Múltiplos y Divisores

Múltiplos y divisores

Tema 3

Índice

1. Múltiplos

2. Descomposición Factorial

3. Mínimo común múltiplo

4. Divisores

5. Criterios de divisibilidad

6. Máximo común divisor.

7. Números primos y compuestos.

8. Actividades

Actividades

1. España 2. Ucrania 3. Letonia 4. Italia 5. Dinamarca 6. Francia 7. Rumanía 8. Alemania 9. Polonia 10. Grecia 11. Irlanda 12. Turquía 13. Finlandia 14. Serbia 15. Suiza 16. Bélgica 17. Bulgaria

Múltiplos

Definición

Los múltiplos de un número "a" son los resultados de multiplicar ese número por los números naturales (que son aquellos que van desde el 0 al infinito).a x 0, a x 1, a x 2, a x 3, a x 4, a x 39, a x 120 Ej: los 8 primeros múltiplos de 8 son: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48 y 56 porque: 8 x 0 = 0 8 x 4 = 32 8 x 1 = 8 8 x 5 = 40 8 x 2 = 16 8 x 6 = 48 8 x 3 = 24 8 x 7 = 56

El conjunto de los múltiplos de un número es un conjunto infinito.

Múltiplos

La suma de varios múltiplos de un número es múltiplo de ese número.

Propiedades

Cualquier número es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

El número 0 es múltiplo de cualquier número.

Procedimiento inverso

¿Cómo averiguamos si un número es múltiplo de otro? Ej: ¿Es 68 múltiplo de 3? ¿y de 4?

+ info

Descomposición factorial

Los números primos son aquellos que sólo son divisibles entre ellos mismos y entre 1 - 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29…

Descomposición factorial en números primos

La descomposición factorial o factorización de un número en factores primos, consiste en expresar un número como la multiplicación de sus factores primos.

Por tanto, podemos expresar un número como un producto de factores, como por ejemplo:12 = 4 x 3El 12 lo hemos expresado como el producto de dos factores 4 y 3. Pero esto no es una descomposición en factores primos porque el 4 no es un número primo. Pero si lo expresamos de ésta otra forma: 12 = 2 x 2 x 3 Esto sí que es una descomposición en factores primos. El 2 y el 3, que son los factores en los que expresamos ahora el 12, son números primos.

Calcular el mínimo común múltiplo.

Descomposición factorial

Calcular el máximo común divisor.

Usos

Para simplificar fracciones.

Descomposión factorial

Paso 1

Paso 3

Paso 2

Hay que buscar si el 6 es divisible entre algún número primo. Se empieza siempre comprobando si el número es divisible entre 2 y después se sigue en orden ascendente con el resto de números primos: con el 3, con el 5…

Como el 2 es divisor de 6 lo escribimos a la misma altura que el 6, a la derecha de la línea. Y el resultado de 6:2 = 3 se pone debajo del 6.

Escribimos el número a factorizar y se traza una línea a la derecha. A la derecha de esta línea irán apareciendo los factores primos del número.

Descomposión factorial

Paso 4

Paso 6

Paso 5

Cuando el último número que tengamos a la derecha sea un número primo y por tanto, el resultado de la división sea 1, quiere decir que hemos terminado de descomponer.

Los números que quedan a la derecha de la línea son los factores. Por tanto el 6 lo podemos expresar como: 6 = 2 x 3

Ahora volvemos a repetir el paso anterior pero como 3 no es divisible entre 2, buscamos el siguiente número primo que es el 3. 3 : 3 = 1

Descomposición factorial en números primos

Mínimo común múltiplo

¿En qué situaciones usamos el m.c.m?

Nicolás tiene configurado el teléfono para que se actualice el Whatsapp cada 12 días y el instagram cada 15 días. Si hoy día 23 se actualizaron las dos aplicaciones ¿Cuántos días pasarán hasta que se vuelvan a actualizar juntas de nuevo?

Un semáforo se pone en rojo cada 14 segundos y otro 8 segundos. Si a las 9:30 de la mañana estaban ambos en rojo ¿Cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a estar en rojo?

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el múltiplo común más pequeño de dichos números. El año pasado lo estudiamos de la siguiente manera: Ej: m.c.m (14 y 8) = 56 14 = 0, 14, 28, 42, 56... 8 = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56...

Mínimo común múltiplo

Ahora trabajaremos con la descomposición factorial para buscar el mínimo común múltiplo de dos números. Ej: m.c.m (16 y 30) = 240 14 2 8 2 7 7 4 2 1 2 2 1 14 = 2 · 7 8 = 2 Para calcular el m.c.m de dos números se multiplican los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 2 · 7= 8 · 7 = 56

Mínimo común múltiplo de 2 o más números

Divisores

Definición

Los divisores de un número natural "a" son todos aquellos números que dividen de forma exacta al número "a".

En este caso 6 es un divisor de 12 porque al realizar la división nos da exacta. Pero recuerda un truco y es que otro divisor de 12 también es el cociente de la división.En este caso en esta división observamos que 12 tiene como divisores el 2 y el 6. Así podemos decir que 6 y 2 son divisores de 12 y por tanto 12 es múltiplo de 2 y 6.

El conjunto de los divisores de un número es un conjunto finito.

Divisores

¿La suma de varios divisores de un número es divisor de ese número?

Propiedades

Cualquier número es divisor de sí mismo.

¿La diferencia de dos divisores de un número es otro divisor de dicho número?

El número 1 es divisor de cualquier número.

Búsqueda de todos los divisores de un número.

Pasos

Trucos

Dividimos el número señalado entre los números naturales hasta llegar a sí mismo

- Usamos el truco de las parejas para no realizar todas las divisiones.1, 2, 4, 8 - Si nos aprendemos los criterios de divisibilidad nos ahorramos también realizar algunas divisiones.

8 40 2

8 20 4

8 32 2

8 10 8

8 62 1

8 71 1

8 80 1

8 53 1

Si queremos conocer los divisores de 89 ¿Tenemos que realizar todas las divisiones hasta llegar al 89?

Nooooo, sería una locura. Para ello podemos parar en dos momentos:- Cuando lleguemos a un número que ya sabemos que es un divisor de 89, por la regla de las parejas. - Y cuando el cociente de la división sea menor que el divisor.

Criterios de divisibilidad

Máximo común divisor

¿En qué situaciones usamos el m.c.d?

En una bodega hay tres toneles de vino uno de 250 l, otro de 360 l y un último de 120 l. Se desea embotellar todo el vino en botellas de la misma capacidad ¿qué capacidad tendrán las botellas?

Máximo común divisor

El máximo común divisor de dos o más números es el divisor común más grande de dichos números. El año pasado lo estudiamos de la siguiente manera: Ej: m.c.d (250, 360 y 120) = 10 250 = 1, 2, 5, 10, 25 50, 125 y 250. 360 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 y 360. 120 =1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 y 120.

Máximo común divisor

Ahora trabajaremos con la descomposición factorial para buscar el máximo común divisor de dos o más números. Ej: m.c.d (120, 250 y 360) = 10 120 2 250 2 360 2 60 2 125 5 180 2 30 2 25 5 90 2 15 3 5 5 45 3 5 5 1 15 3 1 5 5 1 120 = 2 · 3 · 5 250 = 2 · 5 360 = 2 · 3 · 5 Para calcular el m.c.d de dos o más números se multiplican los factores primos comunes elevados al menor exponente. 2 · 5 = 10

Mínimo común múltiplo de 2 o más números

Números primos y compuestos

Definición

Los números primos son aquellos que tienen solo dos divisores, el 1 y sí mismo.

Los números compuestos son aquellos que tienen más de 2 divisores.

Actividades

Actividades

1. Calcula.

Actividades

2. Contesta y razona tu respuesta.

Actividades

3. Razona y resuelve:

Repaso acumulativo

4. Descompón el siguiente número de las 4 formas y escribe cómo se lee:

8.530.231,419

Actividades

5. Descompón en factores primos los siguientes números:

a. 45 b. 34 c. 60

Actividades

6. Accede a Liveworksheets accediendo desde tu cuenta de alumno y realiza la siguiente ficha.

Acertijos

7. Averigua el número oculto.

Actividades

8. Calcula el m.c.m. de los siguiente números usando la factorización de números primos:

a. 16 y 24 b. 12 y 30 c. 9 y 5

Razonamiento

9. Iván tiene gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas. A las 18:00 acaba de tomarse las dos medicinas juntas. ¿Dentro de cuantas horas volverá de nuevo a tomarlas juntas? ¿A qué hora coincidirán?

Razonamiento

10. En una embotelladora revisan la tapa y la etiqueta de los envases que pasan por una cinta transportadora. La tapa se revisa cada 16 envases, y la etiqueta, cada 36. Si acaban de revisar ambas cosas al primer envase ¿después de cuántos envases le revisarán la tapa y la etiqueta a otro envase al mismo tiempo?

Actividades

11. Calcula todos los divisores de los siguientes números (recuerda usar la regla de las parejas): 24 36 39

Actividades

12. Calcula el mínimo común múltiplo a través de la factorización: 15 y 19 12, 22 y 31 34 y 14

Actividades

13. Averigua todos los divisores de los siguientes números: 21 32 18

Actividades

14. Calcula el m.c.d usando la factorización de los números:

Razonamiento

15.

Actividades

16. Calcula todos los divisores de los siguientes números e indica si son primos o compuestos: 8 - 10 -12 -17 -21 - 23 - 24 -25 - 29

Actividades

17. Escribe en tu cuaderno los números del 2 al 30 y sigue los pasos que se indican para hallar los números primos:

Actividades

18. Calcula todos los divisores de cada número y contesta:

Actividades

19. Piensa y completa:

Actividades

20. Calcula el mínimo común múltiplo descomponíendolos en potencias de factores primos:

Actividades

21. Calcula el máximo común divisor descomponíendolos en potencias de factores primos:

Actividades

22. Calcula y contesta: