LONGITUD DE ARCO

CÁLCULO VECTORIAL II

ING. JOSE ALBERTO ROQUE PACHECO

LONGITUD DE aRCO

PRESENTANALONSO GARCIA TREJOKELLY HERNANDEZ ESTRELLA CECILIA LOPEZ RAMIREZ GERMAN MARTINEZ SANCHEZ JULISSA MEJIA MEJIA DEISY HADAI MORENO PONCE SAMANTHA MUÑOZ GONZALEZ

Índice

1. INTRODUCCIÓN

8. ESTUDIO EN LA INGENIERÍA

2. CONCEPTO

9. CONCLUSIÓN

3. IMPORTANCIA

10. OPINIONES

4. EJERCICIO

11. CITA TEXTUAL

12. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

5. EJERCICIO

13. DUDAS

6. EJERCICIO

14. AGRADECIMIENTOS

7. EJERCICIO

LONGITUD DE ARCO

INTRODUCCIÓN

LONGITUD DE ARCO

Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta esuna estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente. Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto la definición de la longitud del arco es la misma que para otras curvas definidas paramétricamente. Para una función valorada vectorial “p”, en el intervalo cerrado [a, b] cuya definición está dada por la ecuación,

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas. La llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

CONCEPTO

En esta sección, estudiaremos fórmulas relacionadas con curvas en dos y tres dimensiones, y vemos cómo están relacionadas con varias propiedades de la misma curva. Por ejemplo, supongamos que una función de valor vectorial describe el movimiento de una partícula en el espacio. Nos gustaría determinar qué tan lejos ha viajado la partícula en un intervalo de tiempo determinado, que puede describirse por la longitud del arco de la ruta que sigue. O suponga que la función de valor vectorial describe una carretera que estamos construyendo y queremos determinar qué tan bruscamente se curva la carretera en un punto dado. Esto se describe por la curvatura de la función en ese punto. Exploramos cada uno de estos conceptos en esta sección.

IMPORTANCIA E IMPACTO

longitud de arco

funciones vectoriales

Hemos visto cómo una función de valor vectorial describe una curva en dos o tres dimensiones. Recuerde las fórmulas alternativas para la curvatura, que establece que la fórmula para la longitud del arco de una curva definida por las funciones paramétricas x = x (t), y = y (t), t1 ≤ t ≤ t2 viene dada por

En tres dimensiones, si la función de valor vectorial se describe por r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k durante el mismo intervalo a ≤ t ≤ b, se da la longitud del arco por

De manera similar, si definimos una curva suave usando una función de valor vectorial r (t) = f (t) i + g (t) j, donde a ≤ t ≤ b, la longitud del arco viene dada por la fórmula

ejercicio

PRIMER PASO: CALCULAR LA DERIVADA

CALCULAR

RESOLVER LA INTEGRAL

PARA RESOLVERLO BUSCAREMOS EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO t.c.p

SE SUSTITUYE

ejercicio

SE SIMPLIFICA

SE RESULEVE LA INTEGRAL

SE SIMPLIFICA

SACAR EL FACTOR DE 3 QUE SE PUEDE SACAR

SE RESULEVE

ejercicio

UTILIZAMOS GEOGERA PARA CORROBORAR

ejercicio

RESOLVEMOS

SIMPLIFICACIÓN

ejercicio

USAMOS GEOGEBRA PARA CORROBORAR

ejercicio

RESOLVEMOS

REESCRIBIMOS r(t) EN LA FORMA BINÓMICA: r(t)+0i

REESCRIBIMOS (3t-2)i+(4t+5)j EN LA FORMA BINÓMICA: (4jt+5j)+(3t-2)i

UNOS CONJUNTOS DE NUMEROS COMPLEJOS SOLO PUEDEN SER IGUALES SI SUS PARTE REAL E IMAGINARIA SON IGUALES.

ejercicio

REESCRIBIMOS COMO UN SISTEMA DE ECUACIONES

CORROBORAMOSCON GEOGEBRA

ejercicio

RESOLVEMOS

Obtener la longitud de la cicloide de radio 1, definida sobre [0,2π]

ejercicio

.SOLUCIÓN Una parametrización para la cicloide es:

Obtener la longitud de la cicloide de radio 1, definida sobre [0,2π]

ejercicio

por lo tanto la longitud buscada es:

Comparemos la longitud obtenida con una aproximación. La cicloide es simétrica con respecto a x = π, por lo tanto la longitud desde t = 0 hasta t = π es 4, ésta longitud la podemos aproximar por la recta que une a α(0) con α(π), esta longitud es igual a √π 2 + 4 valor muy cercano a 4.

Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto la definición de la longitud del arco es la misma que para otras curvas definidas paramétricamente.

ESTUDIO EN LA INGENIERÍA

Utilizar la longitud del arco como parámetro de una curva es algo muy inteligente lo que nos permite poder estudiar las otras propiedades de la curva de forma más conveniente.

A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular.

OPINIONES

CONCLUSIÓN

En esta sección, estudiamos fórmulas relacionadas con curvas en dos y tres dimensiones, y vemos cómo están relacionadas con varias propiedades de la misma curva. Hemos visto cómo una función de valor vectorial describe una curva en dos o tres dimensiones. Esta esuna estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales.

Utilizar la longitud del arco como parámetro de una curva es algo muy inteligente de hacer porque la longitud del arco de una curva no depende de algún otro tipo de parámetro, lo que nos permite poder estudiar las otras propiedades de la curva de forma más conveniente.Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales.

VS

¡Gracias!