FUNCIONES

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LERMA

ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL. CARRERA: INGENIERÍA EN MECATRÓNICA. MAESTRO: M.C. EDUARDO ANTONIO MENA CALDERÓN. SEMESTRE: 1°. GRUPO: T1B. ALUMNO: MILKA ISMERAI BARRERA MÉNDEZ. TEMA: FUNCIONES. ACTIVIDAD: PRESENTACIÓN INTERACTIVA. FECHA DE ENTREGA: 26 / 09 / 2021.

ÍNDICE

Función real de variable real

Definiciones

Introducción

Funciones Trascendentes

Funciones Algebraicas

Función Inyectiva, Suprayectiva y Biyectiva

Función Inversa

Operaciones con Funciones

Funciones Escalonadas

Conclusión

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Otro Tipo de Funciones

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Función Implícita

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Bibliografía

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INTRODUCCIÓN

En la siguiente presentación interactiva se abordarán todos los temas que comprenden la Unidad 2 de la asignatura de Cálculo Diferencial; como son: definición de variable, función, dominio y rango, función real de variable real y su representación gráfica, función inyectiva, suprayectiva y biyectiva, funciones algebraicas: polinomiales y racionales, funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, entre otros. Se proporcionan ejemplos y ejercicios resueltos como apoyo al entendimiento de la teoría y para que sean más comprensibles dichos temas. Si bien también es importante señalar que los ejercicios que aquí se presentan es recomendable llevarlos a la práctica para el entendimiento de los temas presentados.

DEFINICIONES

DEFINICIÓN DE VARIABLE, FUNCIÓN, DOMINIO Y RANGO

Dominio dada mediante una función f⊂A x B es el conjunto de todas las primeras componentes de los elementos de f: Dom f={ x∈A∶[∃y ∈B∶(x,y)∈f ] }⊂A.

Variable es una magnitud que puede tener cualquier valor entre los comprendidos en un conjunto.

Rango es el conjunto de todas las segundas componentes de los elementos de f: Ran f={ y∈B∶[∃x∈A∶y=f(x)] }⊂B={ f(x)∈B∶x∈Dom f } ⊂B

Función es una regla que se denota con la letra “f”, la cual es “elevar al cuadrado el número”.

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

A cada le hace corresponder un valor numérico que es la imagen de x por f. Su Representación Gráfica es “x” representa la variable independiente y toma valores en el conjunto original D. “y” representa la variable dependiente y toma valores en el conjunto imagen. Estos son funciones donde el conjunto final es el conjunto de números reales (funciones reales) y el conjunto inicial también es o un subconjunto D de (variable real)

EJEMPLO

Lo primero que debemos hacer es determinar el dominio de la función, para saber qué valores de x se pueden escoger para construir la tabla. x−5 ≥ 0 x ≥ 5

f(x)=√(x-5)

Para la tabla solamente se pueden escoger valores mayores o iguales a 5. En cuanto a las intersecciones con los ejes coordenados, la única posibilidad es hacer y = 0, y entonces x = 5. No sirve hacer x = 0 para esta función, pues este valor no pertenece al dominio.

La gráfica obtenida es:

La tabala quedaria como se muestra:

FUNCIÓN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

FUNCIÓN INYECTIVA

Una función f es inyectiva si, cuando f(x), x = y. Es aquella que conserva la distinción, es decir, no asigna los distintos elementos en su dominio al mismo elemento en su dominio.

EJEMPLOS

FUNCIÓN SUPRAYECTIVA

Una función es suprayectiva o sobre si todo elemento de su codominio es imagen de por lo menos un elemento de su dominio.

EJEMPLOS

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva, y la relación entre los elementos del dominio y los del codominio es biunívoca.

EJEMPLOS

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Estas funciones se forman por expresiones algebraicas, es decir, compuestas por un conjunto de números y variables ligados entre sí por operaciones algebraicas dentro de las cuales figuran aparte de las 4 operaciones básicas como son: suma, resta, multiplicación y división; al igual que la potenciación y la radicación.

FUNCIONES POLINOMIALES

Es cualquier función que obtenga a partir de las funciones constantes y de la función identidad por medio del uso de las operaciones de suma, diferencia y multiplicación se denomina función polinomial. En el que el entero positivo “n” es el grado de la función polinómica. Las constantes “ai” se denominan coeficientes, siendo “an” el coeficiente dominante y “a0” el término constante.

FUNCIONES RACIONALES

De igual forma que un número racional puede escribirse como el cociente de dos enteros. En la cual p(x) y q(x) son polinomios. El dominio de estas funciones excluye los ceros del polinomio de q(x). La gráfica de una función racional puede tener asíntotas verticales. Las gráficas de las funciones racionales y de los polinomios tienen varias características en común.

FUNCIONES TRASCENDENTES

Son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Se llaman funciones logarítmicas las que tienen la ecuación y = log a x, siendo a un número positivo distinto de 1. y = log a x ⇒ x = ay, por tanto y = log a x e y = ax son funciones inversas.

• Dominio: (0,∞).• Recorrido: R. • Asíntota: y = 0. • Punto de corte: (0,1). • Continua en (0,∞). • Monotonía: si a > 1 creciente; si a < 1 decreciente. • Curvatura: si a > 1 concava; si a < 1 convexa.

FUNCIONES EXPONENCIALES

Se llaman funciones exponenciales las que tienen la ecuación y = ax, siendo la base a un número positivo distinto de 1.

• Dominio: R, • Recorrido: (0,∞). • Asíntota: y = 0. • Punto de corte: (0,1). • Continua en R. • Monotonía: si a > 1 creciente; si a < 1 decreciente. • Concava: R.

FUNCIONES ESCALONADAS

y = s(x) es una función definida a trozos o por partes, tal que en un intervalo finito [a,b] tiene un número finito de discontinuidades, a las cuales llamaremos x0 < x1 < x2 <…. xn. En cada intervalo abierto (xi, xi+1), y tiene un valor constante de valor si, con discontinuidades -saltos- en los puntos xi.

EJEMPLOS

La gráfica de esta función escalonada tiene tres peldaños o intervalos escalonados, pero en general la función escalonada puede tener cualquier cantidad de escalones. La anchura de los escalones puede ser diferente y no siempre la escalera es ascendente o descendente. La función escalonada del ejemplo se puede escribir especificando el ancho y el alto de cada escalón, así:

OPERACIONES CON FUNCIONES

ADICIÓN, MULTIPLIACACIÓN, DIVISIÓN Y COMPOSICIÓN

La división con funciones es reiterativo y solo hay que ponerle atención el hecho de que la división por cero no es válida y por esto la condición es que la función divisora no sea cero.

Adición sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g.

Multiplicación sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama multiplicación o producto de una función de f y g.

Composición dos funciones se juntan para producir un resultado, por ejemplo: llamada función composición que se representa g(f(x)).

[f(x)] [g(x)]

FUNCIÓN INVERSA

Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). La función inversa (o función recíproca) de f (denotada por f-1) es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X.

EJEMPLO

Despejamos la variable x en función de la y. Por ejemplo:

y = f(x) = 2x-2

Intercambiamos las variables x e y y la función resultado será la función inversa:

La gráfica quedaría como se muestra:

Como podemos ver en la gráfica, f y su inversa son simétricas respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante.

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FUNCIÓN IMPLÍCITA

Es a aquella función dada mediante una expresión en la que la variable dependiente y no aparece despejada. Dicho de otra manera, aquella función que se expresa mediante una igualdad en la forma: 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0

EJEMPLO

La igualdad 𝑥2 – 𝑦 =0, correspondiente a y = x2, es una función implícita. También 𝑦3 − 5𝑥2 + 3𝑥𝑦2 + 12 = 0.

Gráficamente, se pude considerar una función implícita como un caso particular de una función de dos variables f (x, y) = z en el que z siempre vale 0.

OTRO TIPO DE FUNCIONES

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FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Devuelve el valor numérico del segundo término, pero afectado siempre del signo positivo. Tiene sentido para caracterizar distancias, longitudes. La expresión más siple de una función valor absoluto es: f(x) = |x| y la gráfica son dos rectas simétricas en el primer y segundo cuadrante, con pendientes 1 y -1 (forma de “V”) que se cortan en el origen (0,0).

LAS FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Si la función tiene distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x).La imagen de un valor x se calcula según en qué intervalo se encuentra x. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo (-∞,1), por lo que su imagen es f (0) = 0. El valor 3 está en el intervalo [1,4], entonces su imagen es f (3) = 2.

FUNCIÓN RACIONAL

f(x) son el cociente irreducible de dos polinomios (para ello, no deben tener las mismas raíces). La palabra racional hace referencia a que esta función es una razón. P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador (la variable x debe de estar en el denominador).

CONCLUSIÓN

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Al concluir la realización de esta presentación interactiva y al mismo tiempo el haber hecho el recorrido de los temas desarrollados aquí puedo llegar a la conclusión que cada uno de ellos es de suma importancia en el ámbito académico. Desde mi punto de vista creo conveniente que la realización de esta actividad como muchas otras que hemos venido desarrollando nos da una visión más amplia de todo lo que podemos lograr. Ante todo y por ultimo quiero hacer una recomendación a todos los que en su momento revisen este trabajo, que no dejemos de aprender de cada una de las cosas que hagamos por muy pequeñas que creamos que sean.

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