ESTUDIO COMPLETO DE UNA FUNCIÓN POLINOMICA

Presentación

FUNCIONES POLINOMICAS

Función polinomial Una función polinomial o polinómica de grado «n»; es una función de la forma:

ESTUDIO COMPLETO DE LA FUNCIÓN POLINÓMICA. 1. Dominio y rango o recorrido 2. Continuidad y tipos de discontinuidad 3. Puntos de corte con los ejes 4. Puntos extremos: Máximos y mínimos relativos 5. Intervalos de signo constante 6. Monotonia: crecimiento y decrecimiento 7. Periodicidad 8. Asíntotas 9. Simetrías 10. Curvatura y puntos de inflexión 11. Punto de inflexión

1. Dominio y rango o recorrido • Dom(f) = R = (-∞, +∞) • Im(f) = R = (-∞, +∞) 2. Continuidad y tipos de discontinuidad La función es continua en toda la recta real R por ser una función polinómica.

3. Puntos de corte con los ejes • Corte con el eje OX: f(x) = 0 • Corte con el eje OY: f(0) 4. Puntos extremos: Máximos y mínimos relativos los puntos críticos, son los puntos que anulan a la derivada primera y a través de la segunda derivada se obtienen los máximos (resultado negativo) o mínimos (resultado positivo).

5. Intervalos de signo constante Con los puntos de corte con el eje OX, tenemos que estudiar los signos cada uno de los intervalos que quedan conformados entre los puntos. 6. Monotonia: crecimiento y decrecimiento Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos. Signo (-) decreciente y signo (+) creciente.

7. Periodicidad No es periódica porque las funciones polinómicas nunca lo son. 8. Asíntotas • Asíntotas verticales • Asíntotas horizontales • Asíntotas oblicuas Las funciones polinómicas no tienen asíntotas. 9. Simetrías f(- x) ≠ f(x) ⇒ No es par. f(- x) ≠ - f(x) ⇒ No es impar.

10. Curvatura y puntos de inflexión Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos: La función es cóncava hacia arriba o simplemente concava (signo +) y concava hacia abajo o convexa (signo -). 11. Punto de inflexión El punto que anula a la derivada segunda y que se determina a través de la tercera derivada si se trata de un punto de inflexión.

Estudio completo de la función polinómica: y = x^3 - 3x^2 1. Dominio y rango o recorrido • Dom(f) = R = (-∞, +∞) • Im(f) = R = (-∞, +∞) 2. Continuidad y tipos de discontinuidad La función es continua en toda la recta real R por ser una función polinómica.

3. Puntos de corte con los ejes • Corte con el eje OX: f(x) = 0 x^3 - 3x^2 = 0 ⇒ x^2 . (x - 3) = 0 ⇒ x^2 = 0 , x = 3 ⇒ x = 0 , x = 3 Los puntos de corte son: (0, 0) y (3, 0) • Corte con el eje OY: f(0) f(0) = 0^3 - 3·0^2 = 0 El punto de corte es: (0, 0)

4. Puntos extremos: Máximos y mínimos relativos Los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son x = 0 y x = 2 , vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos. Hallamos la derivada segunda: f '' (x) = 6x - 6 • f '' (0) = - 6 < 0 ⇒ Hay un máximo en x = 0 ⇒ f(0) = 0 ⇒ Max (0, 0) • f '' (2) = + 6 > 0 ⇒ Hay un mínimo en x = 2 ⇒ f(2) = -4 ⇒ Min (2, -4)

5. Intervalos de signo constante Como los puntos de corte con el eje OX son x = 0 y x = 3 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 0) , (0, 3) , (3, +∞) : Intervalo (-∞, 0) (0, 3) (3, +∞) Punto de prueba f(-1) < 0 f(2) < 0 f(4) > 0 Signo de f (x) (-) (-) (+) En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva

6. Monotonia: crecimiento y decrecimiento Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos: f ' (x) = 3x^2 - 6x = 0 ⇒ x(3x - 6) = 0 ⇒ x = 0 y 3x - 6 = 0 ⇒ x = 0 y x = 2 Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 0) , (0, 2) , (2, +∞) Intervalo (-∞, 0) (0, 2) (2, +∞) Punto de prueba f ' (-1) > 0 f ' (1) < 0 f ' (1) > 0 Signo de f ' (x) + - + Monotonía Crece Decrece Crece

7. Periodicidad: No es periódica porque las funciones polinómicas nunca lo son. 8. Asíntotas: Las funciones polinómicas no tienen asíntotas. 9. Simetrías f(- x) = (- x)3 - 3·(- x)2 = - x3 - 3x2 ≠ f(x) ⇒ No es par. f(- x) = (- x)3 - 3·(- x)2 = - x3 - 3x2 ≠ - f(x) ⇒ No es impar.

10. Curvatura y puntos de inflexión Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos: f '' (x) = 6x - 6 = 0 ⇒ 6x = 6 ⇒ x = 1 Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 1) , (1, +∞) : Intervalo (-∞, 1) (1, +∞) Punto de prueba f '' (0) < 0 f '' (2) > 0 Signo de f '' (x) (-) (+) Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente concava en el intervalo (1, +∞) y concava hacia abajo o convexa en el intervalo(-∞, 0) 11. Punto de inflexión Sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es x = 1 y vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión. f '' (x) = 6x - 6 = 0 ⇒ 6x = 6 ⇒ x = 1 f ''' (x) = 6 ≠ 0 ⇒ x = 1 es la abscisa del punto de inflexión ⇒ f(1) = - 2 ⇒ Punto inflexión (1, -2)

¡GRACIAS!

Prof. Zalla Gabriel