PRESENTACIÓN HISTÓRICA

historia de los

números

temas

Sistema de numeración jonico

Número

Sistema de numeración maya

Origen

Sistema de numeración inca

Primeros registros numericos

Sistema de numeración chino-japones

Pre-historia

Sistema de numeración Romano

Números Egipcios

Sistema de numeración indo-arabico

Números Griegos

Sistemas de numeración de las primeras civilizaciones

Sistema de numeración babilónico

Historia de la matematica

Matematica medieval Matematica en el renaciomiento

Edad media Europea de la matematica

Números complejos

Programa de Erlanger

Número infinito

Números cosmicos

Números cuatrerniones

Clasificación

Gracias

Números ideales- Teoria de números

Número

“La palabra número proviene etimológicamente del latín “numerus”, expresa cantidad, referida comparativamente a la unidad, que es la base de todo sistema numérico. Esas cantidades llamadas números se representan mediante signos numéricos” “El número es una relación entre una cantidad determinada y otra considerada como unidad”

Símbolo utilizado para contar y medir. Los números hoy en uso se basan en el sistema indo-arábigo que fue introducido en Europa en los siglos XIV y XV. Los números romanos utilizados antes hacían muy dificultosa la simple aritmética y para la mayoría de los cálculos se necesitaba del ábaco. Los números indo-arábigos (0, 1, 2,…9) permitieron hacer los cálculos con mayor eficacia porque se agrupan sistemáticamente en unidades, decenas, centenas y así sucesivamente (Calderón, 1966, p.136).

Origen

Aprendieron a cultivar plantas y a domesticar animales, llevando una vida que le permitió vivir en grupos, y, a tener razones y situaciones cotidianas para tratar de cuantificar todo lo que le rodeaba: el ganado, el número de habitantes de la aldea, los días que transcurrían o el nivel de las aguas del río. El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar. Es Uno el que ha –contado- de verdad.

Sus orígenes son un misterio que solo nuestros primitivos antepasados pueden resolver. El origen de los números lo dio el número Uno que ha sido representado como una rayita, acuña y cono. El hombre primitivo en un principio vivía de la caza, la pesca y la recolección. Durante este periodo los hombres, enfrentados a las dificultades del diario sobrevivir, no producían su alimento sino que lo recogían del ambiente; eran nómadas y no existía para ellos la necesidad de contar.

Antigua Grecia

Egipcios

Momentos historicos

Romanos

Historia de los números

´´Espiral de Fibonacci en relación a los números que forman la sucesión (longitud de los rectángulos cuya unión da como resultado el trazado de la propia espiral)´´

Pre-historia

Leibniz

India

Mucho de las matemáticas de la antigüedad griega podría decirse que fue, más que nada, astronomía, tanto por la fuente de sus problemas, sus métodos, sus motivaciones, como por el influjo de las visiones del universo y la realidad que la condicionaron.

Los aportes de la Grecia Antigua,una gran civilización que constituye un fundamento de la cultura occidental y de la sociedad mundial que vivimos, aporta las características intelectuales y matemáticas de los egipcios y mesopotámicos, cuya influencia en los desarrollos griegos se dará de una forma permanente,con grados distintos en las diferentes etapas de su evolución.

Las matemáticas en la ciudad -Estado de Atenas. Ésta misma vivió diferentes momentos sobre todo van a ser los aportes o las ideas de dos grandes filósofos: Platón y Aristóteles y la obra de Eudoxo. En el fin a esta etapa los trabajos de Euclides y Apolonio, tuvieron un papel paradigmático en torno a la práctica de las matemáticas.

Las matemáticas y las ciencias en general, la civilización griega, ya parte de la Edad del Hierro, representó un salto cualitativo. Actitudes y métodos deductivos y demostrativos en las matemáticas, es otro elemento

El mundo alejandrino o helenístico, emerge después de la conquista macedonia y la muerte de Alejandro el Grande, son muchas figuras importantes de las matemáticas de esta época, pero Arquímedes, Ptolomeo, Diofanto y Pappus los más importantes desde una visión general de lo que fue el periodo.

En las grandes civilizaciones de la Edad del Bronce encontramos los primeros elementos del desenvolvimiento de una visión científica y cultural que constituye una importante herencia para la humanidad.

El mundo presocrático encontramos algunas de las actitudes naturalistas jónicas, pero, sobre todo, puesto que se trata de la historia de las matemáticas, los asuntos en torno a la escuela pitagórica y la eleática.

Primeros registros numéricos

El hueso Ishango, descubierto en las orillas del lago Edwards, entre Uganda y la República Democrática del Congo, que data de aproximadamente 20000 años a.C., y aparenta ser algo más que un mero recuento, ya que, estudios microscópicos, han demostrado cierta relación con las fases lunares. Debido a la imperiosidad de predecir la luna llena, una de las inquietudes del hombre neolítico fuera observar el ciclo del gran reloj del cielo.

Suazilandia, sur de África; se trata de un hueso, el peroné de un babuino, con veintinueve muescas bien marcadas y data de, aproximadamente, 35000 años a.C. Tiene un parecido extraordinario con el “calendario de varillas” que aún se usa en Namibia para registrar el paso del tiempo.República Checa se encontró un radio de lobo que data de, alrededor de 30000 años a.C., marcado con cincuenta y cinco muescas en dos series de grupos de cinco. Posiblemente se trate de una lista de animales cazados.

En el siglo III a.C. aparecio el primer cero conocido de la historia: el cero de los sabios babilónicos, utilizado exclusivamente en la numeración posicional babilonia para significar la ausencia de unidades sexagesimales de cierto orden. El cero, tal y como lo conocemos en nuestros días, fue utilizado por primera vez en la India por el matemático y astrónomo (598 − 665) lo menciona en su obra Brahmasphuta Siddhanta del año 628 y fue introducido en Europa por los árabes.

Hacia el 3300-3200 años a.C., la aparición simultánea de los números sumerios y de los números protoelamitas, constituyen el sistemas más antiguos de numeración escrita actualmente conocidos. Sistema de numeración posicional de base 60 que contiene el conjunto de números {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, esto es, todos los números naturales excepto el cero. El sistema sexagesimal se utiliza en la actualidad para medidas angulares y de tiempo.

En 1945 Neugebauer y Sachs publicaron el desciframiento de una tablilla de arcilla, la número 322 de la colección de G.A. Plimpton en la Universidad de Colombia, fabricada en una época comprendida entre los años 1800 y 1650 a.C. Después de varios años de ardua labor, encontraron la clave. Se trata de terneras pitagóricas.

Tabla Plimpton 322 (1800 1650 a.C)

Definición

30.000 a.C

Desde que el hombre hizo marcas en los huesos, pero desde que hizo rayas hace 150 mil años es posible que estuviera contando. Hace 20.000 mil años está la primera prueba solida de su existencia y que alguien lo utilizaba para contar, pero no tenía este aspecto cuando nació sino era una raya en un hueso.

Se define un número como elemento de un conjunto de números que deben verificar ciertas propiedades. Así es como se han definido los conjuntos, N, Z, Q, R ó C cuya construcción se hace por etapas sucesivas a partir del conjunto de los números naturales. Puede considerarse como una abstracción ligada a conjuntos de objetos y que se esconde, por consideración de los conjuntos infinitos, en dos conceptos diferentes.

La necesidad de inventar las matemáticas suma 6.000 A.C.

En la antigua civilización de suma, próximo oriente alrededor de 4.000 A.C Decidieron dejar de representarlo haciendo rayas en un hueso para representarlo como una ficha. Esta transformación cambio el curso de la historia, les permitió a los sumerios hacer cosas nunca antes echas, como sumar o restar, los animales y las posesiones inventaron la Aritmética.

Debido a que había muchísima gente viviendo en el mismo lugar, había que almacenar y distribuir el grano y para averiguar cuanto le tocaba a cada uno, requería de la aritmética, por eso, los sumerios convirtieron a Uno en fichas para hacer posible la aritmética; calcular beneficios y perdidas y recaudar impuestos. Se atribuye el invento de las matemáticas a la vida urbana.

Esquematización de cómo contaban los sumerios utilizando las falanges de una mano

La habilidad de la aritmética no fue lo único, la escritura no se había inventado aun, y los números fue lo primero que se escribió. Aquí nació la noción de la escritura. Eran pocos los elegidos que desde la infancia eran entrenados e iniciados en los misterios de los números, eran muy bien pagados y poderosos, el legado de los sumerios al mundo fue el contable. Uno era ahora disciplinado y organizado, se convirtió en una poderosa herramienta, podía ser utilizado para construir imperios.

sistema egipcio

Hacia el año 3000 a.C., los egipcios inventaron una escritura y sistema de numeración escrita propia, basados principalmente en jeroglíficos este podía representar los números y fue el primer sistema decimal desarrollado.Los egipcios desarrollaron 3 tipos de escritura: en 1799 se descubrió la PIEDRA DE ROSETTA, en la que está grabado un decreto en tres tipos de escritura: jeroglífica, demótica y griega. Se descifró gracias a Thomas Young y Jean-François Champollion entre otros.

Piedra de rosetta 1799

Egipto nace alrededor del año cuatro mil a.C. y su máximo esplendor se dio alrededor del año 2 500 a.C. Al igual que con Mesopotamia, la civilización siguió un curso que se vería drásticamente alterado solo hasta la conquista macedonia.

Dos de las civilizaciones de la Edad del Bronce de las matemáticas griegas, fueron la egipcia y la babilónica que estaban en alrededor del Nilo y alrededor del Tigris y Éufrates en relación con las matemáticas, hubo cierta continuidad y una tradición desde los tiempos más remotos hasta la conquista de esos territorios por parte de los macedonios

En los Sumerios había sido parte de un complejo sistema de cómputo. Los egipcios llevaron sus talentos más allá, les gustaba las cosas en grande, y así mismo utilizaron los números enormes, y la forma en la que los escribían nos muestran la jerarquía de la sociedad egipcia, primero estaban los números de los trabajos y tareas cotidianas. Uno era una simple línea, diez era una cuerda y cien era un rollo de cuerda.

Los egipcios reproducen sus cifras jeroglíficas o Esculpiendo en monumentos de piedra. Sistema de numeración aditivo Cada cifra representa un valor que se suma al valor de las demás cifras. Método similar al utilizado al contar monedas. No necesita cifra para el cero y no importa el orden de las cifras. Base 10 o base decimal basada en los dedos de las manos. Sólo hay siete cifras jeroglíficas

Descubierto por A. Henry Rhind, en 1858, cuando Viajó a Egipto por motivos de salud, y lo compró en Luxor, encontrado en algunas ruinas de la ciudad de Tebas. Él solo pudo comprar una parte, pero posteriormente se consiguieron recuperar otras partes. mide 6 metros de largo y 33 cm de ancho, escrito por un escriba egipcio de nombre Ahmes, sobre el 1650 a. C

´´Según Herodoto, los resultados geométricos de los egipcios estaban vinculados a asuntos relativos a la propiedad de la tierra creados por las crecidas del río Nilo.´´

En la antigua Grecia hace 2.500 que era la Grecia moderna, a causa de el teorema de Pitágoras, 520 A.C Pitágoras estudio en Egipto y en nuevo oriente fundo una escuela vegetariana de matemáticas y allí se dedicó a explorar las maravillas y misterios de los números, fue el primero que distinguió los pares y los impares, le dio sexos, y mientras el uno era macho el dos era hembra, también estudio los números enteros que eran grupos de unos, y advirtió que algunos forman partes agradables;

tres el triángulo, cuatro el cuadrado, y, uno más tres, forman 10, un triángulo mágico, también estaba convencido que uno contribuiría a explicar la cuestión más importante de la época, la primer materia del universo, aquella de lo que todo estaba hecho, él decía que todo estaba construido de unos hasta la música. Él quería comprender porque algunas cocas sonaban tan armoniosas, y otras no, al obtener notas, al tocar los tiestos.

Esto se debe a la matemática. Los pesos de cada uno mantienen una relación perfecta de uno a dos, y esa combinación de números enteros produce ese sonido. Las armonías son combinaciones de números enteros y eso le llevo a pensar que la matemática era la base de todo y podía explicar el cosmos y la armonía musical. Los números enteros son grupos de unos, uno era la materia esencial de lo que estaba hecho el universo. Y el triángulo que lo hizo famoso, probo que esto no era así, al no estar en el corazón de un rectángulo, fue derrotado por su más querida forma geométrica.

Antigua Grecia

En la Grecia moderna aún se usa frecuentemente este sistema para los números ordinales y más raramente para los cardinales, de forma parecida al uso de los números romanos en Europa Occidental y América. Para el resto de usos se emplea la numeración arábiga moderna. Los helenos motivados por los avances egipcios y fenicios, crearon los números griegos buscando perfeccionar los sistemas numéricos existentes en ese momento.

La numeración griega fue un sistema de numeración alfabético decimal no posicional inventado por los griegos jónicos y difundido ampliamente por el Mediterraneo oriental. Fue la primera numeración de tipo alfabética, es decir, que usaba letras como si fueran cifras dándoles como valor su posición ordinal en el alfabeto (Α=1, Β=2...). A este sistema se le atribuye el origen en la ciudad de Mileto (en Jonia) por lo que es conocido de forma más específica como numeración jónica o milesia y también como numeración alejandrina.

De hecho, este método numeral que emplea las letras del alfabeto griego, se sigue usando hoy en día para escribir los números ordinales.Se desarrolló aproximadamente en el año 600 A.C., siendo un mecanismo de base decimal que usaba símbolos para representar las cantidades, así, estas grafías se empleaban de manera aditiva para completar una cifra.

Al respecto, para escribir la unidad y los números hasta el cuatro, se utilizaban trazos verticales, adicionalmente, la letra inicial de las palabras πεντε o pénte para el 5, δεκα o déka para el 10, ηεκατον o hekatón para el 100, χιλιοι o chílioi para el 1.000, y μυριας o myrías para el 10.000; por esta razón, recibió el nombre de ático o acrofónico.

Sistema de numeración jónico

Durante el siglo IV A.C., el anterior mecanismo de números griegos, terminó siendo sustituido por un sistema alfabético cuasidecimal, llamado jónico. En este sentido, a cada cifra del 1 al 9 se le asigna una letra, de esta manera, 1 (α´), 2 (β´), 3 (γ´), 4 (δ´), 5 (ε´), 6 (ϛ΄), 7 (ζ´), 8 (η´), 9 (θ´), igualmente, a cada decena y a cada centena. Este sistema y fue ampliamente adaptado y modificado dando origen a múltiples sistemas como la numeración hebrea, árabe abyadí, armenia, georgiana, cirílica, etc.

En cuanto al uso del cero, los helenos habitualmente lo relegaban para los cálculos astronómicos o de fracciones, y no como parte de los números enteros, un ejemplo de ello, es el número 2004, que se representa como βδ´. Finalmente, los helenos, en su intento de buscar un sistema numérico perfecto, desarrollaron la geometría y la aritmética, sin dejar a un lado, la creencia de que los números griegos eran sagrados, y el universo era una manifestación de su esencia.

Dos figuras se reconocen como sus creadores: Chang Shang (c. 150 a.C.) y Keng Shou Chang (c. 50 a.C.). En un periodo posterior se reconoce el trabajo de dos matemáticos: Sun Tsu (c. 300 d.C.) y Tsu Chung Chih (c. 450 d.C.). Sun es una primera referencia para el análisis indeterminado. Un par de siglos después, en el año 656, apareció una enciclopedia matemática: Suan Ching Shih Shu (Los diez manuales matemáticos), que ejerció su influencia en los siglos siguientes. Un siguiente momento ya se encuentra en la dinastía Sung (960 - 1 279), que tuvo importantes logros en las matemáticas. Por ejemplo, la obra Su Shu Chiu Chang (Las nueve secciones matemáticas), escrito por Chin Chiu Shao en el año 1 247. En esta obra encontramos resolución (numérica) de ecuaciones de todos los grados y nuevos resultados en el análisis indeterminado.

La Edad Media de la evolución de las matemáticas en la cultura china. Un primer periodo comprendido entre el 200 a.C. al 220 d.C, y corresponde a la dinastía Han. Etapa en la que se advierten relevantes resultados en ciencias y tecnologías. En astronomía la construcción de calendarios e, incluso, cuadrados mágicos que fueron una interesante tradición entre los chinos. Hubo importantes clasificaciones de plantas y animales. El papel, ejemplo, es de esta época, uno de los textos clásicos de las matemáticas chinas que tuvo una extraordinaria influencia: el Chiu Chang Suan Shu (Nueve capítulos sobre las artes matemáticas). Se afirma que sería algo así como los Elementos de Euclides en la cultura griega.

Se encuentra en el libro Tshe Yuan Hai Ching, escrito por Li Yeh en el año 1 248. Yang Hui publicó varias obras en el periodo entre 1 261 y 1 275, entre ellas: Hsiang Chieh Chiu Chang Suan Fa Tsuan Lei (Análisis detallado de los nueve capítulos). Este último incluye resultados en series, ecuaciones de segundo grado con coeficientes negativos de, ecuaciones numéricas de orden superior. Chu Shih Chieh fue otro matemático relevante, que se afirma fue un gran algebrista. Escribió dos tratados: Suan Shu Chi Meng (Introducción a los estudios matemáticos) y Szu Yuen Yu Chien

(El precioso espejo de los cuatro elementos), el primero en 1299 y el segundo en 1303. Aquí encontramos, por ejemplo, el llamado triángulo de Pascal, métodos para resolver ecuaciones de grados superiores. Otro de estos grandes matemáticos, pero del que hay menos fuentes, es Kou Shou Ching (siglo XIII), quien se supone hizo la primera obra sobre la trigonometría esférica de la China. Hay varios aspectos de las matemáticas chinas que vale la pena reseñar. Uno de ellos es la existencia de un sistema posicional con 9 números, que se adelantaría un milenio a los hindúes.

Numeración con varillas

La numeración china inicial formaba parte de la escritura Shang y desde sus comienzos adoptó unas características precisas: Era un sistema de carácter decimal. Disponía de nueve signos distintos para los nueve primeros números, careciendo durante todo el período estudiado de un signo específico para el cero. Utilizaba el criterio posicional (cada cifra tiene un valor dado por su posición en el número) pero de forma híbrida. En la dinastía Shang intercalando un signo especial para dicho valor y, posteriormente, cambiando la orientación de las cifras alternativamente.

Las varillas utilizadas, tanto en la numeración como en la realización de operaciones, eran piezas alargadas de bambú preferentemente (aunque había de otros materiales más lujosos e incluso de huesos de animales) de unos 14 cm de largo que se han encontrado en restos arqueológicos de la dinastía Han. Sin embargo, algunas referencias literarias lo remontan al período de los Reinos combatientes (desde el siglo V a.C). Los sistemas de varillas se inventaron hace 3000 años o más, y tienen muchas variantes.

A partir del siglo XIII se dieron los mejores desarrollos de los chinos en las matemáticas. Estos se pueden resumir así: la resolución de ecuaciones numéricas de orden superior, basada en la extracción de raíces cuadráticas y cúbicas del Chiu Chang y en el uso de triángulo de Pascal. Este método se rastrea desde Chia Hsien (c. 1050), y se indentifica con el nombre de li cheng shih shuo (resolución de coeficientes mediante una gráfica). Había otro método que se llamaba tseng cheng fang fa o método de extracción mediante suma y multiplicación.

“Los nueve capítulos del arte matemático”

SISTEMA DE NUMERACIÓN CHINO

La civilización de la Antigua China, año 2000 a.c y hasta el 200 d.c. Ocuparon la zona del Sureste asiático, en la zona ocupada ahora por países como China, Japón, Corea, Taiwan y Vietnam. Esta civilización inventa entre otras cosas, la pólvora, la tinta y el papel y tiene un sistema de numeración posicional, multiplicativo y de base 10. También usaban un ábaco para las operaciones. Es aditivo, Es posicional multiplicativo. Es decimal ya que usa símbolos para las potencias de 10.

Su numeración está formada por 14 signos fundamentales que designan las nueve unidades y las primeras cinco potencias de 10.

Numeración con varillas Sistema chino

Caracteristicas: ○ Cada varilla (raya) representa una unidad. Al llegar a 5, se representa con una varilla perpendicular a las anteriores. ○ En un principio, el 0 se representaba con un hueco vacío. Luego se representó con una circunferencia. ○ Se utilizan VARILLAS VERTICALES para las CIFRAS IMPARES: unidades, centenas, decenas de millar… ○ Se utilizan VARILLAS HORIZONTALES para las CIFRAS PARES: decenas, unidades de millar, centenas de millar… ○ Para marcar los números positivos y negativos hay dos sistemas: distinto color (en rojo los positivos y en negros los negativos), o tachar verticalmente los números (más aconsejable, pues no hay confusiones con el color). ○ Este sistema funciona prácticamente igual que nuestro sistema de numeración decimal, la diferencia principal es que cambian los signos. ○ Con él se pueden realizar cualquier tipo de cálculo.

Hay otras variantes del sistema de varillas. En este otro tipo, se combinan los símbolos hasta el 9 junto a otros símbolos para nombrar a las distintas decenas: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 y 90.

En Japón, Seki Takakazu desarrolló una notación simbólica a partir de la numeración con varillas para su uso en el álgebra y mejoró drásticamente las matemáticas japonesas. Después de su época, se inventó un sistema de numeración posicional con caracteres numerales chinos, relegando el papel de los numerales con varillas al de los signos más y menos.En el siglo XIII, los matemáticos del período Song del sur cambiaron la forma de los numerales 4, 5 y 9 para reducir el número de trazos. Las nuevas formas horizontales acabarían formando la numeración Suzhou. Los japoneses, sin embargo, siguieron empleando las formas tradicionales.

Sistema de la forma clásica 1500 A.C.

Seki Takakazu.

Evolución de los sistemas númericos

Cuadro de la copulación entre Fuxi y Nüwa

“Nueve Capítulos de Arte Matemático”

Sistema babilónico

Base : El número 60 es divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30. La base sexagesimal se utiliza para medir El tiempo: horas, minutos y segundos. Los ángulos: grados, minutos y segundos.

Babilonia en tiempos de Hammurabi (1792 - 1750 a. C.)Es el sistema de numeruiación más antiguo.Caracteristicas:•Aditivo para los números del 1 a 59. •Solo utiliza dos símbolos distintos. •Posicional para los números iguales o mayores o que 60 7 •El valor de una cifra depende de su posición dentro del número •Necesita el uso de una cifra para el cero. •Base 10 o decimal utilizada para las cifras menores que 60.

Se usan dos símbolos cuneiformes para escribir todas las cifras: Clavo, que vale 1 Espiga, que vale 10

Sistema babilónico

El cero babilónico se usa desde el siglo III a. C. Se utilizaron cuatro representaciones del número cero. El cero de los babilonios es el más antiguo de la humanidad.

Uno contribuía a crear la era dorada de las matemáticas.

Mientras una nueva era se extendía por el mundo, Uno fue dominado por los romanos en 212 A.C cuando invadieron Grecia y asesinaron a Arquímedes mientras resolvía un problema matemático, este fue el fin de las matemáticas teóricas. Uno se convirtió en la columna vertebral de los Romanos, para establecer una rígida cuadricula numérica en su ejército; 10 hombres en una sesión, 10 sesiones constituían y dos centurias hacían un maniculo, (Puñado). Los castigos se basaban en principios numéricos, si una legión era derrotada toda ella era diezmada (asesinando 1 de cada sesión)

Utiliza siete letras mayúsculas

Los símbolos que usa son el alfabeto romano (Se dice también que el sistema de numeración romano es un sistema alfabético) y las rayas.1. No se puede repetir mas de tres veces una misma letra. 2. Los símbolos V y L no se repiten, ya que VV = 10 y LL = 100 y ya tienen letra propia para ese valor numérico. 3. Cuando se repiten letras se suman entre sí: XX = 20. 4. Cuando las letras van a la derecha de otra letra con mayor valor numérico se suman: XII = 12. 5. Cuando la letra va a la izquierda de otra de mayor valor se resta: IX = 9 (Sólo restan I, X y C).

Sistema romano

Los registros más antiguos que representa el uso de números romanos se remontan al siglo octavo o noveno antes de Cristo. Su uso disminuyó con la caída de Roma en el siglo II dC y que pronto fueron sustituidos por números arábigos.Para la formación de números romanos se utilizan combinaciones de letras mayúsculas como símbolos para representar esos valores. Este sistema presentaba muchas dificultades de lectura y escritura, es por ello que no era utilizado para los cálculos matemáticos. Basado en el sistema de numeración etrusco, comenzó siendo un sistema aditivo, pero más tarde evolucionó hasta incluir la resta y la multiplicación

El sistema maya

Ubicados principalmente en el territorio del sur de México y Guatemala, los Mayas fueron una civilización de gran importancia para la historia de América y del mundo en general. Han desarrollado una cultura muy rica en diferentes ámbitos, como la arquitectura, la astronomía, y en especial en las matemáticas.

La civilización maya es una cultura precolombina de América central. Los mayas fueron una de las civilizaciones más importantes y estaban ubicados en Mesoamérica, una de las cunas de las civilizaciones más importantes del mundo. Es el único sistema de escritura mesoamericana que ha sido descifrada.

Desarrollado por los sacerdotes y astrónomos.Aditivo para los números del 1 a 19. Posicional para los números iguales o mayores que 20. El valor de una cifra depende de su posición dentro del número. Necesita el uso de una cifra para el cero. Base 20 o base vigesimal o Basada en los dedos de manos y de los pies. Los mayas no utilizaban su sistema de numeración para hacer operaciones aritméticas.

Punto, que vale 1 Raya, que vale 5 Concha: símbolo del cero

necesitaban saber cuál es la unidad, es decir, que es Uno. Definieron su propia versión de Uno y la basaron en la longitud del brazo de un hombre, y, la palma de su mano era la medida de todas las cosas. Considerado el soberano indiscutible. Estos Unos oficiales, barras del codo, eran muy importantes y guardadas celosamente en el templo, se hacían copias y se distribuían en el templo para que a lo largo del imperio supieran que significaba uno, y con esto los egipcios pudieron terminar sus bastos proyectos arquitectónicos. Haciendo que uno pasara de contar cosas a medirlas. Se convirtió en la esencia del universo.

Los números de los aristócratas, 1000 se representaba con un loto es el símbolo del placer y 10.000 era un dedo autoritario y el número de los faraones 1¨000 000 el tipo de número que solo podía utilizar un faraón para contar sus prisioneros y el símbolo era un prisionero implorando perdón o un contable pidiendo que no le obligaran a contar más. Los egipcios le tenían el trabajo más importante al número uno, necesitaban ayudara en la obra, ellos eran constructores empedernidos, pero necesitaban medirlas con exactitud y para ello

Sistema de numeración Inca

El color era el código primario que se utilizaba para identificar lo que representaba el número almacenado en dicha cuerda. Así utilizabanel blanco, para la plata, el amarillo para el oro, el rojo para los soldados. A excepción de la cuerda principal, en cada una de las cuerdas se representaba un número mediante grupos de nudos y empleando un sistema de numeración posicional.

Los Incas desarrollaron una manera de registrar cantidades y representar números mediante un sistema de numeración decimal posicional: un conjunto de cuerdas con nudos que denominaba quipus ("khipu" en quechua: nudo).Se empleaban distintos tipos de cuerda, cada una tenía al menos dos hebras y tenían un mínimo de tres cuerdas, el máximo podía llegar a 2.000.

Los indios crearon un sistema de números vastísimos desarrollando un numero diferente para cada número del uno al nueve. Usados desde el año 500 A.C.Los números que utilizamos se llaman arábicos, pero nacieron en india 500 a.c, pero alrededor de 1.500 años inventaron un numero nuevo el santo grial de los números, el 0; se plantó un jardín para producir flores para el templo para asegurarse que tenía flores suficientes el jardín debía medir 10 millones de astas, 8 hectáreas y así saber si tenían las provisiones suficientes para sus arreglos florales.

Números indios.

Uno tuvo un primo indio. Los indios no se preocupaban por el orden militar sino por la renuncia al mundo y la iluminación, y para esto inventaron números extraordinariamente grandes. Rajjiu la distancia que recorrería un Dios en 6 meses. Palya es la cantidad de tiempo que llevaría hacer un montón de lana de 10 km de alto si añadiera una hebra cada siglo. Estos habrían hecho sentir pequeño a Uno, sino hubiera tenido la ayuda de sus amigos los números.

Su fama se extendió por toda la tierra y conquistaron las sociedades más sofisticadas de la época lo que ahora es Irak, Bagdad 762 D.C Cuando el islam tenía poco menos de 100 años Bagdad está gobernado por el gran khalifa y quería que su pueblo viviera según el Corán e instituyo tribunales jueces para que aplicaran la ley del profeta, pero esta requiere de severos cálculos matemáticos si han de cumplirse con exactitud. Como la ley de la herencia donde debe dársele a la mujer la mitad y al hombre igualmente, para esto necesitaban divisiones y raqueos, pero los árabes del momento contaban aun con los dedos. Su sistema numérico no les permitía avanzar más.

Un día se presentó un embajador de la india y como regalo al khalifa le llevo los números, alguarismos enseñaron a los números un montón de trucos, ecuaciones cuadráticas, algebra, pasteles de logaritmos cúbicos, esto le permitió a la gente, la matemática, la ciencia y la astronomía avanzar muchísimo. La cuadrilla india fue un éxito en el mundo islámica.

• Nudo largo con cuatro vueltas: Indicaba que el grupo de nudos correspondía al orden de las unidades y se empleaba cuando el dígito de este orden era superior a uno, En ese caso se ponían tantos nudos como indicase el dígito.

• Nudo flamenco o en forma de ocho: Indicaba también la posición de las unidades, el dígito debía ser "1". Por lo tanto en las unidades solo aparecía un nudo de este tipo.

• Nudo corto o sencillo: Se empleaba en las restantes posiciones, tantos como correspondiese al dígito a representar.

Esquema de un quipu de 3 cuerdas colgantes, una superior y una auxiliar. En las cuerdas colgantes, se representan números de tres cifras, en la tercera, la decena es cero, de ella además pende una cuerda auxiliar. Se representan números que permiten ver el uso de los tres tipos de nudos empleados.

MATEMÁTICAS EN LA INDIA

Entre el 1500 y el 800 a.C. se habla del periodo de las matemáticas védicas. Los Vedas eran colecciones de literatura en las que, entre muchas otras cosas, se encuentra matemática. Las matemáticas védicas incluyen aproximaciones a raíces cuadradas. Se presume que esto se originó al intentar resolver el problema de construir un altar cuadrado que tuviera como área el doble de un cuadrado dado Jainista Durante el periodo que va del 800 a.C. al 200 a.C. aparece lo que se llama las matemáticas jainistas. Del 200 a.C. al 400 d.C. se trata de un periodo de transición antes del periodo clásico del que no se tienen muchas fuentes.

Periodo clásico 500 d.C. Es el más importante, hay tradiciones que se remontan más de 2000 años hacia atrás. Del periodo que va del 3000 al 1500 a.C. una referencia es la cultura Harappā, con descubrimientos que salieron a la luz pública cuando se hicieron excavaciones en los años 1921 y 1923 en el Valle del Indo, con una característica especial: el uso de ladrillos cocidos en hornos, que colocados en edificios parecieran sugerir el uso de una base decimal.

El periodo jainista refiere a la declinación védica y al ascenso del budismo y el jainismo. Sabemos que existió en esta época una fascinación por los números grandes y que ofrecieron un primer concepto de infinito. A akhshali El periodo del 200 a.C. al 400 d.C. posee como referencia principal en lo que se refiere a las matemáticas, un manuscrito que fue encontrado en 1881 en un pueblo llamado Bakhshali, noreste de la India. . Se trataba de un manual con reglas y ejemplos, esencialmente de álgebra y aritmética.

Algunos astrónomos y matemáticos: Aryabhata I (nació 476 d.C.), Brahmagupta (598), Mahavira (ca. 850), Sridhara (ca. 900), Bhaskara (nació 1114), Narayana Pandit (ca. 1370), Madhava de Sangamagramma (ca. 1340 - 1 425) y Nilakantha Somayaji (1445 - 1545). Aryabhata I, en un libro que se titula Aryabhatiya, da una descripción del conocimiento científico de la época, incluye un sitema de notación numérico alfabético, reglas de operaciones en aritmética y trata procedimientros para resolver ecuaciones simples y cuadráticas, y, también, ecuaciones indeterminadas de grado uno, además, trigonometría, la que incluye las funciones seno.

La escuela de Kerala

En la década de 1940, investigadores hindúes, con Rajagopal al frente, retomaron un artículo escrito en 1835 por Charles Whish, en el que se afirma la existencia de importantes resultados en las matemáticas de Kerala, que formaron toda una escuela. Cuatro obras señalaba Whish que eran las claves para la astronomía y las matemáticas: Tantra Samgraha (Nilakantha), Yuktibhasa (Jyesthadeva), Karana Paddhati (Putumana Somayaji) y Sadratnamala (Sankara Varman). Estas obras incluían, según Whish, cálculo infinitesimal, series de Gregory y Leibniz para la tangente inversa, series de potencias de Leibniz para y la de Newton para el seno y el coseno (atribuidas a Madhava). Además, aproximaciones racionales a funciones trigonométricas: la serie de Taylor, entre ellas. Estos últimos resultados obtenidos sin usar el cálculo infinitesimal.

Kerala es un territorio en el suroeste de la India

Al-Jwarizmi (c. 780-c. 835) • Autor de "Acerca de los cálculos con los números de la India" cerca de 825. Gerardo de Cremona (1114 -1187) Traductor italiano afincado en Toledo, tradujo al latín el libro de AlJwarizmi y permitió su difusión por Europa. Inscripción en el templo de Gwalior (876 d.C.) Primera representación del Gwalior 7 número cero:

SISTEMA DE NUMERACIÓN indo-arabico o decimal

Desarrollo de la numeración decimal:300 – 187 a. C. Imperio Maurya-Reinado de Ashoka (269 – 232 a. C.). 187 a. C. – 20 d. C. Dinastías locales 4 Shunga, Shatavahana 20 – 300 d. C. Reinado de los Kushana, Manuscrito de Bakhsali. 300 – 490 d. C.: Imperio Gupta.

Caracteristicas:Posicional.El valor de una cifra depende de su posición dentro del número. Necesita el uso de una cifra para el cero, que indica la ausencia de una potencia de 10. Base 10 o decimal Esta basada en el uso de los dedos de las manos. Las cifras no están vinculadas gráficamente al número de elementos que representan, como las cifras mayas o de Babilonia. Algoritmos para Sumar, restar, multiplicar, dividir, etc.

Condados catalanes al final del siglo X, Gerbert D’Aurillac (c. 945-1003) Conoce a los árabes y las cifras indo-arábigas. Difunde las cifras indo-arábigas con el ábaco de Gerbert. Cruzadas (1095 – 1291) Favorecieron la difusión de las cifras. Leonardo de Pisa: Fibonacci (c. 1170- c. 1240) Escribió el “Liber Abaci” (1202) para divulgar el uso de las cifras indo-arábigas en Europa.

Manuscrito del año 976 procedente de la España cristiana, documento más antiguo que muestra las cifras indo -arábigas en Europa, excepto el cero(Biblioteca de San Lorenzo de El Escorial).

tenían su propia moneda y cada vez tenía que acudir al banco o a la banca; esta era una mesa de contable con ábaco y fichas, los ábacos debían jurar no engañar a sus clientes, si engañaban los magistrados venían y le rompían la banca donde trabajaban, de aquí proviene la expresión ´´banca rota´´. En 1.299 debido a la desconfianza de la manera de hacer las cuentas de los nuevos números ya que nadie los entendía, prohibieron que los comerciantes utilizaran los nuevos números en sus cuentas

Era conocido como Fibonacci y cuando creció se los llevo con él a casa. En 1.202 Italia, Fibonacci escribió el libro del cálculo considerado hoy uno de los más grandes matemáticos, de todos los tiempos. No solo era un teórico parte de su libro estaba destinado a enseñarlo a los comerciantes a utilizarlos para calcular sus beneficios, época donde el capitalismo empezaba a salir en Europa y el libro se convirtió en lectura obligada, la gente corriente se encontraba cómoda con los romanos, no era solo de tradición tenía buenas razones como cada ciudad

El cero

El cero fue tratado con más recelo y desprecio, un escritor lo describió como un signo creador de dificultades y confusión; se le llamo cifra, era tan sospechoso que esta palabra definió el modo de hacer códigos secretos; cifrar y descifrar. Gracias a la secular codicia humana, los numero romanos ya no iban más. Los tradicionalistas prestamistas que utilizaban el ábaco no pensaban en calcular intereses sobre préstamos porque la iglesia católica decía que era pecado llamado Usura, pero con la reforma las iglesias protestantes y las objeciones cristianas contra el capitalismo terminaron. En este medio de préstamo e interés.

Mientas el capitalismo se hacía más fuerte el cálculo del interés simple y compuesto fue imprescindible para cualquier comerciante respetable. Siglos después los números traídos por Fibonacci reemplazo a los romanos, eran más rápidos y versátiles.

Uno había encontrado su compañero ideal, este emparejamiento habría de cambiar el mundo, con la ayuda de todo el equipo permitieron a la ciencia india avanzar extraordinariamente, los astrónomos indios llevaban siglos de ventaja a los del mundo cristiano. Los científicos indios afirmaron que la tierra giraba alrededor de su eje y alrededor del sol, en Europa Copérnico lo averiguo 1000 años después, también calcularon el diámetro del globo terráqueo se equivocaron en menos del 1%, posible con la participación de 1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

La magia del cero

Que tiene de maravilloso: se podría decir en lugar de cero que no hay nada; el cero solo tal vez no sea nada, pero al combinarlo con uno empezaba la magia. Y cuando se unían todos los números los resultados eran espectaculares, con solo 10 dígitos los indios podían hacer números infinitamente grandes o pequeños, los romanos no podían hacer esto,

Pero aun había mucho espacio para el error humano. Colon pensaba estar en Japón cuando estaba en las indias occidentales tras recorrer la mitad del mundo, cometió un error y hubo un hombre que no quería que se volvieran a producir en Alemania 1679 fue uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos y estaba dispuesto a librar a la humanidad del error, Leibniz tratando de hacer esto, invento una máquina de calcular mecánica e invento una.

El uno y el cero, solos, mientras los números conquistaban el mundo occidental con ellos los navegantes europeos hallaron una forma más sencilla de calcular la latitud en la que estaban y así atravesaron el gran océano y llegaron a américa, los números se convirtieron en el vocabulario de la banca moderna hasta el día de hoy.

En el sistema binario se debe fijar cuantos unos, doses, cuatros y cuantos ochos, hay en cada columna. Es un tipo de sistema mecánico porque añade unos y ceros, y es perfecto para una maquina porque no le interesa lo largo que pueda ser el numero puede arreglárselas con números larguísimos pero nosotros no. Es una forma muy eficiente de sumar números por eso a las maquinas les gusta poner los números en sistemas binarios. Leibniz diseño una maquina binaria exactamente de ese tipo, los errores serian cosa del pasado, la era digital y apodia llegar a conquistar el mundo. Pero el nunca la construyo.

Él estaba convencido de que el 1 y el 0 eran los únicos miembros necesarios, afirmaba que con estos dos números podría hacer realidad cualquier sueño matemático y eliminar el error humano. Se libró del resto de los números y desarrollo un sistema que solo usaba unos y ceros. ¿Cómo se pueden expresar todos los números con el 1 al 0? En primer lugar, no hay que contar con los dedos o de diez en diez, en el sistema decimal se tiene en cuenta cuantos números hay en la primera columna cuantos diez en la segundo cuantos cientos y cuantos miles.

gracias a coloso sabían que decían los mensajes antes que Hitler y esto contribuyo a acortar la guerra menos de dos años. La tecnología que nació ha cambiado nuestro mundo, todas las razones porque hacía falta comprender los números, los ordenadores pueden hacer todos esos cálculos. Podemos vivir en nuestra bendita ignorancia sin saber si el resultado es cierto o falso. En la era de los ordenadores todo está gobernado por una corriente de 1 y no unos, de modo que el resto de los números pueden ser arrinconados en el basurero de la historia.

Sur de Inglaterra 1944. Uno y cero debían esperar otros 265 años, Colosos, el primer ordenador de sistema binario del mundo, el sueño de Leibniz hecho realidad, una maquina electrónica aquí 1 y 0 salvo y nada acabaron siendo su elemento como corrientes eléctricas, encendido y pagado. Se creó en la segunda guerra mundial y se instaló en el centro de decodificación de flechti formado por 1200 válvulas miles de cables y cientos de componentes metálicos, como en todos los ordenadores de hoy en día su verdadero corazón era 1 y 0, en su forma eléctrica binaria 1 y 0 llevaron a cabo millones de cálculos rapidísimos que pudieron descifrara los códigos del enemigo antes que los alemanes,

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Biografias

Leibniz distingue dos grandes principios en los que se fundamentan todos nuestros razonamientos: el de "contradicción'' y el de "razón suficiente.''"..en virtud del cual juzgamos falso lo que encierra contradicción, y verdadero lo que es opuesto a, o contradictorio con, lo falso.''El principio de razón suficiente es complementario al de contradicción. Leibniz distingue entre axiomas universales y axiomas particulares. Los primeros son axiomas de identidad, es decir, se basan en el principio de contradicción y los segundos son los axiomas reducidos a identidad, es decir, deben ser demostrados. Otra vez las matemáticas. Para Leibniz, el espíritu humano contiene ideas innatas necesarias eternas (como las de la Aritmética y la Geometría) principios innatos ontológicos (como, precisamente, los principios de contradicción y razón suficiente). Las verdades innatas son para él, entonces, aquellas que la mente obtiene de sí misma porque las contiene en sí misma (así por ejemplo las proposiciones lógicas o matemáticas). Para Leibniz existía también la conexión divina.

Brahmagupta Brahmagupta nació en el año 598, posiblemente en Ujjain, India. Su padre fue Jisnugupta. Escribió importantes trabajos acerca de matemáticas y astronomía. Dos de sus trabajos más importantes fueron Brahmasphutasiddhanta, escrito en el año 628 y Brahmasphutasiddhanta, escrito en el año 665 a la edad de sesenta y siete años. Fue el director del observatorio de Ujjain, el primer centro matemático de la antigua India, en donde grandes matemáticos como Varahamihira trabajaron ahí y luego construyeron importantes escuelas astronómicas. Murió en el año 670 en India. Leibniz aportó ideas diferentes a Descartes y Spinoza. Leibniz fue tal vez el primer idealista en sentido estricto, quería construir un sistema absolutamente racional, es decir, un sistema que lógicamente debe hacer imposible la aparición de las paradojas o contradicciones propias de la filosofía clásica. En esa dirección

1) La construcción de una teoría (a la que llamaremos lógica pura) que comprende el conjunto de todas las identidades lógicas; en esta construcción se observarían estrictamente los preceptos de la metodología aristotélica. 2) La definición de los conceptos específicamente matemáticos por medio de los conceptos de la lógica pura. 3) La demostración de los axiomas específicamente matemáticos a partir del conjunto de las identidades lógicas y de las definiciones de los distintos conceptos específicamente matemáticos. La necesidad de alcanzar un nivel especialmente elevado de rigor y de lucidez lleva consigo otro paso previo más, también previsto por Leibniz, que es el siguiente:

4) La construcción de un lenguaje formalizado capaz de servir de medio de expresión para la lógica pura.'' [Beth. E. W. en: Piaget, Jean y Beth, E.W.: Epistemología matemática y psicología, p. 53] Leibniz fundo la lógica con la matemática de un plumazo: las reglas lógicas de la no-contradicción, las leyes de la identidad y del tercero excluido..., son las que dan la base de la epistemología matemática leibniziana. Leibniz proporciona una teoría de la verdad matemática capaz de ser funcional. Leibniz, por eso, a diferencia de Descartes y Pascal, va a proporcionar un avance a la lógica formal, ayudándola a salir del estrecho marco en la que la había sumergido la escolástica. La construcción de un "Calculus ratiocinator'' fue un proyecto que intentó por lo menos en tres ocasiones, en búsqueda de dar una forma más algebraica a la lógica aristotélica.

Sistemas de numeración de las primeras civilizaciones

Elementos fundamentales:

Desde el Neolítico, los sistemas de cómputo y numeración se fueron enriqueciendo progresivamente. Las grandes civilizaciones de la Antigüedad se distinguieron por un importante desarrollo de la aritmética y la geometría, que desembocó en la creación de sistemas de numeración sistemáticos, los cuales forman parte también de las actividades cotidianas. El sistema binario es básico en el funcionamiento de los ordenadores. El sexagesimal se utiliza para medir los valores de los ángulos y el cómputo del tiempo de los relojes. Definidos como un conjunto de signos, relaciones, convenios y normas destinados a expresar de modo gráfico y verbal el valor de los números y las cantidades numéricas. Se usan predominantemente sistemas de numeración de carácter posicional, donde cada numeral o guarismo representa un valor distinto según la posición que ocupa en la cadena numérica.

La base del Sistema:

Convenio de agrupación de sus unidades. Por ejemplo, la base 10 o decimal agrupa diez unidades, mientras que la binaria únicamente agrupa dos.

Los numerales del Sistema:

En el sistema decimal, se usan los numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En cambio, en el sistema binario tan sólo se emplean el 0 y el 1.

Las normas de combinación de los numerales para formar los números a cada cifra se le asocian dos propiedades: su valor absoluto intrínseco y su valor posicional o relativo, que depende de la posición que ocupa en la cantidad numérica.

El sistema decimal, el más utilizado en todos los ámbitos de la actividad humana

Utiliza una base 10. Sus numerales son las cifras del 0 al 9, ambas incluidas. Las posiciones relativas de los números se denominan unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar, unidades de millón, etc.

Cambios de base

Las equivalencias entre cantidades numéricas escritas en diferentes bases de numeración se obtienen habitualmente mediante una conversión intermedia a la base decimal. Un número de base decimal a otra base, se divide por esta base tantas veces como sea necesario hasta obtener un resto menor que la base; después, se anotan como numerales el último cociente y, en orden inverso, los sucesivos restos obtenidos.

El sistema binario

Utilizado por los ordenadores y otros tipos de dispositivos y sistemas emplea una base 2 y los numerales 0 y 1, muy práctico para los cálculos automatizados con sistemas electrónicos digitales, en la escritura cotidiana la expresión de las cantidades resulta muy larga.

Estos números son: Abundantes: Es un número que es mayor a la suma de sus divisores. Deficientes: Es un número que es menor a la suma de sus divisores. Perfectos: Es un número que es igual a la suma de sus divisores. Amigos: Son números en los cuales cada uno es igual a la suma de los divisores del otro Oblondos: También llamados heterómeros son números de la forma N (N+1) Poligonales: Son números figurados representados por conjuntos de puntos repartidos en un polígono regular. Asociados con las formas geométricas permitieron a los pitagóricos la representación visual de los números, al combinar las dos esencias implicadas en las matemáticas: el número y la forma. Pueden ser triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, heptagonales, octagonales, nonagonales, decagonales, etc.

Clasificaciones de los números.

Dos de universal conocimiento: Los pares e impares, los primos y compuestos. Desde la más remota antigüedad, el hombre ha distinguido los números enteros como pares 2,4,6, … o como impares 1,3,5, … Se dice que un entero N es par si existe otro entero tal que N = 2 Se dice que un entero N es impar si existe otro entero tal que N = 2 + 1 c Los pitagóricos definieron otro tipo de números en relación con los divisores o partes alícuotas, término éste acuñado por Nicomaco Siglo I A.C, un neopitagórico originario de Judea y autor de la obra Introduccion a la aritmética.

Números cósmicos

desarrollaron una aritmetologia (la palabra número deriva del término griego ariyma) y adjudicaron a cada uno de ellos atributos especiales que les dotaban de propiedades vitales. Muchas civilizaciones primitivas compartieron diversos aspectos de esta numerología que los pitagóricos llevaron al culto más extremo. Estas civilizaciones, como la de los pueblos mesopotámicos, influenciados por los relatos bíblicos, consideraban a los tres primeros números como símbolos de la creación divina.

Para los pitagóricos, el gran sistema del mundo reposa sobre la base de que el ser, la forma y la acción de todas las cosas son una consecuencia natural de los números. Quien conoce sus propiedades y sus mutuas relaciones, conoce las leyes merced a las cuales la naturaleza existe. Los números determinan el nexo de unión de todas las cosas y la mecánica del universo entero, son la base del espíritu y el único medio por el que se manifiesta la realidad. Denominaron década a los diez primeros números y, en consideración a sus propiedades místicas y cabalísticas así como a sus virtudes mágicas, eros números como símbolos de la creación divina.

probablemente debido a que son siete las estrellas errantes o planetas, (Sol, Luna, Martes, Mercurio, Júpiter, Venus, y Saturno) de los que se derivó la semana y por lo tanto, los nombres de cada uno de los siete días que la compone. El número octavo era el mejor para encontrarse con los buenos amigos, pero para los egipcios, el día ocho de cada mes era nefasto por estar relacionado con el pago de diezmos o impuestos. Número nueve era considerado por los esoteristas como la culminación del tiempo, por el contrario, para el filósofo y matemático Ramón Llull (1232-1316), el nueve era el valor de la división de las figuras concéntricas. Número diez es el primer número de dos cifras, representa la totalidad del cosmos y los espacios infinitos, el vacío. Es el Dios del Cielo, lo que no se ve. Cuando muere el dios terrenal sube al cielo y se sienta a la diestra del Dios Padre, se unen el uno con el cero que se representa como el número diez.

Para ellos, el número uno es el generador de los números y el número de la razón. Número dos es el primer número par, duplicación del primero, número masculino y de la opinión. Número tres es el número femenino y número de la armonía por estar compuesto por la unidad y la diversidad. Número cuatro es el número de la justicia o de la retribución, e indica el arreglo de cuentas. Número cinco es el número del matrimonio, unión de los elementos masculino y femenino y representación del tiempo. Número seis es el número de la creación, número perfecto que representa al hijo nacido de la unión entre los elementos masculino y femenino. Número siete ha sido destacado desde antiguo por un temor reverente,

Alrededor del año 300 a.C. Euclides de Alejandría recoge todo el saber disponible en ese momento en lo referente a matemática antigua, que plasma en trece libros que denominó los elementos, obra que con el devenir de los siglos ha sido fuente de consulta de muchos sabios. Alrededor del año 1800, Gauss lleva a cabo algo parecido con su obra Disquisiciones aritmética e introdujo la noción de congruencia y, al hacerlo, unificó la teoría de los números. Dado el número entero ℤ, M N serán congruentes ℤ sí y sólo si (M − N) es divisible por ℤ. Esta nomenclatura se puede expresar mediante O Para Gauss, los números se pueden clasificar en: Naturales: Son los números que nos sirven para contar. El conjunto formado por estos números se representa por ℕ y está formado por el conjunto = {1,2,3,4,5,6,7,8,9, ⋯ }.

Enteros: Son los números con los que siempre se puede sumar y restar. Los números enteros se representa por ℤ y está formado por el conjunto ℤ = {±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ⋯ }. Z, Racionales: Son los números con los que siempre se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir por números distintos de cero. El número racional es el cociente de dos números enteros, esto es a/b con, a,b = ∈ Z . El conjunto de números racionales se representa por ℚ, inicial de quotient, cociente en inglés. Irracionales: Se llaman números irracionales los que no tienen una forma decimal periódica y, por tanto, no pueden expresarse en forma de fracción como √2, pi, e, etc. El conjunto de los números irracionales se representa por Reales: Se llaman así al conjunto formado por los números racionales e irracionales y se representan por ℝ. Por definición tenemos que ℝ = ℚ ∪ X, esto es, la unión de los conjuntos ℚ e I Complejos: Los números complejos se representan como ℂ, y tienen su expresión en a +bi , donde a es la parte real y b la parte imaginaria, , a,b ∈ ℝ y i = √−1.

Los números complejos

Rafael Bombelli (1530 -1573) fue el primero en establecer las reglas de los números imaginarios al plantear la solución de la raíz cúbica con raíces de números negativos. Dice que había tenido “una idea loca” puesto que todo el proceso “parecía basarse en un sofisma. En un manuscrito fechado en 1777, Euler (1707 – 1783) utiliza el símbolo s para representar √−1 . Dicho documento no se publicó hasta 1794, por lo que el símbolo fue adoptado por Gauss (1777 -1855) en su obra Disquisiciones Aritméticas. Basándose en los trabajos de Wessel (1745 -1818) y Argand (1768 -1822) sobre la interpretación geométrica de los números imaginarios, Gauss continuó estudiando esta interpretación e introdujo la expresión de número complejo y demostró que puede escribirse mediante la expresión a+ bi, siendo a + b dos números reales e i el símbolo de Euler.

Girolamo (1501 − 1576) planteo el siguiente problema: Si nos dicen: divide 10 en dos partes tales que el producto de ambas sea 30 ó 40, es obvio que este caso es imposible. No obstante, trabajaremos así: Dividimos 10 en dos partes iguales, haciendo cada una igual a cinco. Lo elevamos al cuadrado teniendo 25. Restamos 40 dejando un resto de -15, cuya raíz cuadrada sumada y restada de 5 produce dos partes cuyo producto es 40. Habían nacido los números imaginarios para representar las raíces de los números negativos en la solución de las ecuaciones de segundo y tercer grado mediante el símbolo √−, siendo n un número positivo cualquiera.

En 1835 el matemático irlandés Hamilton (1805 -1865) estableció la teoría completa de los números complejos, cuya única modificación posterior ha sido su traducción al lenguaje de la teoría de conjuntos. Después de una aproximación al origen de los números complejos, podemos considerar dicho número como una expresión de la forma a+bi donde a y b son números reales, e i, denominada la unidad imaginaria, con la propiedad de que i 2= −1.

Números figurados

Los números poligonales aparecieron en los albores de la Escuela Pitagórica como un elemento esencial de su misticismo numérico: «no sólo las cosas son en esencia números sino que los números son concebidos como cosas», de modo que las expresiones «números triangulares» o «números cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos, triángulos y cuadrados. El número y la forma, confiriendo a los números propiedades y relaciones entre ellos que son completamente independientes de todo simbolismo introducido para representarlos, otorgándoles de este modo un carácter universal e inmutable. Éstos, que son las primeras y las más simples estructuras de la Geometría numérica están en el corazón de las Matemáticas y constituyen la matriz del desarrollo ulterior de la Teoría de los Números.

En su obra Pitágoras El Filósofo del Número, el profesor Pedro Miguel González Urbaneja, nos cuenta que los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un pergamino o piedrecillas en la arena y los clasificaban según las formas poligonales de estas distribuciones de puntos, es decir, asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular de puntos, cuya suma determina el número representado. Así obtenían los diversos tipos de números poligonales o figurados: Los números triangulares: 1, 3, 6, 15… Los números cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25… Los números pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35…

Forman parte de las raíces históricas de la Teoría de Números, apareciendo en numerosos ámbitos como por ejemplo en el Triángulo de Pascal. Juegan un importante papel en el Análisis Combinatorio, intervienen en el Binomio de Newton y en el Cálculo de Probabilidades y fueron ampliamente utilizados por Fermat, Pascal, Wallis y Roberval para la obtención de sus resultados sobre cuadraturas. En la actualidad el estudio de los números poligonales ha alcanzado un valor práctico en una incipiente aplicación criptográfica a la seguridad en las comunicaciones, de modo que, como en otros muchos otros aspectos, Pitágoras se sitúa en el umbral del pensamiento matemático. En la teoría analítica de los números, los números figurados tienen un importante papel a jugar, dada su relación con la función Zeta de Bernhard Riemann (1826-1866).

Los números poligonales han sido uno de los tópicos más atractivos de la Historia de la Aritmética tratado por matemáticos de la talla de Nicómaco de Gerasa, Diofanto de Alejandría, Mersenne, Euler, Gauss, Lagrange, Legendre y Cauchy.

Los ordenadores utilizan notación binaria para realizar cálculos aritméticos y octal o hexadecimal para expresar caracteres o dígitos SISTEMA OCTAL Posee ocho símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8. Este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conversión al sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 A LA 2 SISTEMA HEXADECIMAL. Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ?, %, , B, K, ‡. Su base es 16. Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en cuatro bits binarios al ser 4 16 2 , = lo que permite una conversión sencilla entre números hexadecimales y números binarios.

Es el conjunto de reglas y convenios mediante los cuales pueden representarse todas las cantidades utilizando signos diversos. Sistemas conocidos son, entre otros, el romano y el decimal. El sistema decimal fue ideado en la India y traído a Europa por los árabes en la Edad Media. Recibe el nombre de decimal por estar fundamentado en el número diez o dígitos diferentes para indicar una determinada cantidad 1,2,3,4,5,6,7,8,9., Esto es así debido al hecho de que los humanos tienen diez dedos ,es el más utilizado en la vida cotidiana. Emplea el principio del valor relativo de cada cifra dentro de una cantidad: una cifra representa uno u otro valor según el lugar que ocupe. Es el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su base es 2 y emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios). Así, podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits.

La teoría de los números trata básicamente de las propiedades de los números naturales y los enteros, mientras que las operaciones del álgebra y el cálculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numéricos, entre los cuales están: Números naturales Número primo Números compuestos Números perfectos Números enteros Números negativos Números pares Números impares Números racionales Números reales Números irracionales Números algebraicos Números trascendentes

Extensiones de los números reales Números complejos Números hipercomplejos Cuaterniones Octoniones Números hiperreales Números superreales Números surreales Números usados en teoría de conjuntos Números ordinales Números cardinales Números transfinitos

Orígen

Euclides fue un célebre matemático griego que vivió durante los años 325 – 265 a.C. Se lo conoce como El Padre de la Geometría, y se le atribuye la autoría de una famosa obra, titulada Elementos, que recopila gran parte del saber matemático de la época. En términos modernos, un número primo es un número natural distinto de 1 que sólo es divisible por 1, −1, por sí mismo y por su opuesto. Por ejemplo, 5 es un número primo, pues sólo es divisible por 1, −1, 5 y −5; en cambio 6 no es un número primo, ya que además de ser divisible por 1, −1, 6 y −6, es divisible por 2 y −2. A los números que no son primos se los llama números compuestos.

Números primos

Euclides fue un célebre matemático griego que vivió durante los años 325 – 265 a.C. Se lo conoce como El Padre de la Geometría, y se le atribuye la autoría de una famosa obra, titulada Elementos, que recopila gran parte del saber matemático de la época. En términos modernos, un número primo es un número natural distinto de 1 que sólo es divisible por 1, −1, por sí mismo y por su opuesto. Por ejemplo, 5 es un número primo, pues sólo es divisible por 1, −1, 5 y −5; en cambio 6 no es un número primo, ya que además de ser divisible por 1, −1, 6 y −6, es divisible por 2 y −2. A los números que no son primos se los llama números compuestos.

Números primos

Orígen

Corresponde a los hindúes el mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los números positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C.En el sistema de los numeros naturales ecuaciones del tipo X + 1 = 0, no tienen solución, así como otras situaciones de la vida real como, deudas, depresiones del terrenon nivel bajo el nivel del mar, temparaturas bajo cero, que no es posible representarlas con tales números. Surge así la necesidad de extender el sistema de los números naturales a un nuevo sistema en el que tales ecuaciones y situaciones sea posible. Surge así, un nuevo conjunto que se denomina de los númenros enteros y que se simboliza por la letra Z.

Números enteros

Orígen

Origen números racionales Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

Números racionales

A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy.A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792.

Números racionales

Orígen

El concepto o la idea de número irracional apareció pronto en la geometría. Los antiguos griegos vieron que había números que no se podían expresar mediante un número fraccionario. Se atribuye a Pitágoras de Samos (580- 500a. C.) y a su Escuela, el descubrimiento de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición, esto es, segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario. Estudiando un triángulo rectángulo con catetos de longitud uno, observaron que la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo no podía tener un valor racional. Con esto se demostró la no completitud de los números racionales y se dedujo la existencia de unos números hasta entonces desconocidos.

Números irracionales

La Escuela Pitagórica llamó a dichos números "inconmensurables". Al principio, la aparición de estos números extraños desconcertó de forma alarmante a los miembros de la Escuela Pitagórica, pues su existencia ponía en evidencia que muchas suposiciones y demostraciones de la geometría eran falsas o estaban incompletas. Tres siglos después de su descubrimiento, Euclides trata en su obra “Los Elementos” el tema de los números irracionales, y llega a demostrar que la raíz cuadrada de dos no puede ser un número racional.

Números irracionales

Orígen

Los primeros números que el hombre inventó fueron los números naturales, los cuales se utilizaban y se utilizan para contar elementos de un conjunto finito. Los números naturales surgieron de la necesidad de contar.El sistema numérico maya fue uno de los primeros en utilizar al mismo tiempo el principio posicional y el cero. Algunos dice que los números naturales fueron inventados por un matemático llamado Kroenecker el cual dijo una vez: "Dios creo los números naturales, lo demás es obra del hombre. Los números naturales pertenecen al conjunto de los números enteros positivos, por lo tanto, no tienen parte decimal, no son fraccionarios, ni parte imaginaria y se encuentran a la derecha del cero en la recta. Los números naturales se pueden representar en una línea recta y siempre se ordenan de menor a mayor

Números naturales

Frege parte desde un principio del racionalismo; solo que busca una combinación nueva más adecuada a los desarrollos lógico-matemáticos del XIX. Privilegia la lógica (que es convertida en una realidad casi mítica y trascendente) y apuntala los rasgos axiomáticos y formales de la matemática. Es decir, asume que la axiomática es columna vertebral del edificio matemático. Sin embargo, esto no era suficiente. Añade un fuerte platonismo en la consideración de los objetos matemáticos; y busca erradicar la intuición (aunque sea mental) en la aritmética (aunque no en la geometría). Bertrand Russell, descubre una paradoja en uno de los pilares esenciales, la paradoja aparece precisamente en su noción de "extensión de conceptos'', es decir, ligada al tratamiento de la teoría de conjuntos.

En el año 1931 Kurt Gödel publicó un artículo llamado "Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines''. Las ilusiones de Hilbert caerían por tierra de la noche a la mañana. Gödel conduce a romper con el esquema del sistema absoluto y cerrado para todo discurso. Los resultados gödelianos someten a crítica el esquema sobre el conocimiento que pretende que éste se obtiene a partir de la deducción aséptica de verdades primarias. Es el esquema de la pirámide en la que de la cúspide a la base se trasmite la verdad sin más intervención que la mecánica de la lógica y la razón, al margen del mundo sensorial viviente. La razón en sí misma no podía ser absoluta.

Historia de la matematica

Esto debe enfatizarse: Omar Khayyam (1048 - 1122) y Nasir-Eddin (1201 - 1274) afirmaron con toda claridad que las razones de magnitudes, conmensurables o inconmensurables, podían ser llamadas números. Resulta interesante, sin embargo, que aunque ellos conocían el uso de los números negativos y sus reglas de operación, introducidas por los hindúes, aún así los rechazaron. Una con base en las fuentes persas e indias, que subrayaba una aproximación algebraica en las matemáticas, y también presente en las tablas astronómicas, y con una motivación práctica. En esa tradición se coloca alKhwarizmi. Otra tradición con énfasis en las matemáticas helenísticas, que subrayaba la geometría y los métodos deductivos. Su figura emblemática: Tabit ibn Qurra

La cultura científica y matemática bajo dominio musulmán fue desarrollada por intelectuales provenientes de diferentes pueblos: persas, judíos, griegos, cristianos, etc., eso sí escrita en árabe. Sus fuentes en cuanto al conocimiento griego fueron manuscritos propiamente griegos o versiones sirias y hebreas. Obtuvieron las obras fundamentales de Aristóteles, Apolonio, Arquímedes, Diofanto, Herón y las tradujeron al árabe. Por ejemplo, los Elementos de Euclides fueron obtenidos de los bizantinos alrededor del año 800 y la obra astronómica de Ptolomeo, el Almagesto, a la cual ellos dieron precisamente ese nombre, en el año 827. Los árabes introdujeron y mejoraron los símbolos del sistema numérico hindú y la notación posicional. También usaron los irracionales de la misma forma que lo hicieron los hindúes.

Se afirma que los números indios llegaron a Bagdad en el 773 por medio de una misión diplomática hindú. El documento más antiguo en Europa con la numeración india se llama Codex Vigilanus y entró por España en el año 976. De hecho, está hoy en un museo de Madrid. Al-Khwarizmi construyó tablas astronómicas que tuvieron influencia por 500 años, con base en las tradiciones babilónicas, indias y helenísticas. 155 Su obra Imagen de la Tierra se considera la más importante de la geografía desde la obra de Ptolomeo. Al-Khwarizmi señaló 6 tipos de ecuaciones

Abu Jafar Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (c. 825). Escribió sobre aritmética, álgebra, astronomía y geografía Escribió en el 830 el libro: Hisab Al-jabr w'al-muqabala, que se traduce como Cálculo por restauración y reducción. También: Algorithmi de numero indorum (Cálculo con números indios). Los trabajos algebraicos de al-Khwarizmi se basaron en los resultados de Brahmagupta pero reflejan, también, influencias babilonias y griegas directamente (por ejemplo, de Diofanto). El segundo libro, Aritmética, sirvió para introducir a los europeos en el sistema numérico posicional de la India. Incluye un tratamiento sistemático de las operaciones de la aritmética. Fue el primer libro traducido del árabe, y hay un detalle interesante: popularizó la palabra "algoritmo'', que proviene del apellido del autor, para referirse a procedimientos sistemáticos de cálculo. Y se quedó para la historia.

En lo que se refiere a la resolución de las cúbicas, usó un método geométrico para resolver ecuaciones de tercer grado con raíces positivas. Estudió 19 tipos de ecuaciones cúbicas, algunas de las cuales las pudo reducir a cuadráticas. Las restantes 14 las resolvió por medio de secciones cónicas "Los árabes adoptaron y desarrollaron la trigonometría hindú. El primer progreso notable se debió al astrónomo Al-Battani (muerto en el 929), en el siglo IX. Usó además del seno hindú, la tangente y la cotangente. En el siglo X se calcularon tablas de estas dos últimas, y también hicieron su aparición la secante y la cosecante como razones trigonométricas , la función seno fue traída de la matemática india se supone que a través de un texto de astronomía india Surya Siddhanta. También sen y sen fueron incorporadas de los hindúes. Las funciones tangente y cotangente sí son de origen árabe.

Abul Hassan Thabit ibn Qurra Marwan al-Harrani hizo trabajos en trigonometría esférica, una prueba del teorema de Pitágoras, medidas de parábolas y paraboloides, y sobre números "amigos''. Se considera el mejor geómetra del mundo islámico. A diferencia de al-Khwarizmi, volvemos al uso de la geometría en el álgebra; ibn Qurra hizo una demostración general en la que introdujo dos teoremas de Euclides. Esta integración de álgebra y geometría, unificaba las dos tradiciones del pensamiento matemático, y abrían el camino al álgebra moderna. Omar Khayyam Existe consenso entre los historiadores de las matemáticas en que la figura en este terreno más importante fue Abdul-Fath Umar ibn Ibrahim al-Kayyami, Omar Khayyam. Dio reglas para resolver ecuaciones cuadráticas y un método para la resolución de ecuaciones cúbicas con raíces reales, en la tradición de al-Kwarizmi. Ofreció algo parecido al triángulo de Pascal para los coeficientes Trabajó la dimensión algebraica de esta teoría para extender el concepto de número de tal manera que pudiera incluir a los números irracionales positivos.

LA EDAD MEDIA EUROPEA

Las matemáticas de los romanos fueron tremendamente simples y solamente tenían importancia en actividades prácticas como la agrimensura y el comercio. Los emperadores romanos no fueron un apoyo para las matemáticas. El Imperio romano y el cristianismo nacieron casi al mismo tiempo. En los comienzos del siglo IV con el progreso del cristianismo, desde las mismas entrañas del Imperio Romano, se obtuvieron consecuencias desafortunadas para las matemáticas. No solo la arquitectura fue destruida sino, también, fueron eliminados muchos paganos vivientes, entre ellos algunos matemáticos, los libros griegos fueron quemados (por ejemplo, en el templo de Serapis, donde 300 mil manuscritos griegos fueran destruidos), y tiempo después, con Justiniano, las escuelas de filosofía griega fueron cerradas. En el año 47 a.C. Julio César al quemar la flota egipcia en Alejandría provocó el incendio de la Biblioteca de Alejandría con más de medio millón de manuscritos, una riqueza cultural incalculable. Al conquistar Egipto, en el siglo VII, los musulmanes destruyeron el resto de libros que habían quedado en Alejandría.

La cultura y ciencia alejandrinas se fueron muriendo lentamente por varias razones. Ahí estaban las debilidades de una geometría basada estrictamente en criterios deductivos reduccionistas, y la ausencia de una vinculación con el álgebra y la aritmética, disciplinas ellas mismas que se habían visto debilitadas por el dominio de visiones ideológicas y filosóficas. Los romanos habían conquistado Grecia para el año 150 a.C. y Mesopotamia en el 64 a.C.. Para el año 31 a.C. controlaban definitivamente también Egipto. Con la división del Imperio Romano en dos partes, realizada por el emperador Teodosio, la historia romana vivió dos evoluciones distintas Aunque los romanos incorporaron mucho de la cultura griega no usaron o veían de reojo la ciencia griega. La civilización romana era esencialmente utilitaria, y esto fue decisivo. En lo que se refiere a la cosmología, expresó poco interés. Y mucho menos aun por las ciencias matemáticas de Grecia; tal vez la única excepción fueron algunas aplicaciones que podían hacerse en la ingeniería.

"La matemática y la lógica del Occidente latino reposaban sobre la obra de Boecio en el siglo VI, quien realizó en este campo lo que Plinio hizo con la Historia Natural. Boecio, además de recopilar tratados elementales sobre Geometría, Aritmética, Astronomía y Música, basados en las obras de Euclides, Nicómaco y Ptolomeo, tradujo las obras de Aristóteles al latín. De estas traducciones solamente se conocieron ampliamente antes del siglo XII las Categorías y el De Interpretatione; hasta esa fecha, las traducciones y comentarios de Boecio fueron la fuente principal para el estudio de la Lógica y de la Matemática. El conocimiento de la Matemática estaba limitado en gran parte a la Aritmética. El único tratado matemático que queda intacto, la llamada Geometría de Boecio, que data de una época no anterior al siglo IX, contenía solamente fragmentos de Euclides y trataba principalmente de operaciones prácticas, tales como la Agrimensura. Casiodoro (hacia 490 - 580), en sus obras populares sobre las Artes Liberales, hizo solamente una exposición muy elemental de las Matemáticas.'' Se supone que introdujo el término quadrivium, para referirse a la aritmética, geometría, música y astronomía.

Mientras la civilizaciones de los egipcios, babilonios, bizantinos, chinos y romanos florecían, la región europea, salvo por Italia y Grecia, estaba constituida por culturas muy primitivas. En los territorios de lo que había sido el Imperio Romano de Occidente, la Iglesia Católica ya había adquirido una gran relevancia política y religiosa El origen de escuelas de formación superior, las universidades, se dio sobre todo como producto de las necesidades de formación en el clero. La figura fundamental fue Anicio Manlio Severinno Boecio (c. 480 - 524), que tradujo del griego al latín varias selecciones de tratados elementales de aritmética, geometría, astronomía. Por ejemplo, tradujo fragmentos de los Elementos de Euclides (entre 2 y 5 libros), la Introductio arithmetica de Nicomaco, obras de Aristóteles y una astronomía basada en la obras de Ptolomeo.

Sus sucesores en el Merton College, en Oxford, introdujeron razonamiento cuantitativo y física a través de la noción de movimiento acelerado. Entre tanto, en París, Jean Buridan y otros más, elaboraron el concepto de ímpetus, que sería importante en los años siguientes. Oresme. Oresme, de quien hablaremos varias veces en este libro, introdujo algunas ideas críticas en la astronomía que estimularían, luego, las ideas de Nicolás de Cusa relativas al movimiento de la tierra y el concepto de universo infinito. Todos estos asuntos luego pesarían en la revolución cosmológica copernicana.

Robert Grosseteste (c. 1168 - 1253) y Roger Bacon (1214 - 1294), el Doctor Mirabilis, quienes introdujeron las matemáticas y el método experimental en el territorio de la ciencia y, también, contribuyeron a la discusión sobre la naturaleza de la luz y el color. Bacon era un erudito, el cual 174 sostenía que, además -por supuesto- de estudiar las sagradas escrituras, las matemáticas y la experiencia era importantes para el conocimiento; en su Opus Majus fue drástico: todas las ciencias requieren matemáticas. En este escenario se potenció una visión diferente sobre la ciencia: el nominalismo, cuya figura clave fue William de Ockham o Occam (c. 1 300 - 1 349).

Matematicas mediavales

Entre los siglos XII y XV se desarrolló cierto nivel de vida matemática. Nuestra primera referencia es Leonardo de Pisa (c. 1 170 - 1 250), más conocido como Fibonacci, quien escribió en el año 1 202 el famoso Liber Abaci (Libro del ábaco). En este libro introdujo los métodos de cálculo hindú con enteros y fracciones, las raíces cuadradas y cúbicas. Tanto en este libro como en el que publicó en 1 225, Liber Quadratorum, estudió el álgebra, aunque usando palabras más que símbolos y basando sus resultados en métodos aritméticos. Ofreció soluciones de ecuaciones determinadas e indeterminadas tanto para ecuaciones de primer y segundo grado como para algunas cúbicas.

Leonardo de Pisa (Fibonacci) Leonardo de Pisa nació aproximadamente en 1 170 en Pisa (Italia).Obtuvo enormes resultados de los sistemas matemáticos extranjeros gracias a que viajó mucho con su padre. Volvió a Pisa alrededor del año 1 200 y escribió varios textos importantes. Johannes de Palermo presentó varios problemas al gran matemático a las que dio las soluciones; estas famosas soluciones escritas en matemática recreativa, representadas a menudo como problemas de cuentos, se convirtieron en desafíos clásicos mentales a partir del siglo XIII y se han mantenido hasta hoy.

Robert Grosseteste nació en 1 168 en Suffolk, Inglaterra En relación con las matemáticas, hizo varios estudios en geometría, ópticas y astronomía. En ópticas experimentó con espejos y lentes. Tradujo al latín muchas escrituras griegas y árabes e hizo muchos tratados de asuntos científicos. Uno de sus estudiantes mejor reconocidos fue Roger Bacon. Robert murió el 9 de octubre de 1 253 en Buckden, Buckinghamshire, Inglaterra y cincuenta años después fue beatificado como santo. Gerardo nació en 1 114 en Cremona, Italia su vida la dedico a traducir al latín las grandes obras árabes, ya que eran consideradas de gran importancia. Se trasladó a Toledo para aprender árabe,, tradujo alrededor de ochenta trabajos del árabe al latín. No todos estos trabajos fueron matemáticos, muchos fueron de ciencia general o medicina. lo más importante que tradujo Gerardo fueron trabajos de astronomía, geometría y otras ramas de las matemáticas. Además tradujo el Almagesto de Tolomeo, lo que para él fue su tarea más importante.

Anicius Boethus (Boecio) nació alrededor del año 480 en Italia, Roma. Su escrito en aritmética se basó en el trabajo de Nicómaco. Una de sus metas, fue la de traducir y comentar todas las obras de Platón y Aristóteles, con el fin de demostrar que ambos coincidían en su pensamiento. Este fue un proyecto que nunca pudo finalizar. Durante el Siglo XII, sus escritos y traducciones fueron los principales trabajos en lógica en Europa. Adelardo de Bath nació en el año 1 075 en Bath, Inglaterra. Estudió en Tours en la Loire Valley en Francia. Escribió varios trabajos sobre filosofía, aunque su mayor dedicación fue la de traducir los textos árabes. Tradujo al latín los Elementos de Euclides en tres diferentes versiones, así como las tablas de al-Khwarizmi, alrededor del año 1 126.

"El siglo XVI estuvo igualmente cuajado de grandes cosas para el futuro de la matemática. Los nombres de Leonardo de Vinci (1 452 - 1 519), Miguel Angel (1 475 - 1 564), y Rafael (1 483 - 1 520), tres de los mejores entre una pléyade, nos recordarán lo que esta época crítica, del siglo de Copérnico (1 473 - 1 543), fue en arte; paralelamente los de Torquemada (1 420 - 1 498), Lutero (1 483 - 1 546), Loyola (1 491 - 1 556) y Calvino (1 509 - 1 564) pueden sugerir lo que fue en los aspectos más elevados de la vida. Cardano (1 501 - 1 576) publicó (1 545) su Ars magna, la suma de los conocimientos en álgebra de aquella época, solo dos años después de que Copérnico recibiera en su lecho de muerte las pruebas de imprenta de su revolucionario De revolutionibus orbium coelestium. Con el influjo de las obras griegas, conocimiento y valores, se potenció el interés en las matemáticas. En el siglo XV, una de las principales influencias fueron las obras de Platón: el diseño matemático de la naturaleza, que incorporaba las características de armonía, verdad y belleza. La naturaleza es descrita entonces a través de leyes inmutables dentro de una comprensión que es racional y estructurada.

MATEMÁTICAS EN EL RENACIMIENTO

Georg von Peuerbach inició la traducción del Almagesto, por ejemplo. Regiomontano la completó. Un ejemplo de estos cambios técnicos y su influencia es la primera edición impresa de los Elementos de Euclides en latín (realizada por Johannes Campanus) que apareció en Venecia en 1 482. También, los cuatro libros de las Secciones Cónicas de Apolonio, las obras de Pappus, la Arithmética de Diofanto y otras. Debe subrayarse en este escenario el papel jugado por las técnicas asociadas a la navegación. Sin duda, el descubrimiento de América y otras rutas comerciales potenció métodos y demandas en la navegación. Se desarrolló una actividad realizada por los llamados humanistas que trató de establecer una crítica de las obras griegas y romanas que se había incorporado en el firmamento ideológico sobre todo a partir de los escolásticos. En el siglo XVI, sobresale entre ellos el italiano Gerolamo Cardano (1501 - 1576) que escribió sobre matemáticas, astronomía, astrología, medicina, astrología y muchos otros temas.

"En el Renacimiento las matemáticas tuvieron aplicación en la mecánica, el arte, la agrimensura, la contabilidad, la cartografía y la óptica. En general, se trataba de aplicaciones elementales o que recurrían a dimensiones de poco nivel matemático. También, en el mismo periodo, hubo interés por las obras griegas de mayor complejidad, pero no de una manera muy extendida. La ausencia de traducciones latinas de autores como Apolonio, Arquímedes, o Pappus era una debilidad.'' Los principios matemáticos de la perspectiva fueron establecidos de una manera completa por Piero della Francesca (c. 1410 - 1492), con avances en la idea de proyección y sección en su trabajo De prospettiva pingendi (1482 - 1487) Leone Battista Alberti (1404 - 1472) Filippo Brunelleschi (1377 - 1446), Paolo Uccello (1397 - 1475) y Masaccio (1401 - 1428),

como importantes estudiosos de la perspectiva, en la que aplicaron principios de geometría) La obra relevante de Durero: Underweysung mid dem Zyrkel und Rychtscheyd, 1 525. Otros trabajos sobre la perspectiva, de una manera mucho más definitiva, fueron escritos al final del siglo XVIII por los matemáticos Brook Taylor y J. H. Lambert. La geometría de estos siglos XV y XVI encontró sus fronteras en la perspectiva, el trabajo de Leonardo, Piero, Pacioli y Durero tuvo la principal virtud de ampliar el conocimiento sobre la geometría, aunque de manera muy limitada si se compara con la geometría clásica. Producto del trabajo de algunos de estos artistas y matemáticos, se estimuló el estudio de la estereometría.

Walther tenía también una imprenta propia, con la que prepararon almanaques náuticos de gran utilidad para los navegantes portugueses y españoles. Müller fue el primero que introdujo en las observaciones astronómicas correcciones para la refracción atmosférica, así como el primero también en utilizar en astronomía el reloj mecánico. Más tarde, marchó a Roma para reformar el calendario, si bien murió antes de llevarlo a cabo. Walther y su amigo, el artista Albrecht Dürer, prosiguieron sus observaciones, de modo que cuando Nicolás Copérnico, 1473 - 1543, comenzó su trabajo, se disponía ya de un volumen considerable de observaciones moderas precisas.'

"La astronomía de observación resurgió en el siglo quince en relación con el arte de navegar y con la reforma del calendario juliano que se estaba desfasando respecto al año solar. Este movimiento se inició con Geor von Peurbach, 1423 - 61, de la Universidad de Viena, y más especialmente con su discípulo Johann Müller, 1436 - 76, quien fue a Italia para estudiar las versiones griegas originales de la astronomía de Ptolomeo. Müller se estableció en Nuremberg, realizando observaciones con su amigo y patrón Bernhard Walther, 1430 - 1504, un rico comerciante que disponía de un observatorio privado.

Johannes Müller (1436 - 1476), discípulo de Peurbach y del cardenal Bessarion (c. 1400 - 1472)., Regiomontano haría varias traducciones de obras griegas estableció su propia imprenta para imprimirlas. Entre ellas las Secciones Cónicas de Apolonio y partes de Arquímedes y Herón. Se sabe que en su libro De Triangulis, 1462 - 1463, Regiomontano se benefició de algunos trabajos árabes para expresar de una mejor manera el conocimiento disponible sobre trigonometría plana, geometría esférica, y trigonometría esférica. La construcción de tablas fue otro asunto importante durante los siglos XV y XVI. Por ejemplo, laboraron en eso George Joachim Rheticus (1514 - 1576),

Copérnico, François Vieta (1540 - 1603) y Barthdolomaeus Pitiscus (1561 - 1613). A principios del siglo XVI, el cero y los irracionales se aceptaban, más o menos en la tradición de los árabes e hindúes. Cardano, Stevin, Pacioli y el alemán Michael Stifel introdujeron nuevos tipos de irracionales. Vieta dio una aproximación del número pi usando otras formas de irracionales. Stifel en su obra Aritmética Integra de 1 544 usó irracionales en forma decimal, aunque tenía sus dudas acerca de la naturaleza de los mismos, a los que no consideraba exactamente números de verdad. Las dudas sobre los irracionales siguieron por siglos. Pascal y Barrow opinaron que números como la eran simplemente magnitudes geométricas, o sea eran símbolos sin existencia independiente más allá de esas magnitudes, y acudían a la teoría de las magnitudes de Eudoxo para justificar la operación con ellos. Stevin, por el contrario, afirmaba que los irracionales eran números independientes, e incluso los aproximó por medio de números racionales.

Vieta realizó el salto más relevante en el simbolismo para el álgebra. Bajo la influencia de Cardano, Tartaglia, Bombelli, Stevin y especialmente Diofanto, introdujo letras para designar números de manera sistemática y consistente. Usó consonantes para las cantidades conocidas y vocales para las desconocidas. Su conciencia del papel del simbolismo y de la naturaleza general del álgebra lo llevó a hacer la famosa distinción entre logistica numerosa y logistica speciosa para separar aritmética y álgebra. Mientras que la numerosa refería a números, la speciosa a un método de operar sobre formas de cosas o especies, Aunque muchos buscaron mejorar el trabajo de Vieta como Harriot, Girard y Oughtred, debe mencionarse que fue Descartes quien usó las primeras letras del alfabeto para cantidades conocidas y las últimas para las desconocidas, exactamente como se trabaja ahora (aunque Vieta y Descartes usaron los coeficientes literales solo para números positivos). Leibniz, debe decirse, fue de los matemáticos más preocupados con el simbolismo. El resultado más relevante de la aritmética de los siglos XVI y XVII fueron los logaritmos.

Nicolás Copérnico dio el primer paso en la revolución cosmológica de la Modernidad. Su teoría heliocéntrica. Frente a Copérnico se levantó una gran oposición. Astrónomos de la talla de Tycho Brahe (1546 - 1601) abandonaron esta teoría en busca de algo intermedio, porque la teoría de Copérnico mostraba ciertas discrepancias con las observaciones. Vieta elevó argumentos semejantes y se dedicó a mejorar la teoría ptolemaica. Una de las dificultades del planteamiento de Copérnico residía en las matemáticas mismas: su complejidad. La vida de Galileo fue extraordinariamente interesante. Nació el 15 de febrero de 1564 en Pisa, Italia. Su padre fue Vincenzo Galilei (1520 - 1591), un músico profesional.su interés en los trabajos de Arquímedes y Euclides lo motivó decisivamente hacia las matemáticas. A pesar de todo, Galileo logró escribir una obra que resumía mucho de su trabajo de años alrededor de la mecánica y el movimiento: Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno à due nuove szience (Diálogo y Demostraciones Matemáticas Concernientes Dos Nuevas Ciencias). Este libro se sacó de Italia y se publicó en Holanda (Leiden) en el año de 1 638, teniendo una gigantesca repercusión en el destino de la metodología científica.

y el árabe, compilaron muchos trabajos con el conocimiento existente y, con ello, abrieron el camino para el progreso de las matemáticas en los siglos siguientes. En el caso del álgebra se dio una continuación de las actividades establecidas por los árabes y en la geometría se trabajó sobre algunos problemas heredados de los artistas. Pero las principales creaciones matemáticas que realizaron los europeos tuvieron su origen en otros asuntos de carácter científico y tecnológico en general. Con toda propiedad, se puede decir que fue la revolución en la astronomía, realizada por Copérnico y Kepler, la principal fuente de desarrollo de las matemáticas en los siglos XVII y XVIII. La idea de que la Tierra se mueve alrededor del Sol ya había sido considerada con cierto desarrollo por algunos árabes, así como por medievales y renacentistas: Bîrûnî (973 - 1048), Oresme y también Nicolás de Cusa (1401 - 1464)

En esta gran epopeya encontramos figuras intelectuales de la talla de Galileo, Harvey, Descartes, Fermat, Newton y muchos otros. En particular, la mecánica celeste que desarrollaría este último propulsó un paradigma (es decir un modelo teórico mayoritariamente aceptado) en torno al conocimiento de las leyes del mundo que no hace mucho todavía regía. Podemos decir que la revolución científica constituyó una ruptura cualitativa con el pensamiento anterior de clara filiación griega y medieval y el parto de una nueva época. Para algunos, se trata de una de las más importantes hazañas de la especie humana. Debe subrayarse en las actitudes y métodos las contribuciones de Francis Bacon, René Descartes, Galileo Galilei, en la primera mitad del siglo XVII Los matemáticos renacentistas tradujeron obras del griego

Pierre Gassendi nació el 22 de enero de 1 592 en Champtercier, Francia. En 1624, Mersenne trató de persuadirlo de dejar las matemáticas y la teología y practicar solamente la filosofía. Se considera que las teorías de Gassendi ayudaron a estructurar los métodos empíricos modernos. Fue un seguidor de la filosofía de Epicuro y estuvo implicado en ataques a las teorías de Aristóteles y de Descartes. Evangelista Torricelli nació el 15 de octubre de 1 608 en Roma, Italia Cuando Galileo murió, se desempeñó como profesor de filosofía y matemáticas en la Academia Florentina. Descubrió el principio del barómetro, con un experimento que realizó con su colega Vincenzo Viviani, luego construyó el instrumento. Fabricó telescopios y un tipo de microscopio.

Puede decirse que para Galileo como también para Newton, Descartes, Huygens, y para muchos otros, las matemáticas jugaban un papel más importante que la propia experimentación. Es decir, de alguna manera, veían a la naturaleza y a la construcción científica con ojos de matemáticos. En ese sentido, la cantidad de experimentos o experiencias controladas específicas que se usaron no fueron muchas. Marin Mersenne nació el 8 de septiembre de 1 588 en Oize, Francia desempeñó un papel esencial al difundir conocimientos matemáticos en Europa. Su interés le llevó a investigar los números primos, buscando una fórmula que los representara a todos. Fue un gran defensor, ante las críticas teológicas, de Descartes y de Galileo.

El siglo XVII fue un contexto en el que las necesidades prácticas de una sociedad emergente provocaban reclamos en el conocimiento y, en particular, en las matemáticas. Girard Desargues (1591 - 1661) el primero en abordar trabajos en esta dirección. Creó nuevos métodos y conceptos, y a través de la proyección y la sección como método de prueba abordó diferentes estudios de las secciones cónicas de una manera general. Su nueva interpretación de la geometría ofreció una nueva visión sobre esta disciplina. Blaise Pascal (1623 - 1662) quien más contribuyó a la geometría proyectiva en esta época. El trabajo de Blaise Pascal también se asoció a las probabilidades, a un famoso teorema de un hexágono inscrito en un círculo, al triángulo aritmético formado por coeficientes binomiales, al principio de inducción completa así como a asuntos propiamente de los infinitesimales. También se puede citar el trabajo de Philippe de La Hire (1640 - 1718).Los conceptos de tiempo, rapidez, distancia y velocidad instantánea fueron estudiados por Giovanni di Casoli, Oresme y otros; incluso habían ofrecido representaciones gráficas.

Fermat Pierre de Fermat había escrito un artículo sobre geometría antes incluso que apareciera la Géometrie de Descartes, pero éste fue publicado póstumamente hasta el año de 1 679. Después de Descartes, John Wallis, amigo de Newton, e influenciado precisamente por Vieta, Fermat y Descartes, dio varios pasos en la "algebrización de la geometría'' '. Por ejemplo, en su libro Algebra (1 685) dedujo en forma algebraica todo el Libro V de los Elementos de Euclides. Esta dirección tendría influencia, por ejemplo, en los trabajos de Leibniz. Para Isaac Barrow, sin embargo, las matemáticas eran esencialmente geométricas y el álgebra y la aritmética no eran más que una formalización de la lógica. Históricamente, la geometría analítica en sí misma (no en cuanto utilizada en otras disciplinas), como la presentaron Descartes y Fermat, tuvo poca repercusión inmediata. Y ésta tendría que 263 esperar el trabajo de Gaspard Monge (1746 - 1818) y sus discípulos en la Escuela Politécnica francesa (la Polytechnique ) para adquirir los alcances y fortalezas que ésta posee.

En los orígenes del cálculo es posible determinar dos tendencias definidas, una algebraica y otra geométrica. Mientras que Fermat, Descartes o John Wallis se inclinaban por una aproximación algebraica, Torricelli, Isaac Cavalieri y Barrow lo hacían por una geométrica. Esto último también sucedía con Huygens. Fue en el curso de sus trabajos en la geometría de coordenadas que Fermat descubrió un método que le permitía calcular la pendiente de una recta tangente a una curva algebraica. Esta aproximación es casi idéntica a la que Newton y Leibniz desarrollarían posteriormente. Es debido a este resultado que el gran matemático Laplace consideraba a Fermat como el verdadero descubridor del cálculo diferencial. tros matemáticos hicieron contribuciones previas al desarrollo definitivo del cálculo, como el mismo maestro de Newton, Isaac Barrow (1630 - 1677) en Lectiones Geometricae (1669).

Si bien se puede decir que la obra de Copérnico abrió la Revolución Científica, los aportes de Kepler y las batallas y aportes en la mecánica de Galileo afirmaron la nueva visión de la astronomía y de la ciencia, el punto determinante fue la obra de Newton, que logró precisamente la fusión del cielo y la tierra en una descripción del universo con leyes matemáticas. El mundo que siguió fue newtoniano de muchas maneras. N Lo interesante de subrayar es que Newton fue también uno de los creadores del cálculo diferencial e integral, culminación de esfuerzos de siglos, y, más que eso, también, un motor esencial de las matemáticas de la Modernidad.

Muchos otros matemáticos hicieron contribuciones al cálculo previamente a Newton y Leibniz: Gregory St. Vincent, Alfons de Sarasa, Nicholas Mercator, Christopher Wren, C. Huygens, James Gregory, Cavalieri, Descartes, Fermat, Wallis, Barrow, Pascal y otros. Estaba la mesa servida para una gran síntesis de los métodos infinitesimales y las respuestas a los problemas centrales que reclamaban su uso en el siglo XVII. se dieron varios desarrollos importantes en la óptica y en el estudio de la naturaleza de la luz con Grimaldi (1618 - 1663) y el mismo Newton. Huygens hizo una descripción matemática del funcionamiento ondulatorio de la luz. Torricelli (1608 - 1647), discípulo de Galileo, inventó el barómetro descubriendo la presión atmosférica y también el "vacío''. Gassendi (1592 - 1655) introdujo de nuevo una forma de la teoría atomista de Leucipo y Demócrito. Es la época de Boyle, con sus resultados sobre el vacío y la teoría de gases, y también de Hooke, a quien se le atribuye haber sido el principal físico experimental antes de Farad

Aunque Newton descubrió-construyó el cálculo diferencial e integral en los años 1665 a 1666, y Leibniz lo hizo en 1673 y 1676, fue este último quien publicó primeramente sus resultados en los años 1684 y 1686. Newton dio a su cálculo el nombre de Teoría de fluxiones. Entre los años 1 600 y 1 900 gran parte de las matemáticas y la física estuvo vinculada de muchas maneras a los métodos del cálculo diferencial e integral. En primer lugar, deben subrayarse los diferentes papeles asignados al álgebra y la geometría. Se pasó de un dominio en métodos y criterios de rigor, de la validez, con base en la geometría, a una mayor relevancia del álgebra. Los resultados de las matemáticas dejaron de concebirse como simples idealizaciones de la experiencia y se empujó hacia una construcción más abstracta de conceptos y métodos. Al mismo tiempo, sin embargo, la creación del cálculo, que incluía métodos alejados de aquellos estándares de rigor y deducción propios de la geometría clásica, promovió la utilización de procesos inductivos en las matemáticas.

Aunque debe incluirse a los matemáticos franceses Clairaut (1713 - 1765), d'Alembert (1717 - 1783) y Maupertuis (1698 - 1759), los hermanos suizos Nicolaus (1695 - 1726) y Daniel Bernoulli (1700 - 1782) [hijos de Jean]. Los Bernoulli refieren a una de esas raras situaciones en la historia de las matemáticas: una misma familia a la cual pertenecieron muchas personas que contribuyeron a estas disciplinas con relevancia. Basilea, Suiza, es el lugar. Todo inicia con Nicolaus, padre de Jacob y de Johann. Jacob estudió teología y Johann medicina. Pero rápidamente se convirtieron en discípulos de Leibniz. Jacob ocupó la cátedra de matemáticas de la Universidad de Basilea de 1687 a 1705, cuando muere. Johann lo sucedió en ese puesto por más de 40 años. Antes había sido profesor en Groningen. Jacob hizo importantes contribuciones a las coordenadas polares, el estudio de la catenaria, la lemniscata, y la espiral logarítmica, y trabajó con curvas que lo llevaron a asuntos en el cálculo de variaciones. Pero, además, trabajó las probabilidades: su Ars conjectandi (publicado en 1713) establece el " teorema de Bernoulli '' sobre las distribuciones binomiales y aquí aparecen los llamados " números de Bernoulli ''.

De igual manera, se dio una estrecha vinculación entre las matemáticas y las ciencias naturales, lo que empujó hacia una mayor interdependencia y fusión teóricas que aumentaba la convergencia entre las ciencias y las matemáticas y evadiendo en parte sus distinciones. Por otro lado, las matemáticas del siglo XVIII, a diferencia de las del siglo XVII, fueron esencialmente cuantitativas, debido precisamente a esa relación estrecha con las ciencias naturales. Esto configuraba lo que se puede describir como una situación contradictoria. Mientras que se tenía una gran producción matemática y un gran éxito en la capacidad para predecir en las ciencias, existía a la vez un conjunto considerable de debilidades en sus fundamentos lógicos. A pesar de la falta de claridad y precisión lógicas en el cálculo diferencial e integral y el uso poco cuidadoso de los números, esta disciplina encontró un extraordinario progreso. Los números irracionales eran admitidos a principios del XIX, aunque no los negativos ni los complejos. En este escenario, varias figuras fueron relevantes: empezando con el mismo Leibniz, luego los hermanos Bernoulli [Jacques (1654 - 1705) y Jean (1667 - 1748) ], Euler (1707 - 1783), Lagrange (1736 - 1813) y Laplace (1749 - 1827).

Leonhard Euler, junto con Cauchy, fue el matemático más prolífico de todos los tiempos. La obra de este insigne matemático ofrece la posibilidad de apreciar la extraordinaria cantidad y diversidad de las aplicaciones de las matemáticas y en particular del cálculo. Escribió sobre las ecuaciones diferenciales, geometría analítica y diferencial de curvas y superficies, series y cálculo de variaciones. También en las aplicaciones, Euler calculó la perturbación de los cuerpos celestes en la órbita de un planeta y la trayectoria de proyectiles lanzados en medios con resistencia determinada. Algo que a veces no se conoce, Euler fue el único de los científicos del siglo XVIII que afirmó el carácter ondulatorio de la luz y no corpuscular, analizó el calor precisamente como una oscilación molecular. Euler describió con ecuaciones diferenciales el movimiento de un fluido (ideal) y aplicó su modelo incluso a la circulación sanguínea. Euler estableció con sus textos un modelo por seguir por centenares de años en la mecánica, álgebra, análisis matemático, geometría diferencial y cálculo de variaciones. Para Euler una función es "cualquier expresión analítica formada con la cantidad variable y con números o cantidades constantes''.

Fue también en el siglo XVIII que se desarrolló el cálculo en funciones de dos y tres variables. Aunque Newton, Jean y Nicolaus Bernoulli habían realizado la diferenciación en funciones de 2 variables, la teoría fue plenamente desarrollada por varios matemáticos: Alexis Fontaine de Bertins (1705 - 71), Euler, Clairaut y d'Alembert. Francia aportó durante los siglos XVIII y XIX muchos matemáticos de primera línea. Varios factores jugaron a favor de esta relevancia colectiva francesa. ese país vivió un profunda revolución y antes una gran efervescencia intelectual. Por eso, aunque Descartes fue colocado en el Índice de la Inquisición en 1664, en el siglo XVIII había retomado interés y, de hecho, en ciertos círculos se dio un debate entre cartesianos y newtonianos. Algunos matemáticos, como Monge y Carnot fueron republicanos apasionados y participaron activamente en las tareas revolucionarias. a, las dos acciones más importantes que se tomaron entonces fueron: • El establecimiento del sistema métrico decimal para los pesos y medidas.

La Revolución Científica del siglo XVII logró provocar una ruptura radical con el orden ideológico de la Edad Media, a la vez que retomaba el conocimiento griego antiguo, resolvía problemas clásicos con nuevos métodos (descripción matemática y el método experimental). En el siglo XVIII se resolvieron con nuevos métodos asuntos que los griegos nunca pudieron imaginar. No debe olvidarse en este escenario un estrecho vínculo con la producción económica y la técnica: a través de la química, la electricidad, la ingeniería mecánica. Gaspard Monge se suele caracterizar como el primer especialista en geometría. Monge fue uno de los creadores de la École Polytechnique, profesor y administrador de ésta, un apoyo e importante dirigente de los matemáticos que estuvieron asociados con esa institución. Desarrolló la geometría descriptiva, que en un principio se llamó "estereotomía

Lázare Carnot, quien en 1801 publicó De la Corrélation des figures de la géométrie, donde buscaba encontrar un tratamiento más general para la geometría euclidiana. Tiempo después, en 1803, presentó Géométrie de position, una obra de geometría clásica que también introducía algunos elementos de análisis. Un ejemplo de esas generalizaciones de la geometría: el teorema del coseno. Uno de los matemáticos insignes de Francia fue Adrien Marie Legendre, quien había enseñado entre 1775 y 1780 en la Escuela Militar de París y después sería profesor en la École Normale y en la École Polytechnique, así como, también, hizo trabajos de geodesia. Sus obras principales fueron: Elements de géométrie (1794), Essai sur la Théorie les nombres (1797 - 1798), Théorie des nombres (1830), Exercises du calcul intégral (1811 - 1819, en 3 volúmenes), Traité des fonctions elliptiques et des intégrales euleriénnes (1825 - 1832, también 3 volúmenes).

Grandes matemáticos de este siglo fue Joseph Louis Lagrange de origen italiano y francés, nacido en Turín. La contribución más importante de Lagrange estuvo en el cálculo de variaciones, nombre que deriva precisamente de algunas notaciones que él utilizó desde el año 1760. También introdujo un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, usando el método de variación de parámetros; usó los llamados "multiplicadores de Lagrange'' para determinar extremos de funciones de varias variables con restricciones. Pierre Simon de Laplace fue profesor de la Academia Militar de París, puesto que logró con el apoyo de d'Alembert. Pierre Simon de Laplace fue profesor de la Academia Militar de París, puesto que logró con el apoyo de d'Alembert. Las obras fundamentales de Laplace fueron: Théorie analytique des probabilités (1812) y Mécanique céleste (1799 - 1825, que incluía 5 volúmenes).

La famosa ecuación de Laplace que refiere a la teoría del potencial se encuentra precisamente en esta última obra. Se afirma con toda propiedad que esta última obra culminó los trabajos de Newton, Clairaut, d'Alembert, Euler y Lagrange sobre varios asuntos como la teoría sobre la luna, el problema de los tres cuerpos, las perturbaciones de los planetas, y la forma de nuestro planeta. En lo que se refiere a las probabilidades, Laplace partía de la premisa de que éstas tenían sentido debido a que medio conocemos y medio desconocemos la realidad circundante. Aunque diferentes en sus trayectorias de vida, con perspectivas intelectuales distintas, y con personalidades disímiles, Cauchy y Galois representan dos de los principales constructores de las matemáticas francesas del siglo XIX.

Cauchy es considerado, después de Euler, el matemático más prolífico de todos los tiempos. Su mente y sus contribuciones en diferentes campos de las matemáticas puras y aplicadas: la teoría de funciones de variable compleja, la teoría matemática de la elasticidad, resultados en la teoría de la luz de la mecánica, etc. En la segunda mitad del siglo XIX; relevantes matemáticos hicieron importantes contribuciones: Charles Hermite, Gaston Darboux, Joseph Liouville. Este último, editor y organizador durante muchísimos años del Journal de mathématiques pures et appliquées, trabajó en varios campos que van desde la teoría aritmética de las formas cuadráticas de 2 y más variables, la mecánica estadística, hasta la demostración de la existencia de números trascendentes (un detalle: que el número y son raíces de una ecuación cuadrática con coeficientes racionales). También hizo contribuciones en la geometría diferencial de superficies.

También ligados a la École Polytechnique, deben mencionarse Joseph Fourier, Siméon Denis Poisson y Augustin Cauchy. Los trabajos de Poisson fueron variados y con una gran productividad: ecuaciones diferenciales, elasticidad, teoría del potencial, probabilidades. Su obra Traité de mécanique (1811) prosigue la tradición de Lagrange y Laplace en el estudio de la mecánica pero con la incorporación de resultados propios importantes. Es, por supuesto, el creador de la serie de Fourier, que se puede aplicar a más funciones que, por ejemplo, la serie de Taylor, que forman parte de todos los cursos de cálculo y ecuaciones diferenciales para ingenieros. Aunque diferentes en sus trayectorias de vida, con perspectivas intelectuales distintas, y con personalidades disímiles, Cauchy y Galois representan dos de los principales constructores de las matemáticas francesas del siglo XIX.

El término de "jacobiano'', que usamos en los textos de cálculo actuales fue acuñado por el matemático inglés Sylvester, y refiere a Carl Gustav Jacobi, otro de los grandes matemáticos alemanes de la época, quien estudió en Berlín y fue profesor en la Universidad de Königsberg. Jacobi desarrolló una teoría de funciones elípticas basada en las llamadas "Funciones Theta'', 4 funciones que se construyen por medio de series infinitas. Riemann obtuvo la categoría de Privatdozent Y presentó dos artículos: uno sobre series trigonométricas y los fundamentos del análisis, el otro sobre los fundamentos de la geometría. mostró que algunas funciones definidas por series de Fourier podían tener un número infinito de máximos o mínimos. Incluso dio ejemplo de una función continua sin derivadas. Con esos resultados el concepto de función se estableció con mayor precisión. Estudio los fundamentos de la geometría. El trabajo sin embargo no fue publicado sino hasta 1868 y fue intitulado Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Acerca de las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría).

El otro lugar clave en las matemáticas del siglo XIX es Alemania. Carl Friedrich Gauss. Su extraordinaria mente obtuvo resultados en los principales campos de las matemáticas del siglo XIX con una originalidad y profundidad que han hecho que se le llame el "príncipe de las matemáticas''. En el año 1795 ya había encontrado la ley de reciprocidad cuadrática en la teoría de números (independientemente de Euler). Sus resultados en la teoría de números aparecieron en uno de los más famosos libros de la historia la matemáticas: Disquisitiones Arithmeticae (1801). Aquí se introduce la prueba más rigurosa hasta ese momento del teorema fundamental del algebra. Fue Gauss precisamente quien efectuó una representación de los números complejos a través de puntos en el plano, dando pleno sentido a estos números en la conciencia de los matemáticos.

Karl Weierstrass escribió varios artículos sobre integrales hiperelípticas y sobre ecuaciones diferenciales algebraicas. Contribuyó notablemente a fundamentar la teoría de las funciones complejas sobre series de potencias. Una de sus contribuciones fue el llamado principio de prolongación analítica. William Kingdon Clifford Generalizó los cuaterniones haciendo que sus coeficientes pudieran ser tomados de los números complejos: los bicuaterniones y los octoniones (desarrollados entre 1873 y 1876), que podían ser usados en el estudio del movimiento en geometrías no euclidianas. Estos son casos particulares de las llamadas " álgebras de Clifford''. Los bicuaterniones no poseen una multiplicación asociativa. Su obra Common Sense of the Exact Sciences, muestra elementos en común con Klein.

George Boole buscó hacer de la lógica un cálculo matemático y simbólico, en el mejor ideal de la characteristica universalis de Leibniz. Para Boole, más allá de Peacock y De Morgan, el carácter de las matemáticas está en su forma más que en su contenido. En su Mathematical Analysis of Logic señala con toda claridad que las matemáticas no se pueden considerar la ciencia del número y la magnitud. Boole, también, apuntalaría corrientes logicistas en la búsqueda por ofrecer una fundamentación de las matemáticas.

EL ÁLGEBRA DEL SIGLO XIX El siglo XIX, el álgebra tenía como su problema central la resolución de ecuaciones algebraicas. Se trataba de encontrar raíces a ecuaciones utilizando las operaciones algebraicas básicas y la extracción de raíces y el desarrollo de la teoría de grupos, los hipercomplejos, y las matrices y los determinantes. La geometría desde antes del siglo XIX sufrió un cambio decisivo pues empezó a perder un sentido métrico que dominó los siglos anteriores, debido al concurso de la geometría proyectiva y la misma no euclidiana. Ya dentro de la gran producción de Euler se encuentran asuntos que no se pueden dejar de caracterizar como relativos a los grupos, por ejemplo la descomposición de un grupo conmutativo en subgrupos o relaciones entre el orden de un subgrupo y el grupo madre. Y, luego, Gauss también 376 trabajó con grupos conmutativos tanto en el estudio de las formas cuadráticas (transformaciones y sustituciones en las formas) como al estudiar las congruencias (el orden).

Numeros cuaterniones En la primera parte del siglo XIX, los matemáticos usaban los símbolos del álgebra como números ya fueran reales o complejos, aunque sin definiciones precisas de éstos. En esta discusión sobre el álgebra del siglo XIX, podemos afirmar un marco general en el que se coloca el trabajo de Hamilton sobre los cuaterniones, los -tuples, la potenciación del carácter abstracto del álgebra, así como, también, la creación de los vectores (un importante instrumento en la física y la ingeniería) y los espacios lineales. Todo ello podemos decir que se engloba en la construcción de números hipercomplejos.

Tanto Peacock como De Morgan buscaron hacer del álgebra algo independiente de las propiedades de los números complejos y reales, una ciencia de símbolos sin interpretar y leyes de operación. Sin embargo, asumieron que las mismas propiedades debían cumplirse para todos los tipos de números, con lo que a pesar del avance realizado establecían una limitante. Los números complejos recibieron su representación como un par ordenado en un trabajo de Hamilton en 1837 (con resultados presentados a la Academia irlandesa en 1833), aunque Gauss parece que tenía este concepto desde 1831. Hamilton, también, en una búsqueda de una representación tridimensional de vectores en el espacio (que le tomó 10 años), lo que mencionamos antes, llegó a los números llamados cuaterniones, con cuatro componentes y que no satisfacen la conmutatividad en la multiplicación. Esto era auténticamente revolucionario en el álgebra de la época.

Como producto de este tipo de generalizaciones y de creación de hipercomplejos se construyó el concepto de vector. Aunque hay elementos precursores en Stevin, Galileo e incluso, algunos afirman, hasta en la misma Antigüedad, se trata de uno de los resultados importantes del álgebra del siglo XIX. Grassmann, en Alemania, estos trabajos se extendieron: hipercomplejos con componentes, "álgebras de Grassmann''. Su noción central es la de cantidad extensiva, un número hipercomplejo con componentes. Definió productos entre hipercomplejos, entre hipercomplejos y vectores, ofreció significados geométricos a estos asuntos e incluso mostró que existían aplicaciones en mecánica, magnetismo y cristalografía. Su trabajo empujó el desarrollo de los tensores.

El concepto de vector tuvo un apoyo relevante en las islas británicas a partir del trabajo de Maxwell, quien, aunque usó los cuaterniones como una herramienta, el instrumento más significativo que desarrolló en su trabajo eran los vectores. En otro orden de cosas, un matemático italiano, Gregorio Ricci Curbastro, desarrolló lo que se llama el cálculo diferencial absoluto.

La construcción de los reales por medio de ciertos objetos compuestos de infinitos elementos, la comparación de la geometría con la aritmética, la afirmación de que la continuidad del espacio es indemostrable y ha de ser postulada; todos éstos son puntos de estrecho contacto entre ambas exposiciones. A la escuela de Berlín pertenecieron Ernst Kummer y Frobenius, Richard Dedekind y Georg Cantor. Kummer desarrolló la geometría diferencial de congruencias, que había sido perfilada por Hamilton. Introdujo los números ideales en la teoría de dominios racionales algebraicos. Los trabajos de Kummer contribuyeron en la aritmética de los números algebraicos. Creador de la teoría de ideales en 1846, y después de trabajar muchos años en los gymnasiums (escuelas secundarias), Ernst Eduard Kummer siguió a Dirichlet en Berlín cuando este último sucedió a Gauss en Göttingen en el año 1855, enseñando hasta 1883. Se sabe que sus trabajos en la búsqueda por demostrar el último teorema de Fermat, intentos fallidos, lo condujeron a la teoría de ideales.

NUMEROS IDEALES TEORIA DE NUMEROS

En 1872 tuvo lugar la publicación de las construcciones de los números reales propuestas por los matemáticos alemanes Weierstrass, Cantor y Dedekind. El artículo de Dedekind resalta por su claridad metodológica y expositiva, que lo ha convertido en un clásico de la literatura matemática. Su teoría es además la más sistemáticamente conjuntista de las tres, cosa que resultará natural teniendo en cuenta los apartados anteriores. Por otro lado, la teoría de Cantor es la que está más cerca de la de Dedekind, y en otros puntos de su artículo avanzaba claramente, de manera independiente, hacia la formulación de nociones conjuntistas; éste fue seguramente el motivo por el que produjo una impresión en nuestro autor. El tomar como base el dominio de los números racionales con su aritmética,

Dedekind hizo importantes contribuciones en la teoría de los números irracionales a través de un concepto que se llama precisamente "cortadura de Dedekind''. Tanto Cantor como Weierstrass también dieron definiciones de los números irracionales y de maneras no muy alejadas de la aproximación de Dedekind. Dos libros en los que condensa esta teoría: Stetigkeit und Irrationale Zahlen (1872) y Was sind und was sollen die Zahle? Georg Cantor creó un nuevo campo en las matemáticas con la teoría de los "agregados'' (Mengenlehre), la que refería a una teoría de cardinales transfinitos. El punto de partida era reconocer la existencia del infinito actual. Cauchy y Weierstrass pensaban que solo se podía llegar a paradojas si se aceptaba la actualidad del infinito. En 1872 Dedekind dio una definición de conjunto infinito: S es infinito si es semejante a una parte propia de él mismo.

La aritmetización del análisis tuvo un desarrollo especial en la 'Escuela de Berlín' y en particular con el matemático Leopold Kronecker. Kronecker hizo contribuciones en las funciones elípticas, en la teoría de ideales, y en la aritmética de las formas cuadráticas. En los trabajos que realizó sobre teoría de los números abogó por la aritmetización de las matemáticas, aunque de una manera especial. Kronecker decía que las matemáticas debían estar basadas en los números naturales.

La teoría de conjuntos fue muy importante porque iba a servir como engranaje de los principales resultados matemáticos y lógicos de la época y también concentraría sobre ella la reflexión sobre los fundamentos de la matemática. El siglo XIX (con los resultados teóricos en matemáticas y lógica que hemos señalado) ofrecía un cuadro intelectual extraordinario para la síntesis en los fundamentos y la reflexión sobre las matemáticas. Esta va a ser realizada por Gottlob Frege retomando la filosofía logicista de Leibniz. Las condiciones de partida para la reflexión de Frege fueron diferentes a las de Kant o Leibniz, incluso a las de Boole; esto engendraría que los mismos problemas en torno a la naturaleza última de la matemática hayan sido abordados no sólo con recursos teóricos nuevos, sino frente a un contenido de la misma diferente.

Como consecuencia de los nuevos tiempos, la lógica sufrió modificaciones relevantes. Richard Whately fue uno de los primeros que hizo contribuciones, en las islas británicas. Sir William Hamilton y Augustus De Morgan aportaron también; pero fue George Boole el verdadero fundador de la lógica simbólica moderna. Su aproximación se va a inspirar en la visión del álgebra de Peacock, Gregory y De Morgan, pero sobre todo en las características de una nueva matemática (el peso de una nueva matemática, especialmente, el álgebra). "La teoría de la lógica y la teoría del lenguaje resultan así, íntimamente relacionadas. Un intento afortunado de expresar las proposiciones lógicas por medio de símbolos -cuyas leyes combinatorias podrían basarse en las leyes de los procesos mentales que representan? sería un proceso en el camino hacia un lenguaje filosófico.''

NUMERO (N) INFINITO

Felix Klein describió la relevancia de la teoría de grupos para clasificar las diferentes especialidades y disciplinas matemáticas. Entre 1888 y 1893 escribió tres tomos sobre la teoría de grupos de transformaciones; en particular, sistematizó las transformaciones de contacto que había desarrollado el matemático Lie, que permiten una correspondencia biunívoca entre rectas y esferas del espacio euclidiano, Klein fue también en los planos educativo y social: potenció la enseñanza y la investigación de alta calidad en Göttingen

Bolzano en un libro que se titula Paradojas del infinito, 1851 (publicado 3 años después de su muerte), había introducido la noción de infinito actual y una óptica conjuntista. Por primera vez, el infinito actual, cuyas propiedades dejan de ser contradictorias para convertirse simplemente en paradójicas, es admitido en matemáticas como concepto definido y con un referente. Por primera vez, igualmente, el infinito es una propiedad susceptible de ser atribuida únicamente a los objetos susceptibles de ser contados o medidos, es decir a los conjuntos y a las magnitudes. Cantor mostró que sí hay cardinales mayores que c, al considerar, por ejemplo, el conjunto formado por todos los subconjuntos de los números reales. Cantor también definió los números ordinales transfinitos. Es decir, definió relaciones de orden entre transfinitos. Aunque se desató una polémica entre Kronecker y Cantor en torno a la aceptación del infinito actual y del fundamento de las matemáticas las teorías de Cantor ganaron la aceptación entre los matemáticos.

Siglo XIX En principios de la segunda década del siglo XIX un grupo de matemáticos en Cambridge buscó propagar la notación diferencial y promover una reinserción de los matemáticos británicos en los trabajos que se hacían en Europa. Entre ellos se encontraban George Peacock, Charles Babbage y John Herschel, que incluso formaban parte de una llamada Sociedad Analítica. Esta fue fundada en el Trinity College de Cambridge en 1815. Babbage es conocido por su construcción de máquinas calculadoras. Herschel fue más bien astrónomo. Peacock no generó resultados de mucho relieve en las matemáticas pero trató de ofrecer al álgebra una estructura lógica similar a la de los Elementos de Euclides en la geometría (Treatise on Algebra, 1830) sugirió que los símbolos algebraicos no necesariamente referían a números.

Algunos apoyados por August De Morgan; fue más lejos en la potenciación del carácter abstracto de los símbolos en el álgebra: las interpretaciones de los símbolos de operaciones podían ser arbitrarias; pero sin ir en toda la línea; es decir, las leyes y conceptos del álgebra arbitrarios en todo su carácter. De Morgan creyó que los números reales y complejos agotaban los tipos de álgebras posibles, algo que Hamilton se encargaría de cambiar. George Green desarrolló una primera aproximación para una teoría matemática del electromagnetismo, a partir de una obra que se supone fue influenciada por la Mécanique céleste de Laplace, empujo contribuciones en las probabilidades y la teoría de funciones complejas.

Hamilton estableció la derivación de las leyes de la física y la mecánica a partir de la variación de una integral, lo que fue usado posteriormente tanto por la Teoría de la Relatividad como la Mecánica Cuántica. Uno de los asuntos más conocidos de Hamilton fue el descubrimiento-construcción de los cuaterniones en 1843. Hamilton estableció la derivación de las leyes de la física y la mecánica a partir de la variación de una integral, lo que fue usado posteriormente tanto por la Teoría de la Relatividad como la Mecánica Cuántica. Uno de los asuntos más conocidos de Hamilton fue el descubrimiento-construcción de los cuaterniones en 1843. Incluso fue Hamilton quien le dio ese nombre a ellos. Siempre en el mundo británico deben mencionarse los nombres de Arthur Cayley, James Joseph Sylvester y George Salmon por sus contribuciones en el álgebra. Cayley contribuyó en la geometría analítica y en los determinantes.

Sylvester fue el creador del método dialítico para eliminar una incógnita entre dos ecuaciones polinomiales. Cayley y Sylvester en colaboración desarrollaron la teoría de los invariantes de las formas algebraicas. Esta sería posteriormente retomada y ampliada por los matemáticos alemanes Aronhold y Clebsch. Sylvester ofreció una teoría de divisores elementales y la ley de inercia de las formas cuadráticas, entre los años 1 851 y 1 852. Al igual que Leibniz contribuyó en la creación de muchas notaciones y términos de las matemáticas modernas. Por ejemplo, son de su cosecha: invariante, covariante, contravariante. Además, este matemático fue decisivo en el florecimiento de las matemáticas en los Estados Unidos, país en el cual enseñó. Salmon se conoce por la elaboración de libros de texto de gran calidad y claridad en geometría analítica y álgebra.

Maclaurin que usó el método de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales con 2, 3 y 4 incógnitas (con 4, dejó planteado o sugerido el método). Esto aparece en su libro póstumo: Treatise of Algebra (resultados obtenidos probablemente como en el año 1729, y obra publicada en 1748). Aquí se encuentra la llamada "regla de Cramer'' Cayley definió la igualdad de matrices, la matriz nula, la unitaria, la suma y multiplicación de matrices, etc. Es decir, ofreció un álgebra de matrices. Dio una construcción explícita de la inversa de una matriz en términos de su determinante. Sobre estos asuntos relacionados con la ecuación característica, dieron contribuciones otros matemáticos como Hermite, Clebsch, Arthur Buchheim, Henry Taber, William Henry Metzler, Frobenius y Kurt Hensel.

La geometría experimentó un importante progreso durante el siglo XIX. la geometría proyectiva en la segunda década del siglo XIX "en cualquier hexágono circunscrito a una cónica, las tres diagonales se cortan en el mismo punto''. Este es el teorema de "Brianchon''. Este mismo estudiante había hecho una formulación moderna y demostración del llamado teorema de Pascal: "para todo hexágono inscrito en una cónica, los tres puntos de intersección de los pares de lados opuestos están en una recta''. Estos dos resultados serían relevantes para el desarrollo de la geometría proyectiva. En particular, nótese que los términos recta y punto se intercambian de alguna manera.

Plücker también fue un físico experimental, que hizo contribuciones en la conducción eléctrica de gases, en la espectroscopia, el magnetismo de cristales, y que dio importantes resultados en la geometría analítica.

Poncelet realizó un extraordinario desarrollo de la geometría sintética buscando el tipo de generalización que encontraba en la geometría analítica. Hay un principio fundamental sobre el cual partía: el "principio de la continuidad''. Éste se puede establecer de la siguiente forma: "Las propiedades métricas descubiertas para una figura primitiva siguen siendo aplicables, sin otras modificaciones que cambios de signos, a todas las figuras correlativas que puedan considerarse como surgiendo de la primera.'' Gergonne sostuvo un "principio de dualidad'' que permitía un cierto intercambio entre los términos de punto y recta en varios teoremas. Plücker también fue un físico experimental, que hizo contribuciones en la conducción eléctrica de gases, en la espectroscopia, el magnetismo de cristales, y que dio importantes resultados en la geometría analítica.

Poincaré realizó importantes contribuciones en la topología combinatoria o algebraica. Podemos decir que ésta refiere a propiedades de los invariantes de transformaciones o funciones uno a uno (biunívocas o inyectivas) y además bicontinuas (la función y su inversa son continuas): los homeomorfimos. Se puede rastrear el asunto hasta Leibniz que estudió la operación o transformación de algunas propiedades de figuras geométricas, asunto que llamó precisamente analisis situs o geometria situs. Un asunto de carácter topológico fue el problema del puente de Koenigsberg, para el que Euler encontró una solución en el año de 1735. Con Riemann la investigación en topología adquiere una nueva fisonomía, pues sin duda la geometría diferencial posee un gran sentido topológico noción que le sirvió para clasificar superficies, y que era una propiedad topológica. Klein también estudió superficies topológicas, y, precisamente, se le debe la creación de la famosa "botella de Klein'': una superficie que no posee borde, ni tampoco interior o exterior, y posee un solo lado.

El "Programa de Erlanger" El matemático alemán Felix Klein (1849 - 1925) llamó hiperbólica a la geometría de Gauss, Lobachevsky y Bolyai. Klein hizo ver que la geometría hiperbólica y la doble elíptica podían englobarse dentro de la geometría proyectiva. En ese tiempo se demostró además que la euclidiana era un caso de la proyectiva. o, Klein logra demostrar que la geometría hiperbólica refiere a la geometría de los subgrupos de las transformaciones proyectivas a través de las cuales la absoluta se transforma en sí misma. las respectivas geometrías clásicas de Lobachewsky y Bolyai, Riemann y Euclides están completamente determinadas según que el absoluto sea real, imaginario, o degenerado Con una influencia directa de los alemanes Klein o Clebsch, o el inglés Cayley, los matemáticos italianos se interesaron en la teoría de invariantes algebraicos (Francesco Brioschi), en la estática gráfica (Luigi Cremona), y en la geometría (Eugenio Beltrami, discípulo de Brioschi).

Benoit Mandelbrot nació el 20 de noviembre de 1 924 en Varsovia, Polonia. Sophus Lie nació el 17 de diciembre de 1 842 en Nordfjordeide, Noruega. Murió de anemia el 18 de febrero de 1 899 en Christiania, Noruega. Maurice René Fréchet nació el 2 de septiembre de 1 878 en Maligny, Yonne, Bourgogne, Francia. Murió el 4 de junio de 1 973 en París, Francia. Cesare Burali-Forti nació el 13 de agosto de 1 861 en Arezzo, Italia. Murió el 21 de enero de 1 931 en Turín, Italia. María Gaëtana Agnesi nació el 16 de mayo de 1 718 en Milán, Imperio de Habsburgo, Italia. invirtió todo su dinero en estos proyectos y murió en total pobreza el 9 de enero de 1 799 en Milán. János Bolyai nació el 15 de diciembre de 1 802 en Kolozsvár, Imperio Austriaco, ahora Cluj, Rumania. Murió el 27 de enero de 1 860 en Marosvásárhely, Imperio Austriaco, ahora Tirgu-Mures, Rumania.

La topología algebraica. Se suele afirmar que fue Oswald Veblen quien, como Hausdorff con la conjuntista, hizo de la topología combinatoria un campo independiente de las matemáticas. Gaspard Monge nació el 9 de mayo de 1 746 en Beaune, Bourgogne, Francia. Es conocido también como el Conde de Péluse. Murió el 28 de julio de 1 818 en Paris, Francia. Nikolai Lobachevsky nació el 1° de diciembre de 1 792 en Nizhny Novgorod, Rusia. Murió el 24 de febrero de 1 856 en Kazan, Rusia, sin tener la mínima idea de lo importante que era su trabajo para el mundo matemático. John Playfair nació el 10 de marzo de 1 748 en Benvie, Escocia. Murió el 20 de julio de 1 819 en Burntisland, Fife, Escocia. Magnus Mittag-Leffler nació el 16 de marzo de 1 846 en Estocolmo, Suecia. I Murió el 7 de julio de 1 927 en Estocolmo, Suecia.

Albert Einstein nació el 14 de marzo de 1 879 en Ulm, Württemberg, Alemania. Murió el 18 de abril de 1 955 en Princeton, Nueva Jersey, Estados Unidos. Abraham de Moivre nació el 26 de mayo de 1 667 en Vitry, Francia. . Es conocido además, por haber predicho su propia muerte, pues notó que estaba durmiendo 15 minutos más cada noche y con esto, a través de la progresión aritmética, calculó que moriría el día que durmiera por 24 horas. Y así fue como murió el 27 de noviembre de 1 754 en Londres, Inglaterra. Eugenio Beltrami nació el 16 de noviembre de 1 835 en Cremona, Lombardía, Italia. Murió el 18 de febrero de 1 900 en Roma, Italia. Giovanni Saccheri nació el 5 de setiembre de 1 667 en San Remo, Génova, Italia. Saccheri murió el 25 de octubre de 1 733 en Milán, Italia.

Durante el siglo XIX, se dio un proceso de rigorización que buscaba esclarecer algunos conceptos y definirlos de una mejor manera. Por ejemplo, las nociones de función, derivada, continuidad, integral. También se buscaba dar un tratamiento más consistente a las series, puesto que durante el siglo XVIII no se ponía mucho cuidado de si estas eran convergentes o divergentes; de hecho, se llegaba a contradicciones importantes. El corazón de los procesos de aritmetización y rigorización de las matemáticas durante el siglo XIX se encontraba en la búsqueda por eliminar la referencia geométrica e intuitiva que había predominado, y subrayar el papel de la aritmética y la lógica en la construcción y validación de las matemáticas. Era importante ofrecer fundamentos lógicos y nociones más precisas en el edificio de las matemáticas, a potenciar sus fundamentos, sin embargo a veces se aprecia un distanciamiento de estos mecanismos de fundamentación de aquellos conceptos e ideas que dieron origen al cálculo.

Karl Weierstrass nació el 31 de octubre de 1 815 en Osternfelde, Westphalia, Alemania. Murió de pulmonía el 19 de febrero de 1 897 en Berlín, Alemania. Bernaud Placidus Bolzano nació el 5 de octubre de 1 781 en Praga, Bohemia, República Checa. Murió el 18 de diciembre de 1 848 en Praga, Bohemia, República Checa. Carlos Méray nació el 12 de noviembre de 1 835 en Chalon-sur-Saône, Francia. Murió el 2 de febrero de 1 911 en Dijon, Francia. Abraham Robinson nació el 6 de octubre de 1 918 en Waldenburg, Polonia. En 1 973, se le pronosticó un cáncer de páncreas y el 11 de abril del siguiente año murió en New Haven, Connecticut, Estados Unidos.

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