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Arithmétique - Activité - Décomposition
ALMEIDA DA SILVA Ann
Created on October 24, 2021
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Transcript
Une Méthode de
decomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers
Comment décomposer 24 (temps mis par le bus 1)en un produit de facteurs qui sont tous premiers
1ère étape : On trouve un produit de nombres entiers égal à 24. Par exemple 3 x 8.
24
2ème étape : On entoure les facteurs premiers.
24
Ici, 3 est premier mais pas 8.
Nombres premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29
Ensuite, on recommence la 1ère étape avec les facteurs qui ne sont pas entourés.
24
Ici, on décompose 8 en un produit de nombres entiers : par exemple 2 x 4.
24
On entoure 2 car il est premier.
24
On décompose 4 en 2 x 2.
24
La décomposition est terminée.
On entoure 2 car c'est un nombre premiers.
La décomposition de 24 en produit de facteurs premiers est :
24
24 2 2 2 3
= x x x
En général on écrit les facteurs du plus petit au plus grand.
Aurait-on obtenu la même décomposition si on avait choisi un autre produit que 6 x 4 au départ
30
24
Essayons avec 6 x 4.
24
Aucun nombre n'est premier.
24
2 et 3 premiers.
La décomposition est terminée.
La décomposition de 24 en produit de facteurs premiers est :
24
24 2 2 2 3
= x x x
24
C'est exactement la même que tout à l'heure.
Autre exemple avec 12 x 2 au départ. On arrive encore au même résultat :
24
12
24 2 2 2 3
= x x x
On arrive à chaque fois à la même décomposition car il existe un résultat important en mathématiques qui s'appelle le théorème fondamental de l'arithmétique, il dit la chose suivante :
Tout entier supérieur à 2 peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon (à l'ordre près des facteurs).
Donc peu importe le produit choisi au départ, on arrivera à la même décomposition puisqu'il n'y en a qu'une seule.
24 2 2 2 3
= x x x
24
24
24
12
à toi de faire !
Décompose 32 (temps mis par le 2e bus) en produit de facteurs premiers selon la même méthode que pour 24.
24
12
Nombres premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29
Décomposition en produits de facteurs premier de 32 :
32 2 2 2 2 2
32
= x x x x
32 2 2 2 2 2
= x x x x
24 2 2 2 3
= x x x
Donc un multiple commun s'écrira :
2 2 2 2 2 3
x x x x x = 96
Donc les 2 bus se croiseront toutes les 96 min.
Fin