Mitternachtsformel

neu

Quadratische Gleichungen

Lösen mit der pq-Formel

Ein Kurs von V. Körkel

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Überblick

In diesem Kurs wird dir erst erklärt, wie man die Mitternachtsformel anwendet. Aber natürlich sollst du auch verstehen, wie man auf die Formel kommt. Das wird unter Herleitung der Formel erklärt.

2 - Übungen

1 - Die Mitternachtsformel (pq-Formel)

3 - Herleitung der Formel

Die Mitternachts-formel (pq-Formel)

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Erklärvideo

Schaue dir das Erklärvideo an, wie du mit der pq-Formel quadratische Gleichungen löst. Schaue es mehrfach, wenn du etwas nicht verstehst.

Wenn ihr mitten in der Nacht aufgeweckt werdet, müsst ihr die pq-Formel auswendig aufsagen können. Deswegen heißt sie Mitternachtsformel.

- mündlich überliefert über Generationen von Mathelehrkräften

Lerne die pq-Formel . . .

. . . mit dem Ohrwurm

Zusammenfassung

Schritt 1: Umformen

Schritt 2: Formel

Schritt 3: Vereinfachen

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Du bist dran! Löse die Aufgaben selbst im Heft.

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Beispiel 2

Beispiel 1

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2 - Übungen

1 - Erklärung der Mitternachtsformel

3 - Herleitung der Formel

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Jetzt bist du dran

Übung macht den Meister.

Bearbeite folgende Aufgaben.

1) x² + x - ¾ = 0 2) x² + 2x = 15 3) x² + 3x = -3x - 9 4) 3x² - x - 2 = 0 5) 2x + 3 = -1/x

Zur Erinnerungpq Formel

ACHTUNG!

TIPP

Lösungen zur Kontrolle

Zum Nachdenken

• Gibt es immer zwei Lösungen, wenn man die pq-Formel anwendet? Oder wie kannst du bei der Rechnung nur eine oder keine Lösung erhalten?

• Überlege dir Beispiele für die verschiedenen Fälle. Rechne diese Fälle selbst.

• Formuliere eine allgemeine Regel, wann es wie viele Lösungen gibt.

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2 - Übungen

1 - Erklärung der Mitternachtsformel

3 - Herleitung der Formel

Herleitung der pq-Formel

Hier wird dir erklärt, wieso die Formel eigentlich richtig ist.

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Woher kommt die pq-Formel?

Das lässt sich mit quadratischer Ergänzung erklären. Wir lösen dazu einmal eine Aufgabe ohne pq-Formel, um das anschließend zu verallgemeinern. Um den Lösungsweg Schritt für Schritt zu verstehen, kannst du den Vorhang langsam nach unten ziehen. Alles klar? Dann geht es los.

Lösung ohne pq-Formel

Verschiebe den Vorhang nach unten, um die Schritte aufzudecken. Woher kommt +4 und -4?

ERklärung

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Schau dir die Erklärung der einzelnen Schritte an.

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Allgemein für jede Gleichung

Wir betrachten eine beliebige quadratische Gleichung X² + px + q = 0

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Wir haben die pq-Formel erhalten!

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Prima - fertig!