4.1 Presentación electrónica Espacios y Subespacios Vectoriales

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE HUICHAPANXIMENA BASURTO ARTEAGA MATRICULA: 20021197 ALGEBRA LINEAL DOCENTE: JOSÉ ANTONIO ROSALES TERCER SEMESTRE, GRUPO 2

TEMA A PRESENTAR:

ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES:

• En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.
• A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.

Llamamos u+vu+v a la suma de vectores en VV, y αvαv al producto de un número real αα por un vector v∈Vv∈V.

• 1. u+v∈Vu+v∈V
• 2. u+v=v+uu+v=v+u
• 3. (u+v)+w=u+(v+w)(u+v)+w=u+(v+w)
• 4. Existe un vector nulo 0V∈V0V∈V tal que v+0V=vv+0V=v
• 5. Para cada vv en VV, existe un opuesto (–v)∈V(–v)∈V tal que v+(–v)=0Vv+(–v)=0V
• 6. αv∈Vαv∈V
• 7. α(u+v)=αu+αvα(u+v)=αu+αv
• 8. (α+β)v=αv+βv(α+β)v=αv+βv
• 9. α(βv)=(αβ)vα(βv)=(αβ)v
• 10. 1v=v

Propiedades de los espacios vectoriales

A partir de los axiomas de espacios vectoriales, pueden demostrarse estas propiedades que resultan «naturales»:Propiedad 10u=0V0u=0VPropiedad 2α0V=0Vα0V=0VPropiedad 3(–α)u=–(αu)(–α)u=–(αu)En particular, para α=1α=1 :(–1)u=–u(–1)u=–uPropiedad 4αu=0V⇒α=0∨u=0Vαu=0V⇒α=0∨u=0VVeamos cómo puede demostrarse esta última propiedad:Si α=0α=0 , se cumple la proposición.Si α≠0α≠0 , podemos multiplicar por 1α :αu=0V⇒1ααu=1α0V⇒u=0V¡COMPROBADO!

EJEMPLO: Los espacios Rn, con n≥1 , son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para R3 nos permitirá entender mejor. Los vectores de Rn son n-uplas de números reales, o sea: Rn={(x1,x2,…,xn),conxi∈R}Rn={(x1,x2,…,xn),conxi∈R} En Rn, la suma de vectores y el producto por un escalar se definen así: Sean u=(u1,u2,…,un)yv=(v1,v2,…vn)∈Rnu=(u1,u2,…,un)yv=(v1,v2,…vn)∈Rn u+v=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)∈Rnu+v=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)∈Rn αv=(αv1,αv2,…,αvn)∈Rnαv=(αv1,αv2,…,αvn)∈Rn Puede comprobarse que las operaciones definidas verifican los axiomas de espacio vectorial.

2. SUBESPACIOS VECTORIALES

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original. Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. W es un subespacio de VV si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.

Operaciones con subespacios

Sea un espacio vectorial; y subespacios vectoriales, se definen las siguientes operaciones: Unión: en general, la unión de subespacios no es un subespacio.Intersección: la intersección de dos subespacios es un subespacio. Suma: la suma de dos subespacios es un subespacio de V. Suma directa: si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa". Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W. Subespacios suplementarios: se dice que los subespacios y son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial

EJEMPLO:

W={(x1,x2)∈R2:x2=3x1}W={(x1,x2)∈R2:x2=3x1} ¿es un subespacio de R2? Primero analicemos el conjunto W. Son todos vectores de R2 tales que la segunda componente es el triple de la primera: (x1,3x1)=x1(1,3)(x1,3x1)=x1(1,3) W es la recta que pasa por el origen y tiene vector director (1,3), o sea la recta de ecuación y = 3x. Para decidir si W es un subespacio de R2 habría que verificar que se cumplen los axiomas del 1 al 10. El lector puede comprobar que todos se cumplen en este caso. Pero en general no es necesario verificar los axiomas porque existe un criterio sencillo para determinar si un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio, es el que sigue.

BIBLIOGRAFIAS CONSULTADAS:

https://aga.frba.utn.edu.ar/espacios-y-subespaciosvectoriales/#:~:text=Sea%20V%20un%20espacio%20vectorial,un%20escalar)%20definidas%20en%20V%20.https://ciencias.medellin.unal.edu.co/cursos/algebra-lineal/clases/8-clases/98-clase-16-parte2.html https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial https://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial#:~:text=En%20%C3%A1lgebra%20lineal%2C%20un%20subespacio,V%20el%20espacio%20vectorial%20original.

¡GRACIAS!22/NOVIEMBRE/2022