lo siguiente:

Figura 18

Figura 17

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

Ejemplo: Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y determina si tiene una única solución, infinitas soluciones o no tienen solución.

Solución:

Figura 19

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

Solución:

Figura 20

Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones

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